Автореферат (1150565)
Текст из файла
На правах рукописиС ИДОРЕНКО М ИХАИЛ С ЕРГЕЕВИЧРазложения по физическим вейвлетам решений волновогоуравненияСпециальность 01.01.03 — математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург – 2016Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждениивысшего образования Санкт-Петербургский государственный университетНаучный руководитель:ПЕРЕЛЬ Мария Владимировна,кандидат физико-математических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет, кафедра высшей математики и математической физики, доцент.Официальные оппоненты:ПОПОВ Алексей Владимирович,доктор физико-математических наук, Институт земного магнетизма, ионосферы и распространениярадиоволн им.
Н.В. Пушкова Российской академии наук, заведующий отделом распространениярадиоволн.ПОСТНИКОВ Евгений Борисовичдоктор физико-математических наук, доцент, Курский государственный университет, кафедра физики и нанотехнологий, профессор.Ведущая организация:Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования СанктПетербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики.Защита состоится 13 октября 2016 года вчасов на заседании диссертационного советаД 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:199004, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд.
304.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького СПбГУ и на сайтеСанкт-Петербургского государственного университета https://disser.spbu.ru/ .Автореферат разослан ""2016 года.Учёный секретарьдиссертационного советаАксёноваД 212.232.24, д.ф.-м.нЕлена Валентиновна2ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы исследований. Представление сложного волнового поля в виде интегралаили суммы других элементарных волновых полей, обладающих известными, более простыми свойствами, является широко распространённым приёмом решения задач распространения волн.
Интегральные представления решений волнового уравнения обычно строятся на основе фундаментального решения или методом разделения переменных. Разделение переменных в декартовых координатах ведёт к разложению по плоским волнам. Однако в целом ряде практических задач, требующихизучения локализованных или многомасштабных полей, использование плоских волн неоправданно. Наиболее известными примерами подобных задач являются задачи геофизики, а именно обработки данных сейсморазведки. Всё это стимулировало разработку методов разложения волновогополя в сумму или интеграл от локализованных элементарных решений.
В настоящее время существует обширная литература по локализованным решениям с конечной энергией, не связанным сразделением переменных, среди которых есть решения со степенным и даже с экспоненциальнымубыванием (см., напр., [1]). Однако остаётся открытым вопрос о возможности представить всякоеполе в виде интеграла по таким решениям или, другими словами, вопрос о построении полной системы локализованных решений и об определении коэффициентов разложения по ней.Наиболее известен класс методов, использующих в качестве элементарных решений пространственные или пространственно-временные гауссовы пучки.
Эти решения являются асимптотическими, заданными в высокочастотном приближении. Из множества работ, связанных с методомсуммирования гауссовых пучков, отметим основополагающие труды В.М. Бабича и Т.Ф. Панкратовой [2], а также В.М. Бабича и М.М. Попова [3, 4]. Обзор основных результатов в этой области приведён в статье Э. Хеймана и Л. Фелсена [5]. Для определения коэффициентов разложенияпо гауссовым пучкам поля точечного источника применяется метод сравнения с высокочастотнойасимптотикой [3, 4]. В других работах, посвящённых разложениям по гауссовым пучкам, предлагается подбор коэффициентов при помощи метода наименьших квадратов (см. [5]). Ещё один методбыл применён в [5] для решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полупространстве.Граничные данные раскладывались с помощью дискретного преобразования Габора на элементарные функции, которые затем выступали в качестве граничных значений для элементарных решений,построенных с помощью пропагатора, основанного на формуле Грина.Джеральд Кайзер в [6] предложил метод, не использующий асимптотики.
Этот метод построенияинтегрального представления решений волнового уравнения в однородной среде допускает интерпретацию с точки зрения вейвлет-анализа. Элементарные решения строятся на основе некоторогосферически симметричного решения с конечной L2 -нормой, обладающего всего лишь степенной3локализацией, а использование других элементарных решений не предполагается.В настоящей работе развивается метод получения точных разложений волнового поля, удовлетворяющего нестационарному волновому уравнению с постоянными коэффициентами в виде суперпозиции элементарных локализованных решений этого же уравнения, которые могут быть полученыиз одного решения с помощью элементарных преобразований.
Метод представляет собой расширение вейвлет-анализа на пространство решений волнового уравнения. Таким образом, работа находится на пересечении двух актуальных и динамично развивающихся направлений – полученияпредставлений для волновых полей в терминах локализованных решений и непрерывного вейвлетпреобразования – и вносит вклад в развитие обоих направлений.
