Диссертация (1150566), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Производные от ϕf по px и py совпадают (см. (297) и (298)). Отсюда95следует, чтоYΓ1 ϕX∗ = −Γ2 ϕ∗ ,Γ1 ϕY∗ = Γ2 ϕX∗ .(334)Такое же соотношение может быть получено прямыми вычислениями из (286), (273).Прямые вычисления с помощью (297), (298) и (273) показывают, что∂ϕHΓ3 ∗ = 0,∂pj3.5∂ϕEΓ3 ∗ = 0,∂pjj = x, y.(335)Двухмасштабное асимптотическое разложениеМы приведём асимптотическое представление некоторых особых решений уравнений Максвелла во всём пространстве, при условии выполнения следующих предположений:1. продольный период среды b мал по сравнению с поперечным масштабом изменения поля, и соотношение между масштабами характеризуется малым параметром χ,2. частота ω близка к частоте ω∗ стационарной точки p∗ одной из ветвей дисперсионной функции ω = ω f (p), f = H, E, т.е.

частота ω∗ определяется соотношениямиω∗ = ω E (p∗ ) = ω H (p∗ ),∇ω f (p∗ ) = 0,f = H, E.(336)Мы предполагаем, чтоω = ω∗ + χ2 δω,δω ∼ 1.(337)3. В точке p∗ должно быть одно ограниченное и одно неограниченное решениеФлоке-Блоха периодической задачи (284).96Наша цель – найти асимптотики решений уравнений Максвелла в следующемвиде:ξ ≡ χx,Ψ = Ψ(z, ρ),η ≡ χy,ζ ≡ χz,ρ = (ξ, η, ζ)(338)при χ 1. Поле в продольном направлении обладает двумя масштабами, один изкоторых характеризуется медленной переменной ζ = χz, а другой – переменной z.В поперечных направлениях x и y поле зависит только от медленных переменныхξ = χx, η = χy.Мы ищем решение в виде двухмасштабного асимптотического рядаΨ(z, ρ) = Φ(z, ρ)ei(px∗ ξ+py∗ η)/χ , Φ(z, ρ) = φ(z, ρ)eipz∗ z ,(339)Xχn φ(n) (z, ρ), φ(n) (z + b, ρ) = φ(n) (z, ρ), ρ = (ξ, η, ζ).

(340)φ(z, ρ) =n≥0В рассматриваемом нами случае в стационарной точке px∗ = py∗ = 0.Определим класс M шестикомпонентных вектор-функций, зависящих от переменных (z, ξ, η, ζ), которые периодичны по переменной z, гладкие по z на интервалах, где ε, µ гладкие, а в точках их разрывов имеют непрерывные компоненты 1, 2,4, 5. Также функции из рассматриваемого класса бесконечно дифференцируемы помедленным переменным. Будем считать, что все функции φ(n) ∈ M.В новых переменных уравнения Максвелла принимают видk∗ PΨ + iΓ3∂Ψb · ∇ρ Ψ − χ2 δω PΨ,= −iχΓ∂zck∗ =ω∗,c(341)гдеb · ∇ ρ ≡ Γ1 ∂ + Γ2 ∂ + Γ3 ∂ .Γ∂ξ∂η∂ζПодставляя асимптотический ряд (339) в (341), получаем набор уравненийA∗ φ(0) = 0,A∗ φ(n) = F (n) ,97(342)где∂Ψ− p∗ Γ3 Ψ,∂zb · ∇ρ φ(0) ,F (1) = −iΓb · ∇ρ φ(n−1) − δω Pφ(n−2) ,F (n) = −iΓcA∗ Ψ = k∗ PΨ + iΓ3(343)(344)n ≥ 2.(345)Мы ищем решения φ(n) в классе M.Прежде чем перейти к решению рекуррентной системы уравнений, найдем соотношение параметров, при которых все ненулевые слагаемые в правой части (343)одного порядка.

