Автореферат (1150565), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Вейвлет-анализ можно считать обобщением Фурье-преобразования.Если известно преобразование Фурье некоторой функции, то эту функцию можно восстановитьс помощью формулы обращения. Аналогично, по известному вейвлет-преобразованию функцииможно восстановить саму функцию с помощью формулы восстановления.

Вейвлет преобразованиеявляется изометрическим преобразованием.Во второй части работы для получения формального асимптотического ряда используется метод двумасштабных разложений. Результаты проверяются при помощи численного моделированияметодом FDTD (finite difference time domain, метод конечных разностей во временной области) сиспользованием коммерческого пакета моделирования распространения электромагнитных волн.Научная новизна. В диссертации вейвлет-анализ впервые применяется для получения аналитических результатов для решения дифференциальных уравнений. Впервые построен метод, позволяющий применить вейвлет-анализ с физическими вейвлетами из широкого класса к решениямволнового уравнения.

Впервые детально исследованы свойства нескольких классов точных локализованных решений волнового уравнения с точки зрения вейвлет-анализа, в том числе, свойствагауссова волнового пакета. Впервые построено формальное асимптотическое разложение решенийуравнений Максвелла в слоистой периодической среде при частоте, соответствующей окрестности гиперболической точки дисперсионной поверхности периодической среды, которое позволяетв главном порядке свести уравнения Максвелла к уравнениям гиперболического типа.

Полученная задача попадает в класс проблем, для которых в первой части данной работы предложен методрешения. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми:61. Построено интегральное представление решений волнового уравнения с постоянными коэффициентами, выражающее их через локализованные элементарные решения, называемые физическими вейвлетами. Сформулированы условия (условия допустимости), которым должныудовлетворять элементарные решения, чтобы они были физическими вейвлетами.2. Найдено решение задачи Коши для волнового уравнения в виде интеграла от физических вейвлетов с коэффициентами, выражающимися через вейвлет-преобразования начальных данных.

Доказано, что этот интеграл является обобщенной функцией медленного роста, зависящей от времени как от параметра, и удовлетворяет задаче Коши в обобщенной постановке.3. Получена формула, описывающая развитие во времени вейвлет-преобразования решения волнового уравнения, не требующая вычисления самого решения.4. Выяснено, при каких условиях известные способы построения явных решений волнового уравнения дают физические вейвлеты. Предложен способ получения физических вейвлетов, какполей движущихся источников.5. Выяснено, что гауссов волновой пакет – найденное ранее явное и точное решение волнового уравнения в пространстве любой размерности – является физическим вейвлетом.

Явнополучено преобразование Фурье гауссова волнового пакета. Установлено, что его моментылюбого порядка, найденные по пространственным координатам при фиксированном времени, обращаются в нуль. Если один из параметров решения велик, найдена асимптотика этогорешения через гауссов пучок.6. Численно исследовано насколько соотношение неопределенности для гауссова волнового пакета близко к теоретическому пределу при различных значениях параметров. Численно исследованы направленные свойства физического вейвлета гауссов волновой пакет.7.

Построено двухмасштабное асимптотическое разложение монохроматического электромагнитного поля специального вида в бесконечной слоистой периодической среде. Показано, чтоглавный член разложения выражается через решения гиперболических уравнений.8. Показано, что в плоском случае в бесконечной слоистой периодической среде возможно существование нерасплывающихся локализованных пучков. Выяснено, что такие пучки составляют с нормалью к плоскости слоёв один фиксированный угол.9. Численный эксперимент, проведённый с использованием коммерческого пакета моделирования распространения электромагнитных волн, основанного на методе FDTD, подтвердил существование пучков с предсказанными параметрами.7Достоверность результатов.

Результаты первой части диссертации обоснованы с помощью строгих математических доказательств. Результаты второй части получены на уровне формальных асимптотических разложений и проверены численным моделированием.Научная и практическая значимость. Формулы, полученные в настоящей работе, представляютинтерес для изучения распространения волновых полей с такими начальными данными, для аппроксимации которых эффективен вейвлет-анализ. Это могут быть функции двух и более переменных,имеющие многомасштабную структуру. В качестве примера в двумерном случае можно взять функции, аппроксимирующие черно-белое изображение или заданные экспериментально в виде большого массива данных и, возможно, включающие шум.Результаты, полученные во второй части работы, могут быть полезными для предсказания поведения локализованных полей, например, лазерного пучка, в слоистых периодических средах.Апробация работы.Результаты работы докладывались на Санкт-Петербургском городском се-минаре по дифракции и распространению волн (Санкт-Петербургское отделение Математического института им.

В.А.Стеклова РАН), на семинарах кафедры Высшей математики и математической физики Физического факультета СПбГУ, на семинаре Физико-Технического института имениА.Ф.Иоффе и на международных конференциях: в Санкт-Петербурге ("Days on Diffraction-2006,2007, 2008, 2011, 2012, 2014, 2016"), в Финляндии ("Waves-2003"), в Германии (Summer SchoolNew Trends and Directions in Harmonic Analysis, Approximation Theory, and Image Analysis, 2007).Основные материалы диссертации отражены в 9 публикациях, приведенных в конце автореферата.Личный вклад. Результаты, опубликованные в совместных работах М.В. Перель и М.С.

