Автореферат (1150565), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В работе получена и другаясхема, в которой используется вейвлет-преобразование решения в момент времени t по пространственным координатам. Время является параметром, и вейвлет-преобразование от него зависит и10выражается через начальные данные следующим образом:1U (ν, t)=2Z2d r w(r)hν(r, t)ψ++ν(r, t)ψ−R2ia+2Zihd2 r v(r) χν+ (r, t) − χν− (r, t) ,(12)R2где w(r), v(r) – начальные данные. Семейство решений χν± (r, t) определено выше. В этом случаеинтегральное представление решений имеет вид:1u(r, t) =eCZ+∞0daa2Z2πZdβ U (ν(a, r, β), t),0e≡Cd2 kϕ(k)b.|k|2(13)R2Здесь учтена формула (6) для переменной ν и положено b = r.Известно, что вейвлет-преобразование функции содержит в себе информацию о её локальныхпространственных частотах [9], [10].
Формула (12) представляет самостоятельный интерес, потомучто позволяет найти вейвлет-преобразование решения без вычисления самого решения.Содержание главы 2Результаты, приводимые в главе 2, опубликованы в [A1], [A2].В главе 2 разрабатываются методы построения физических вейвлетов, то есть таких решенийволнового уравнения c постоянной скоростью, которые можно использовать в интегральном представлении, полученном в главе 1. Для этого нужно построить явные решения волнового уравнения,обладающие конечной L2 -нормой при фиксированном времени и удовлетворяющие условию (5).Для проверки условия (5) необходимо знание Фурье-преобразования решения.
Кроме того, преимуществом физического вейвлета является его хорошая локализация в фазовом пространстве.1. Первый метод основан на рассмотрении неоднородного волнового уравнения в R3utt − c2 (uxx + uyy + uzz ) = φ(t)δ(x)δ(y)δ(z),(14)где φ(t) назван прокси-вейвлетом в работе Г. Кайзера [6]. Выбирая φ(t), можно получить локализованные сферически симметричные решения неоднородного уравнения. Сумма сходящегося и расходящегося решений, сдвинутая по координатам в комплексную плоскость, даётлокализованное решение однородного уравнения. В построениях Кайзера можно было использовать только один физический вейвлет.
В настоящей работе выяснены условия, которыенадо наложить на прокси-вейвлет, чтобы решения были физическими вейвлетами, пригодными для использования в интегральных представлениях главы 1.112. Второй способ впервые предложен в данной работе. Он основан на рассмотрении неоднородного волнового уравнения в R2 с движущимся источником в правой части2 ±±u±tt − c (uxx + uyy ) = ±φ(t)δ(x + ct)δ(y),(15)где решение u+ отлично от нуля при x+ct < 0, а u− – при x+ct > 0 (здесь функции u± не следует путать с функциями u± из главы 1 ). Сумма этих решений представляет собой решениеоднородного уравнения.
Сдвигая решение в комплексную плоскость по координатам, получаем семейство локализованных решений. Выбрана функция φ(t), порождающая найденноеранее в [11] решение, называемое гауссовым пакетом.3. Третий способ основан на суммировании нестационарных гауссовых пучков с различными весовыми функциями [12]. Сформулированы условия выбора весовых функций, обеспечивающие построение физических вейвлетов.В главе 2 детально исследовано решение, найденное в [11], и его обобщение, которое мы называем ниже гауссовым пакетом. Получены следующие аналитические и численные результаты:• Формулы для преобразования Фурье от гауссова пакета найдены явно для любого количествапространственных измерений n ≥ 2.• Гауссов пакет принадлежит H+ .• При фиксированном времени гауссов пакет имеет бесконечное число нулевых моментов попространственным координатам.• Получена новая асимптотика гауссова пакета при больших значениях одного из параметров,выражающая его через нестационарный гауссов пучок.• В главе 2 численно исследованы величины, характеризующие степень локализации решенияпри фиксированном времени в пространственной области и в области его пространственныхчастот.