Положим, что поля E и H и параметры ε и µ в формулах (268) уженормированы следующим образом:rrεav eεav eεeE=E, H =H, ε =,µavµavεavµ=µe,µavk∗ =√εav µav ek∗ ,(346)где εav , µav – типичная диэлектрическая и магнитная проницаемость, которая может быть велика, а ε и µ – порядка единицы, εe, µe – исходные параметры в уравнении. Переменные ek∗ и k∗ означают волновое число в вакууме и в среде с парамет√рами εav и µav соответственно, k∗ = εav µav ω/c, где c – скорость света в вакууме.Второе и третье (если оно ненулевое) слагаемые в правой части (343) имеет порядок 1/b. Первое и второе слагаемые одного порядка, если√εav µav ω/c ∼ 1/b.(347)Это означает, что наш случай отличается от хорошо изученного в теории гомогенизации случая ωb/c → 0.3.5.1Главный член асимптотикиУравнение на главный член асимптотики – это уравнение на амплитуду ФлокеБлоха в точке p∗ .

Оно не содержит производных по компонентам ρ = (ξ, η, ζ), и его98коэффициенты не зависят от ρ. Его решения могут зависеть от ρ как от параметра,и мы ищем главный член асимптотики в видеYφ(0) (z, ρ) = α1 (ρ)ϕX∗ (z) + α2 (ρ)ϕ∗ (z),φ(0) ∈ M,(348)Yгде ϕX∗ (z), ϕ∗ (z) определены формулами (316), (300) и (286).

Функции E0 и H0удовлетворяют системе (284). Функции α1 , α2 – произвольные скалярные функциимедленных переменных ρ. Они определятся позже.3.5.2Поправка первого порядкаУравнение на поправку первого порядка φ(1) имеет видb · ∇ρ φ(0) ,A∗ φ(1) = −iΓφ(1) ∈ M.Обозначив правую часть как F (1) , выпишем систему покомпонентно:(1)∂φ5(1)(1)(1)− pz∗ φ5 = F1kεφ1 + i∂z(1)∂φ4(1)(1)(1)kεφ2 − i+ pz∗ φ4 = F2∂z(1)(1)kεφ3 = F3(1)∂φ2(1)(1)(1)kµφ4 − i+ pz∗ φ2 = F4∂z(1)∂φ1(1)(1)(1)kµφ5 + i− pz∗ φ1 = F5∂z(1)(1)kµφ6 = F6 ,99(349)(350)где φT(1)(1)(1)(1)(1)(1)= φ1 , φ2 , φ3 , φ4 , φ5 , φ6. Эта система распадается на две подси(1)(1)(1)(1)на функции φ1 , φ5 и φ2 , φ4 соответственно, а так же содержит два тож-(1)стемыдества для компонент 3 и 6. Каждая из подсистем имеет гладкие функции в правойчасти, и решения этих подсистем существуют всегда.

Однако в общем случае онисовершенно не обязательно будут периодичными, и решение φ(1) не будет принадлежать классу M. Чтобы решение принадлежало к этому классу, нужно сформулировать дополнительное условие.Лемма 2. Решение из класса M уравнения A∗ φ = F (342), существует тогда итолько тогда, когда выполнены следующие условия:ϕX,F= 0,∗ϕY∗ , F = 0.(351)Доказательство леммы 2 см. в Приложении 2.Проверим выполнение условия разрешимости для поправки первого порядка(349), т. е. чтоbϕX∗ ,Γ(0)· ∇ρ φbϕY∗ , Γ(0)· ∇ρ φ= 0.(352)Это условие сводится к следующим условиям:X b XX b Yϕ∗ , Γϕ∗ · ∇ρ α1 + ϕ∗ , Γϕ∗ · ∇ρ α2 = 0,Y b XY b Yϕ∗ , Γϕ∗ · ∇ρ α1 + ϕ∗ , Γϕ∗ · ∇ρ α2 = 0,(353)= 0,(354)где, например,X ∂α1X ∂α1X b XX ∂α1+ ϕX+ ϕX. (355)ϕ∗ , Γϕ∗ ·∇ρ α1 ≡ ϕX∗ , Γ2 ϕ∗∗ , Γ3 ϕ∗∗ , Γ1 ϕ∗∂ξ∂η∂ζЭти условия выполнены в стационарной точке благодаря (326).Теперь найдём точную формулу для решения φ(1) .

