Диссертация (1150566), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Вейвлет обладает бесконечным числом нулевых моментов, что следует из нуля бесконечного порядка. Вейвлет ψ− обладает сферической симметрией и экспоненциальным затуханием по мере удаления от окружности|r| = ct.622.2Физические вейвлеты в R2, не обладающие симметриейДругой класс решений нестационарного однородного волнового уравнения, значительно менее известный, чем сферические волны, найден в работах [24, 25]. Метод получения решений из этого класса может быть рассмотрен с нескольких точек зрения.
Мы выберем точку зрения, в которой решения волнового уравненияполучаются в результате суммирования нестационарных гауссовых пучков с весовой функцией. Нестационарные гауссовы пучки были впервые получены в работахА.Киселёва и Бриттингхама [40, 41] независимо. В случае двух пространственныхпеременных решение имеет вид (99), [24, 25], [41, 40]:exp [i q θ(r, t)]ψbeam (q; r, t) = √,x + ct − iεy2θ(r, t) = x − ct +,x + ct − iεq > 0,r = (x, y),(190)где ε – произвольный положительный параметр.
Возьмём интеграл от гауссоваb ∈ L1 , такой, что φ(q)b ≡ 0, q < 0:пучка по переменной q с весовой функцией φ(q)Z+∞b ψbeam (q; r, t).ψ(r, t) =dq φ(q)(191)0Этот интеграл можно рассматривать как одномерное обратное преобразование Фу√bрье от функции φ(q),вычисленное в точке θ, деленное на x + ct − iε. Если φb –Фурье-пребразование от функции φ, то формула (191) приобретает более простойвидψ(r, t) = √1φ[θ(r, t)],x + ct − iε(192)В данной работе мы предлагаем использовать решения класса (192) в качестве физических вейвлетов.
Назовём функцию φ, по аналогии со сферически симметричным случаем, прокси-вейвлетом. Формула (192) является частным случаем класса63решений, предложенных Бэйтманом в [33, 34] и детально исследованных Хиллионом в [35]. Ограничим класс прокси-вейвлетов φ, которые дают допустимые физические вейвлеты.
Для этого необходимо найти Фурье-преобразование от семейства(192). Фурье-преобразование ψbbeam (q; k, t), k = (kx , ky ), гауссова пучка (190) вычисляется по формуле:Zψbbeam (q; k, t) = 2exp(−ik·r)yd2 r √exp iq x − ct +x + ct − iεx + ct − iεR2Z∞dx exp(−ikx x) exp[iq(x − ct)] Iy (q, x),=(193)−∞гдеZ+∞dy √Iy (q, x) =1y2exp −iky y + iq=x + ct − iεx + ct − iε−∞"#rky2π iπ/4=eexp −i (x + ct − iε) .q4q(194)Подставляя (194) в (193), получаемZ∞ψbbeam (q; k, t) =#rky2πiπ/4=dx exp(−ikx x) exp iq(x − ct) − i (x + ct − iε) e4qq"−∞"= 2π exp −i q +ky24q!ct −ky2 ε4q#δ −kx + q −ky24q!eiπ/4rπ.q(195)В целях дальнейшего вычисления интеграла по переменной q модифицируем δфункцию в (195).
Корни аргумента δ-функции, т.е. корни уравненияky2− kx + q −= 0,4q(196)это q1,2 = (kx ± |k|)/2. Отрицательный корень не даёт вклада в интеграл, так какмы потребовали, чтобы q > 0. Принимая во внимание соотношения!2ky4q 2kx + |k|δ −kx + q −= 2δ q−,4qky + 4q 2264(197)ky2k 2 − kx2|k| + kx+q =+= |k|,4q2(|k| + kx )24q 2qkx + |k|==,ky2 + 4q 2|k|2|k|(198)получаемk+|k|x,ψbbeam (q; k, t) = B(k, t) δ q −2s!2ky ε|k| + kx iπ/42πB(k, t) = 2π exp −i|k|ct −e.2(|k| + kx )2|k||k| + kx(199)(200)Перейдём теперь к вычислению преобразования Фурье от семейства (192).