Сидоренко [A1], [A2], [A4], [A5], [A8], [A9] в равной мере принадлежат обоим авторам. Две работы [A6],[A7] опубликованы в соавторстве с М.В. Перель и Е.А. Городницким. Эти результаты также в равной мере принадлежат всем авторам. Определяющий вклад в результаты, опубликованные в [A3],принадлежит диссертанту.Публикации. Основные материалы диссертации отражены в 9 публикациях [A1]-[A9].Структура и объем работы.Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы,двух приложений, списка литературы и иллюстраций и содержит 137 страниц и 17 рисунков.

Списоклитературы включает 48 наименований.8Основное содержание работыСодержание главы 1Результаты, приводимые в главе 1, опубликованы в [A2], [A4], [A5], [A6], [A7].В главе 1 построено интегральное представление решения волнового уравнения (1) с постоянным коэффициентом c, выражающее поле через локализованные элементарные решения. Представление основано на математическом аппарате непрерывного вейвлет-анализа. Пусть пространство H состоит из обобщённых решений этого уравнения u(r, t), таких, что u(·, t) ∈ L2 (R2 ) прификсированном времени.

Более подробное описание функционального пространства дано в первойглаве. Пространство H разбивается в прямую сумму подпространств H = H+ ⊕ H− , что соответствует разложению преобразования Фурье (по пространственным координатам) ub всякого решенияu из пространства H на сумму компонент с положительной и отрицательной частотами:ub(k, t) = ub+ (k, t) + ub− (k, t),u± (r, t) ∈ H± ,ub± (k, t) = ub± (k, 0) e∓i|k|ct .(4)Существенно, что скалярное произведение в каждом из подпространств H± не зависит от времени.

Используется стандартное в L2 скалярное произведение, вычисляемое по пространственнымкоординатам при фиксированном времени.Выберем пару решений ψ± (r, t) из H± , которые удовлетворяют условиюCψ±Z≡d2 k|ψb± (k, 0)|2< ∞.|k|2(5)R2Вслед за Кайзером [6] назовем такие решения физическими вейвлетами. Образуем семействоэлементарных решений из ψ± (r, t) при помощи сдвигов, поворотов и масштабирования:1−1 r − b tνψ± (r, t) ≡ ψ± Mβ,,aaaν = (a, b, β),Mβ = cos β − sin βsin βcos β.(6)Здесь a управляет изменением масштаба, b – сдвигом в пространстве, угол β – поворотом решенияψ.

Для краткости набор параметров заменен одной буквой ν. От классического семейства вейвлетов (см. [9]) такое семейство элементарных решений отличается преобразованием времени t.В настоящей работе получено представление произвольного решения u из H в виде интеграла9νпо семейству элементарных решений ψ±.

Интегральное представление имеет вид:1u(r, t) = +CψZνdµ(ν) U+ (ν) ψ+(r, t)1+ −CψZνdµ(ν) U− (ν) ψ−(r, t).(7)Здесь производится интегрирование по мере µ(ν), причемdµ(ν) ≡ dβda 2d b,a3β ∈ [0, 2π),a ∈ (0, +∞),b ∈ R2 .(8)Коэффициенты разложения U± (ν) не зависят от времени и определяются следующим образом:ν(r, t)i,U+ (ν) ≡ hu+ (r, t), ψ+ν(r, t)i.U− (ν) ≡ hu− (r, t), ψ−(9)Если решение u задано при помощи задачи Коши (3), причём w(r) ∈ L2 (R2 ), vb(k)/|k| ∈ L2 (R2 ),то коэффициенты разложения найдены и выражаются через вейвлет-преобразования начальныхданных W± (ν), V± (ν) следующим образом:11U± (ν) = W± (ν) ∓ V± (ν),22νW± (ν) = hw(r), ψ±(r, 0)i,V± (ν) = hv(r), χν± (r, 0)i.(10)Здесь введено семейство элементарных решений χν± (r, t), которое строится на основе решенияχ± (r, t) по формуле (6), в которой ψ надо заменить на χ. Решение χ± (r, t) связано с решениемψ± (r, t) соотношением1χ± (r, t) = −(2π)2Zd2 k1 bψ± (r, 0)eik·r∓ic|k|t .ic|k|(11)R2Доказано, что формула (7) с коэффициентами, определяемыми формулами (10), даёт решениезадачи Коши в смысле обобщённых функций.

Мы предпочитаем обобщённую постановку задачиклассической в связи с тем, что начальные данные могут иметь разрывы, и, как известно, вейвлетанализ особенно эффективен для представления функций с разрывами.Также построено альтернативное интегральное представление. В формулах, полученных выше,вейвлет-преобразование решений (9) определено так, что оно не зависит от времени, то есть коэффициенты разложения решений по решениям не зависят от времени.

Характеристики

Список файлов диссертации