Правая сторона уравнения(349) может быть переписана в виде:b · (∇ρ α1 )ϕX − iΓb · (∇ρ α2 )ϕY .F (1) = −iΓ∗∗100(356)С учётом (334) заменим члены, содержащие Γ2 , на члены, содержащие Γ1 . Группируя оставшиеся слагаемые, получаем∂α2∂α1 ∂α2∂α1∂α1 ∂α2X(1)−+Γ3 ϕX−iΓ3 ϕY∗ .Γ1 ϕ∗ − iΓ1 ϕY∗ − iF = −i∗∂ξ∂η∂η∂ξ∂ζ∂ζ(357)Теперь в правой части четыре слагаемых.

Вместо того чтобы решать (349), решимчетыре независимых векторных уравнения, где в правых частях стоят каждое изчетырёх слагаемых по отдельности, а потом сложим полученные решения. Такжеприбавим решение однородного уравнения. Частные решения четырёх уравненийсовпадают с решениями (314), (315) и (322). В результате получаем:H∂α∂α∂ϕ∂α∂α∂ϕE1212∗∗φ(1) = −i−−i+−∂ξ∂η∂px∂η∂ξ∂px∂α1 ∂ϕX∂α2 ∂ϕY∗(1)(1) Y∗−i−i+ α1 ϕ X∗ (z) + α2 ϕ∗ (z).∂ζ ∂pz∂ζ ∂pz(358)(1)где α1,2 – новые произвольные функции медленных переменных ρ = (ξ, η, ζ).

Индекс ∗ показывает, что все производные по pj , j = x, y, z, вычислены в p = p∗ .3.5.3Разрешимость уравнения на поправку второго порядкаТеперь рассмотрим уравнение на поправку второго порядка:b · ∇ρ φ(1) ,A∗ φ(2) = −iΓφ(2) ∈ M.(359)(1)Решение φ(1) зависит от четырёх неизвестных функций αj , j = 1, 2, и αj , j = 1, 2.Условия разрешимости (359) дают уравнения на два из них: δω(1)bi ϕX+ ϕXPφ(0) = 0,∗ , Γ · ∇ρ φ∗ ,c Y b(1)Y δω(0)i ϕ∗ , Γ · ∇ ρ φ+ ϕ∗ , Pφ= 0.cДля краткости, введём обозначения∂α1 ∂α2τ1 ≡−,∂ξ∂ητ2 ≡101∂α1 ∂α2+∂η∂ξ(360)(361).(362)Вычислим каждый член независимо: HE∂ϕ∂ϕ(1)bb ∗ · ∇ρ τ1 + ϕX , Γb ∗ · ∇ρ τ2 +i ϕX= ϕX∗ , Γ · ∇ρ φ∗ ,Γ∂px∂pxXY∂α1∂α2X b ∂ϕ∗X b ∂ϕ∗+ ϕ∗ , Γ+ ϕ∗ , Γ.· ∇ρ· ∇ρ∂pz∂ζ∂pz∂ζ(1)(363)(1)Мы учли здесь, что коэффициенты при α2 и α1 обращаются в ноль согласно(326).