Какнесложно увидеть, оно определяется следующей формулой:Z∞b t) =ψ(k,b ψbbeam (q; k, t).dq φ(q)(201)0Подставив в (201) результат (199), получим"#p2√ 3/2 iπ/4ky εkx + |k|b t) = 2π e φb kx + |k|ψ(k,exp −i|k|ct −. (202)2|k|2(kx + |k|)Рассмотрим это выражение с точки зрения условия допустимости (103), записавего в полярных координатах β, K:Cψ+Z2πe=A0Z+∞dβdK K −1 22 cos β + 1Kεsinβcosβ+1φb Kexp−, (203)2Kcos β + 10e обозначает все постоянные множители. Чтобы интеграл по K сходился пригде AbK = 0, необходимо, чтобы φ(q)в нуле вела себя как q α , α > 1/2. Чтобы интеb вела себя награл сходился при K → ∞ равномерно по β, необходимо, чтобы φ(q)бесконечности как q α , α < 1/2. Мы также ограничим класс допустимых проксиTвейвлетов функциями, принадлежащими L1 (R) L2 (R).652.3Гауссов пакет и исследование его свойствВ данном разделе мы детально исследуем свойства одного из решений класса (192),а именно - гауссова волнового пакета, впервые найденного в [23], [42], в наиболееобщем виде полученного в [43].Рассмотрим семейство функций ψ(r, t) от двух пространственных переменныхx, y, зависящих от произвольных вещественных параметров t, ν и от произвольныхположительных параметров p, ε, γ:r2 (ps)ν Kν (ps)√ψ(r, t) =,π x + ct − iεps = 1 − iθ/γ,y2θ = x − ct +,x + ct − iεr = (x, y),(204)(205)(206)где Kν – модифицированная функция Бесселя (функция Макдональда).
В формулах (204), (205) выбирается ветвь квадратного корня с положительной вещественной частью. Выбор ветви (ps)ν в числителе (204) не важен; для определённости выберем ветвь с положительной вещественной частью. Покажем, что каждаяфункция из семейства (204) подходит для использования в качестве материнскоговейвлета и обладает хорошими свойствами. Это же верно для их производных повремени и по пространственным координатам любого порядка.Функция (204) впервые появилась [43] в связи с волновым уравнениемψtt − c2 (ψxx + ψyy ) = 0,c = const.(207)Если рассматривать параметр t как время, формула (204) даёт точное решениеуравнения (207), при этом решение хорошо локализовано, если p 1.
Если ν =1/2, формула (204) принимает видexp (−ps)ψ(r, t) = √.x + ct − iε66(208)Если ε = γ, то получаем точное решение уравнения (207), которое было впервыенайдено в [23]. В этом параграфе мы предлагаем использовать ψ как физическийвейвлет.2.3.1Поведение гауссова пакета на бесконечностиДля этого необходимо, чтобы ψ(r, t) принадлежало L1 и L2 по пространственнымпеременным в фиксированный момент времени t, а так же чтобы выполнялось условие допустимости (103). Проверим сначала, чтоZZ2d r |ψ(r, t)| < ∞,d2 r |ψ(r, t)|2 < ∞,R2d2 r ≡ dx dy,(209)R2Для этого отметим, что из формул (205), (206) следует, чтоx − cty 2 (x + ct)y2ε−i−i,s =1+γ[(x + ct)2 + ε2 ]γγ[(x + ct)2 + ε2 ]2(210)и поэтому для вещественных x, y и t Re(s2 ) ≥ 1.
Полуплоскость Re(s2 ) ≥ 1 приизвлечении квадратного корня и при надлежащем выборе ветви корня конформноотображается на область Re(s) ≥ 1, | arg(s)| < π/4. Таким образом, s 6= 0 длявещественных x, y и t, и у функции (204) нет особенностей или точек ветвления.Эта функция гладкая по переменным x, y, t, как и её производные любого порядкапо x, y, t.Найдем асимптотику ψ(r, t).