Построение нового интегральногопредставления решений волнового уравнения – классическая задача, которая, кроме общетеоретического значения, может иметь актуальные приложения.Вторая часть работы посвящена асимптотическому описанию электромагнитных волн, распространяющихся в слоистой периодической среде. Такая среда является частным случаем сред, называемых фотонными кристаллами.
Изучение новых эффектов в слоистых периодических структурахактуально для приложений, в связи с появившимися в последнее время технологическими возможностями создания таких структур с периодами порядка нанометров. В настоящее время исследование и разработка искусственных сред с заранее задаваемыми параметрами является огромной ибыстро развивающейся областью науки (см., напр., [7]). Периодические слоистые среды представляют собой наиболее исследованный класс подобных сред, что связано с меньшей сложностью иханализа и с большей простотой их изготовления, по сравнению со структурами, обладающими периодичностью по двум и трем измерениям. Все это обуславливает повышенный интерес к слоистымструктурам.
Тем не менее, и в такой задаче изучены не все возможные эффекты.В работе показано, что огибающая монохроматического поля в периодической среде может выражаться через решение гиперболического и, в частности, волнового уравнения, где роль временииграет координата вдоль нормали к границам слоев. Это значит, что для представления поля в такойсреде можно применить развитый в первых главах метод. В случае отсутствия зависимости поляот одной из поперечных координат и при специально подобранной частоте доказана возможностьсуществования нерасплывающихся решений, сосредоточенных вблизи некоторой прямой, котораяможет иметь только фиксированный по модулю угол с границей раздела слоёв. Этот результат имеетнаучную и практическую значимость.
Постановка задачи была вдохновлена работой [8].Цель работы. Работа состоит из двух смысловых частей, первая из которых состоит из глав 1 и2, вторая – из главы 3. Цель первой части работы – развить математический аппарат непрерывного4вейвлет-анализа для решений волнового уравнения с постоянными коэффициентамиutt − c2 (uxx + uyy ) = 0,r = (x, y),c = const,(1)и получить с помощью этого аппарата интегральное представление решений в терминах локализованных элементарных решений этого уравнения.
В первой части работы ставятся следующие задачи:1. Найти представление решений волнового уравнения (1) видаZu(r, t) =dµ(ν) U (ν) ψ ν (r, t),(2)где ψ ν (r, t) – локализованные решения этого уравнения, зависящие от набора параметров,обозначенных ν. Такие решения мы будем называть физическими вейвлетами. Интегрирование ведется по мере µ(ν) в пространстве параметров ν. Следует определить пространство решений волнового уравнения H, в котором строится разложение и найти правило построенияфизических вейвлетов, коэффициенты разложения U (ν), меру µ(ν).
Следует также выяснитьвопросы сходимости полученного несобственного интеграла.2. Пусть для уравнения (1) поставлена задача Коши2utt − c (uxx + uyy ) = 0,u|t=0 = w(r),∂u = v(r).∂t t=0(3)Определить класс функций w, v, который бы позволял представить решение задачи (3) в виде интегрального представления (2) и найти коэффициенты U (ν), соответствующие решениюзадачи Коши в терминах вейвлет-преобразований начальных данных.3. Дать способ построения физических вейвлетов, то есть точных решений волнового уравнения(1), которые могут использоваться в интегральном представлении (2).Цель второй части работы – построить нетривиальный пример, допускающий использование представления (2).
В этом качестве рассматривается периодическая слоистая диэлектрическая среда имонохроматическое электромагнитное поле, описываемое уравнениями Максвелла. Во второй части работы ставятся следующие задачи:1. Построить формальное асимптотическое разложение решений уравнений Максвелла в периодической слоистой среде в предположении, что частота поля близка к частоте стационарной точки дисперсионной поверхности. Предполагается, что поле характеризуется двумя5пространственными масштабами: периодом среды и масштабом изменения огибающей поля вплоскости слоёв.
Отношение этих масштабов – малый параметр, по которому ведется асимптотическое разложение.2. Рассмотреть частный случай, когда огибающая поля зависит только от двух переменных. Найти свойства электромагнитного поля в главном порядке разложения.3. Подтвердить с помощью численного моделирования асимптотические результаты.Методы исследования. В первой части работы для построение интегрального представления решения используется метод непрерывного вейвлет-анализа. Непрерывный вейвлет-анализ возник в80-е годы на стыке нескольких дисциплин. В его основе лежит чисто математический результат,который оказался чрезвычайно полезным для обработки и аппроксимации больших массивов экспериментальных данных, возможно, включающих шум. Этот метод нашел приложения в сейсмике,астрономии и других областях.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