Найдем, например, первое слагаемое в правой части (363)HHHH∂ϕ∂ϕ∂τ∂ϕ∂τ∂ϕ∂τ111∗∗b ∗ ·∇ρ τ1 ≡ ϕX , Γ1 ∗ϕX+ ϕX+ ϕX.∗ ,Γ∗∗ , Γ2∗ , Γ3∂px∂px∂ξ∂px ∂η∂px∂ζ(364)HВ соответствии с (329) первый член пропорционален ω̈11∗, второй член исчезает всоответствии с (297) и последним соотношением из (332), а третий член равен нулюиз-за (335). АналогичноEEEE∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂τ∂τ∂τ222∗∗b ∗ ·∇ρ τ2 = ϕX , Γ1 ∗ϕX+ ϕX+ ϕX.∗ ,Γ∗∗ , Γ2∗ , Γ3∂px∂px ∂ξ∂px ∂η∂px ∂ζ(365)E, а два других члена обраВ соответствии с (330) второй член пропорционален ω̈22∗щаются в нуль: первый – в соответствии с (332), третий – с (335).Теперь перейдём к последним двум слагаемым в (363).

За счёт (331)–(333) получаем 2XX02∂ϕ∂α∂ϕ∂ α1ω̈33∗1∗∗X bXXX ∂ α1ϕ∗ , Γ· ∇ρ= ϕ∗ , Γ3=u,∂pz∂ζ∂pz∂ζ 22c ∗ ∂ζ 2Y∂α2∂ϕY∗ ∂ 2 α2XX b ∂ϕ∗ϕ∗ , Γ· ∇ρ= ϕ∗ , Γ3= 0.∂pz∂ζ∂pz∂ζ 2Отметим, что так как uXY= 0, получим, в соответствии с (348) и (327),∗δωδω XXϕXPφ(0) =u α1 .∗ ,cc ∗(366)(367)(368)В итоге условие (360) принимает вид∂τ1 H∂τ2 E∂ 2 α1 0δωω̈11∗ +ω̈22∗ +ω̈+2α1 = 0.∂ξ∂η∂ζ 2 33∗c102(369)YYМы сократили ненулевой множитель uXX∗ /2 = u∗ /2.Теперь получим второе уравнение, рассмотрев условие (361). Выполним аналогичную последовательность действий.

В начале, возьмём соотношение, котороеотличается от (363) только первым множителем в скалярных произведениях HEY b(1)Y b ∂ϕ∗Y b ∂ϕ∗i ϕ∗ , Γ · ∇ρ φ= ϕ∗ , Γ· ∇ρ τ1 + ϕ , Γ· ∇ ρ τ2 +∂px∂pxXY∂ϕ∂ϕ∂αb ∗ · ∇ρ 1 + ϕY , Γb ∗ · ∇ρ ∂α2 .+ ϕY∗ , Γ(370)∗∂pz∂ζ∂pz∂ζЗдесь, например,HHHH∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂τ∂τ∂τ1∂ϕ11b ∗ ·∇ρ τ1 ≡ ϕY , Γ1 ∗+ ϕY∗ , Γ2 ∗+ ϕY∗ , Γ3 ∗.ϕY∗ , Γ∗∂px∂px∂ξ∂px ∂η∂px∂ζ(371)Hв соответствии с (330). Первое иВторое слагаемое здесь пропорционально ω̈22∗третье слагаемые обращаются в нуль в соответствии с (332) и (335). Со слагаемымEY bϕ∗ , Γ ∂ϕ∗ ∂px · ∇ρ τ2 поступаем по аналогии с (365), используя второе соотношение из (329), (333) с учётом (315) и (335). По аналогии с (366) и (367) получимX02Y∂α1∂α2ω̈33∗Y b ∂ϕ∗Y b ∂ϕ∗XX ∂ α2ϕ∗ , Γ· ∇ρ= 0,ϕ∗ , Γ· ∇ρ=u.(372)∂pz∂ζ∂pz∂ζ2c ∗ ∂ζ 2HHω̈22∗∂τ1Y b ∂ϕ∗ϕ∗ , Γ· ∇ρ τ1 = −uXX.(373)∗∂px2c∂ηПо формулам (332) и (333) получаем−∂τ1 H∂τ2 E∂ 2 α2 0δωω̈22∗ +ω̈11∗ +ω̈+2α2 = 0.33∗∂η∂ξ∂ζ 2c(374)HHEEС учётом определения τ1 и τ2 (362) и того, что ω̈11∗= ω̈22∗и ω̈11∗= ω̈22∗, перепи-шем уравнения на α1 и α2 следующим образом:∂ 2 α1 H∂ 2 α1 E∂ 2 α1 0δω∂ 2 α2 HEω̈11∗ +ω̈11∗ +ω̈33∗ + 2 α1 −(ω̈11∗ − ω̈11∗) = 0,222∂ξ∂η∂ζc∂ξ∂η∂ 2 α2 E∂ 2 α2 H∂ 2 α2 0δω∂ 2 α1 HEω̈11∗ +ω̈11∗ +ω̈33∗ + 2 α2 −(ω̈11∗ − ω̈11∗) = 0.222∂ξ∂η∂ζc∂ξ∂η103(375)3.5.4Поправки старших порядковВернёмся к рекуррентной системе уравнений на поправки (342-345).