Для этого оценим |s|2 . Используя 210, получим|(x − ct)2 + y 2y4y 2 (2εγ + 2x2 − 2(ct)2 ) y 2|s | = 1 ++ 2+− 2 . (211)γ2γ [(x + ct)2 + ε2 ]γ 2 [(x + ct)2 + ε2 ]γ2 2Приводя к общему знаменателю три последних слагаемых, содержащих y 2 , получаем, что|(x − ct)2 + y 2 y 2 ((x − ct)2 + y 2 + 2εγ − ε2 − 4(ct)2 )|s | = 1 ++.γ2γ 2 [(x + ct)2 + ε2 ]2 267(212)Если x и y настолько велики, что третье слагаемое в формуле (212) положительно,то в этом случае(x − ct)2 + y 2.(213)|s | >γ2Следовательно, при больших x и y модифицированная функция Бесселя может2 2быть заменена своей асимптотикой, что даёт(ps)ν−1/2 exp (−ps)1√ψ(r, t) =1+O.(214)|ps|x + ct − iε√Заметим, что Re(s) ≥ |s|/ 2, и так как | arg(s)| < π/4, функция ψ(r, t) обладаетэкспоненциальным убыванием и ψ ∈ L1 , ψ ∈ L2 .2.3.2Фурье-преобразование гауссова пакетаДля дальнейших рассуждений нам необходимо получить преобразование Фурье отфункции ψ(r, t) по пространственным переменным при фиксированном времени:Zb t) = d2 r ψ(r, t) exp (−ik · r), k = (kx , ky ).ψ(k,(215)R2Для вычисления преобразования Фурье нам удобно представить гауссов пакет ввиде (192), т.е., в виде интеграла по гауссовым пучкам.
Гауссов пучок и гауссовпакет имеют одинаковые функции в знаменателе, которые не обращаются в нуль,поэтому можно записатьrZ∞2b exp( i q θ).(ps)ν Kν (ps) = dq φ(q)π(216)0Используя формулу (183) из [38], стр. 354, получаем2κb = a q −ν−1 exp −γ q +,φ(q)q(217)где введены обозначения1 p2νa=√,2π (2γ)ν68κ=p.2γ(218)Тогда формула (202), с учётом следующего соотношения:ky2 εk − kx=ε,2(k + kx )2(219)позволяет записать Фурье-преобразование гауссова пакета:i−12ν hiπ/4 pν+1/2bψ(k, t) = 2πe|k|(|k| + kx )×γνγεp2× exp −(|k| + kx ) − (|k| − kx ) −− i|k|ct .22 2γ(|k| + kx )2.3.3(220)Нулевые моменты гауссова пакетаb t) имеет нуль бесконечного порядка вФормула (220) показывает, что функция ψ(k,точке k = 0 за счёт множителя exp(−1/|k|).
Это означает, что и любые производные от ψb по kx , ky в этой точке будут равны нулю. Это означает, что при фиксированном времени физический вейвлет гауссов пакет ψ(r, t) обладает бесконечнымчислом нулевых моментов, т.е., для любых целых неотрицательных l, m, j, µ следующие интегралы обращаются в нуль:Zd2 r xl y m ψ(r, t) = 0,R2Z∂ j+µ ψ(r, t)= 0.d rxy∂ j x ∂ µy2l m(221)R2Отметим, что это утверждение верно только для гауссового пакета, но не для гауссова пучка (190). Данное свойство показывает, что такие вейвлеты могут быть полезными для исследования полей, содержащих сингулярности [9], [10].2.3.4Асимптотическая связь гауссова пакета и гауссова пучкаВ этом разделе рассмотрим асимптотику гауссова пакета при больших значенияхпараметра p. Отметим вначале, что мы можем заменить функцию Макдональда в(204) на её экспоненциальную асимптотику и в этом случае мы получим (214) при69любых x, y, t, если p 1. Чтобы проверить это, напомним, что Re(s) ≥ 1, следовательно, Re(ps) ≥ p 1, а из этого следует, что |ps| 1 и экспоненциальнаяасимптотика верна.Покажем вначале, что модуль экспоненты в (214) имеет максимум в точке x =ct, y = 0, а значит, при s = 1.
Пусть s = a + ib, тогда из равенства 2a2 = (a2 − b2 ) +(a2 + b2 ) следует, чтоp2[Re(s)] = Re(s ) + [Re(s2 )]2 + [Im(s2 )]2 .22(222)Следовательно, [Re(s)]2 ≥ Re(s2 ), и с учетом того, чтоεy 2Re(s ) = 1 +γ [ (x + ct)2 + ε2 ]2(223)и что для y = 0, как следует из (212),(x − ct)2|s | = 1 +,γ22 2(224)мы получаем, что Re(s) > 1 в окрестности точки x = ct, y = 0. Формулы (205),(206) показывают, что s = 1, если x = ct, y = 0, т.е., в точке максимума модуляэкспоненты (214).Теперь мы рассмотрим поведение гауссова пакета вблизи его максимума и покажем, что он может быть приближен при помощи нестационарного гауссовогопучка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