Выяснено, насколько их произведения приближаются к теоретическому нижнему пределу, задаваемому соотношением неопределённости (см., напр., [9]).• Показано, что гауссов пакет при фиксированном времени и больших значениях одного из параметров является направленным (см.
определение направленности вейвлета в [9]), и проведено численное исследование его масштабной и угловой разрешающих способностей.12Содержание главы 3Результаты, приводимые в главе 3, опубликованы в [A3], [A8], [A9].В главе 3 рассмотрен нетривиальный пример неоднородной среды, в которой электромагнитноемонохроматическое поле описывается гиперболическим уравнением с постоянными коэффициентами и, в частности, волновым уравнением. В перспективе предполагается применение к задачамраспространения волн в такой среде аппарата, разработанного в главах 1-2.Монохроматическое электромагнитное поле частоты ω удовлетворяет уравнениям Максвелла:rotE = ikµH,rotH = −ikεE,(16)где k = ω/c, c – скорость света в вакууме.
Мы рассматриваем эти уравнения в бесконечной слоистой среде, где параметры среды ε(z), µ(z) кусочно-гладкие и периодические: ε(z + b) = ε(z),µ(z + b) = µ(z).Предмет исследования – такие решения монохроматических уравнений Максвелла, которыемедленно (по сравнению с периодом среды b) меняются по поперечным координатам x, y, а по координате z осциллируют с медленно изменяющейся амплитудой. Предполагаем, во-первых, что период b среды много меньше масштаба изменения поля по x, y, и их отношение равно малому параметру χ. Во-вторых, требуем, чтобы частота поля была близка к частоте одной из стационарныхточек ω∗ дисперсионной поверхности ω = ω(p), p = (px , py , pz ) среды: ω = ω∗ + χ2 δω,δω ∼ 1.В-третьих, предполагаем, что в этой стационарной точке, кроме ограниченного на бесконечностирешения Флоке-Блоха, существует растущее на бесконечности решение, что соответствует случаюобщего положения.В слоистой среде существуют волны двух поляризаций: поперечная магнитная (TM) и поперечная электрическая (TE).
Для каждой из поляризаций имеется своя собственная дисперсионнаяфункция ω = ω H (p), ω = ω E (p) соответственно. В стационарных точках эти функции совпадают.Поле найдено в виде формального асимптотического ряда:(E, H)t (z, ρ) = eipz∗ zXχn φ(n) (z, ρ),(17)n≥0где ρ = (ξ, η, ζ), ξ = χx, η = χy, ζ = χz, χ 1, pz∗ = 0, ±π/b. Главный член разложения (17) имеетвид:Y(E, H)t (z, ρ) = α1 (ρ)ΦX∗ (z) + α2 (ρ)Φ∗ (z) + O(χ),(18)tYtгде ΦX∗ = (E0 , 0, 0, 0, H0 , 0) |pz∗ и Φ∗ = (0, −E0 , 0, H0 , 0, 0) |pz∗ , выражаются через (E0 , H0 ), которые13являются решениями Флоке-Блоха системыidE0= −kµH0 ;dzidH0= −kεE0 .dz(19)Функции αj (ρ), j = 1, 2, определяются следующими уравнениями:∂ 2 α1 H∂ 2 α1 E∂ 2 α1 0δω∂ 2 α2 HE+++2α−(ω̈ − ω̈11) = 0,ω̈ω̈ω̈1∂ξ 2 11∗∂η 2 11∗∂ζ 2 33∗c∂ξ∂η 11∂ 2 α2 E∂ 2 α1 H∂ 2 α2 H∂ 2 α2 0δωEα−(ω̈ − ω̈11) = 0.ω̈+ω̈+ω̈+22∂ξ 2 11∗∂η 2 11∗∂ζ 2 33∗c∂ξ∂η 11(20)Коэффициенты уравнений представляют собой вторые производные дисперсионных функций дляволн разной поляризации ω = ω H (p), ω = ω E (p), вычисленные в стационарных точках.