Поправка nго порядка имеет видφ(n)=(n)α1 ϕ X∗ (z)+(n)α2 ϕY∗ (z)(n)+G(n−1)(n−1)α1, α2, . . . α1 , α2,(376)(k)где G(n) - линейная комбинация производных от функций αj , j = 1, 2, k = 1 . . . n−1 по переменным ξ, η, ζ порядка до n включительно с известными постоянными коэффициентами. Например, в главном порядке, согласно формуле (348), G(0) ≡ 0.(0)В поправке первого порядка, согласно (358), G(1) содержит производные от αj ≡αj , j = 1, 2, до первого порядка включительно:H∂α1 ∂ϕX∂α2 ∂ϕY∗∂α∂ϕ∂α∂α∂ϕE∂α1212∗∗∗(1)G ≡ −i−i−i−i.−+∂ξ∂η∂px∂η∂ξ∂px∂ζ ∂pz∂ζ ∂pz(377)Для нахождения поправки φ(2) рассмотрим следующие неоднородные уравнения:A∗ Υ2HjA∗ Υ2Xj∂ϕH= Γj ∗ ,∂px∂ϕX= Γj ∗ ,∂pzA∗ Υ2EjA∗ Υ2Yj∂ϕE= Γj ∗ ,∂px∂ϕY∗,= Γj∂pz(378)j = 1, 2, 3.(379)Каждое из этих уравнений представляет собой систему вида (350) с соответствующими правыми частями.

Необходимо проверить разрешимость этих уравнений вклассе M согласно лемме 2, т.е., что выполняются условия (351):ϕX,F= 0,∗ϕY∗ , F = 0,(380)где F последовательно принимает значения правых частей из (378), (379). Рассматривая всевозможные комбинации вида∂ϕH∂ϕE∗∗ffϕ∗ , Γj= 0,ϕ∗ , Γj= 0,∂px∂px∂ϕX∂ϕY∗∗ffϕ∗ , Γj= 0,ϕ∗ , Γj= 0, j = 1, 2, 3,∂pz∂pz104(381)f = X, Y,получаем 24 условия. Из них 18 условий выполняются (что следует из формул (332),(333), (335)), 6 - не выполняются (что следует из формул (329), (330) и (331)).Неоднородные уравнения из семейства (378), (379), для которых условия разрешимости выполнены, имеют решения из класса M. Уравнения, для которых условия разрешимости не выполнены, также имеют решения, которые не принадлежатклассу M и имеют непериодичные компоненты поля.2E2X2YДалее рассмотрим сумму уравнений на Υ2Hj , Υj , Υj , Υj , j = 1, 2, 3 с та-кими коэффициентами, чтобы сумма правых частей уравнения была равна F (2) ≡b · ∇ρ φ(1) .

Характеристики

Список файлов диссертации