Например,для TM поляризации формула Тейлора вблизи стационарной точки имеет вид:1 01 H 2(px + p2y ) + ω̈33∗(pz − pz∗ )2 + . . . ,ω = ω∗ + ω̈11∗22(21)Так как среда обладает осевой симметрией, производные от дисперсионной функции по px и py равны и зависят от типа поляризации, тогда как производная по pz не зависит от типа поляризации.Если поле зависит от двух поперечных переменных, то уравнения для αj (ρ), j = 1, 2 могут бытьупрощены при помощи введения новых функций.Если поле не зависит от одной из поперечных переменных, например от η, уравнения на функцииα1 и α2 разделяются без введения дополнительных функций и приобретают вид∂ 2 α1 0δω∂ 2 α1 Hω̈+ω̈33∗ + 2 α1 = 0,11∗22∂ξ∂ζc∂ 2 α2 E∂ 2 α2 0δωω̈+ω̈33∗ + 2 α2 = 0.11∗22∂ξ∂ζc(22)0При δω = 0 и ω̈33∗< 0 уравнения превращаются в одномерные волновые уравнения, роль времеH0ни в которых играет переменная ζ, а роль скорости – отношение вторых производных ω̈11∗/ω̈33∗,E0ω̈11∗/ω̈33∗.
Из свойств волнового уравнения следует, что в слоистой среде существуют решенияуравнений Максвелла (16), представляющие собой пучки, ширина которых не меняется с изменением z, и все пучки ориентированы только под одним фиксированным углом к оси z, тангенс которогоравен отношению вторых производных. Этот эффект был изучен аналитически и численно в [A3].Была рассмотрена простейшая модель из двух чередующихся однородных слоёв диэлектрика, длякоторой дисперсионная функция, её вторые производные и решения Флоке-Блоха определяютсяаналитически. По явным формулам были проведены расчёты, демонстрирующие распространениепучка в среде.
Далее был проведен численный эксперимент по распространению пучка в слоистой14среде с заданными параметрами с использованием коммерческого пакета CST Microwave Studio.Результаты, полученные по явным формулам совпадали с результатами моделирования.Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАКA1 Perel M. V., Sidorenko M. S. New physical wavelet ‘Gaussian wave packet’ // Journal of PhysicsA: Mathematical and Theoretical. 2007. Vol.
40. P. 3441–3461A2 Perel M. V., Sidorenko M. S. Wavelet-based integral representation for solutions of the waveequation // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2009. Vol. 40. P. 3441–3461A3 Perel M. V., Sidorenko M. S. Analytic approach to the directed diffraction in a one-dimensionalphotonic crystal slab // Physics Review B.
2012. Vol. 86, iss. 3. P. 035119Публикации автора по теме диссертации в иных научных изданияхA4 Perel M. V., Sidorenko M. S. Wavelet Analysis in Solving the Cauchy Problem for the WaveEquation in Three-Dimensional Space // Mathematical and numerical aspects of wave propagation:Waves 2003. eds. G. C. Cohen, E. Heikkola, P.
Jolly, P. Neittaanmaki. 2003. Springer-Verlag, P.794–798A5 Perel M. V., Sidorenko M. S. Wavelet analysis for the solution of the wave equation // Proc. of theInt. Conf. DAYS on DIFFRACTION 2006. Ed. I.V. Andronov. 2006. SPbU. 208–217A6 Perel M. V., Sidorenko M. S., Gorodnitsky E. A. Time evolution of thewavelet transform of theacoustic field. // Proc. of the Int. Conf. DAYS on DIFFRACTION 2008. Ed. I. V. Andronov. 2008.SPbU. P. 147–152A7 Perel M.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
