Диссертация (1150566), страница 15
Текст из файла (страница 15)
На рисунке 13-15 пунктирной линией приведены изочастотные контуры дляδω = 0, δω < 0 и δω > 0 соответственно, которым отвечают длины волн λ = 401нм, λ = 405 нм и λ = 397 нм. Сплошной линией приведены изочастотные контуры,полученные из непосредственного численного решения уравнения (400). Видно, чтос ростом pk расхождение между этими кривыми растёт. Это подтверждает предположение о том, что найденные асимптотики работают только если поле меняетсямедленно. Действительно, чем больше pξ , тем быстрее меняется поле и тем менееприменим асимптотический результат.3.7.1Результаты численного моделированияДля среды с параметрами, описанными выше, было проведено моделирование вкоммерческом программном пакете CST Microwave Studio. Была смоделированаслоистая структура с 50 периодами по оси z и периодическими граничными условиями по оси y, что на практике обеспечивает отсутствие зависимости от этой координаты.
Плоскость z = 0 совпадает с границей раздела пустое пространство –периодическая слоистая структура. В качестве источника поля был взят электромагнитный гауссов пучок, падающий из минус бесконечности по z на плоскость xyпод разными углами к оси z. Пучок, ось которого совпадает с осью z, а фокус находится в точке z = 0, описывается формулой 2w0x + y2x2 + y 2E(x, y, z, t) = Re E0exp − 2exp −ik ct + z +, (404)w(z)w (z)2R(z)где w0 - поперечный размер пятна в плоскости фокуса,s 2 z 2 2πzπw02Rk=, w(z) = w0 1 +, zR =, R(z) = z 1 +.
(405)λzRλzМы рассматриваем пучок, у которого w0 = 2λ. Пучки, ось которых составляет сосью z некоторый угол, получаются поворотом исходного пучка в плоскости xz.112Падающий пучок порождает отражённый пучок, уходящий обратно на минус бесконечность по z, и пучок, прошедший в слоистую среду. Для углов падения пучка избесконечности, равным 0, 15, 30, 45 градусов прошедший в среду пучок распространялся под одним и тем же углом, предсказанным формулой(392) и равным 31 градусу. Это явление было обнаружено численно в [48] при численном моделированииотражения пучка от двумерной периодической структуры и было названо направленной дифракцией.
Из наших формул следует объяснение этого явления. Примерраспределения амплитуды компоненты Hy в установившемся режиме для угла падения пучка равного 15 градусам приведён на рисунке 16. Для сравнения на рисунке 17 приводится поле нулевого порядка, явно построенное по аналитическимформулам для аналогичного распределения. Наблюдается отличное совпадение срезультатами численного эксперимента.44.14.1.1ПриложенияПриложение 1Дисперсионное уравнениеПолучим дисперсионное соотношение и найдём стационарные точки дисперсионной поверхности.
Для этого дадим вывод формулы для решений Флоке-Блоха, например, первой из систем (283):EU k = eipz z 1 ,H⊥U2(406)где U1 , U2 периодические функции z с периодом b. При выводе формул для решений Флоке-Блоха выяснится, как зависят эти функции от параметров, входящих вкоэффициенты подсистем (283).113Снабдим первую из систем (283) начальными данными Ek = 1, H⊥ = 0 и обозначим решение полученной задачи Коши как e1 , h1 . Введём другое решение e2 , h2 ,которое удовлетворяет (283) и начальным данным Ek = 0, H⊥ = 1. Оба решениягладкие на интервалах, где ε, µ гладкие и непрерывны в точках разрывов параметров ε, µ, но в общем случае не периодичны.
Они зависят от p2k , ω, так как от этихпараметров зависят коэффициенты подсистем (283). Эти решения линейно независимы и образуют базис в пространстве решений первой подсистемы из системы(283). Составим матрицу M(z; p2k , ω) из решений (e1 , h1 )t и (e2 , h2 )t следующим образом:M(z; p2k , ω) = e1 e2h1 h2 (z; p2k , ω).(407)Матрица M(b; p2k , ω) – матрица монодромии:M(z + b; p2k , ω) = M(z; p2k , ω)M(b; p2k , ω),и мы будем искать решения Флоке-Блоха в следующем виде:Eβ k = M(z; p2k , ω) 1 ,β2H⊥(408)(409)где (β1 , β2 )t – собственный вектор матрицы монодромии, соответствующий собственному значению λ, то естьM(b; p2k , ω) β10 = ,− λI β20(410)где I – единичная матрица.
Квадратное уравнение для определения λ выражаетсячерез определитель и след матрицы M . Определитель матрицы M(b; p2k , ω) являетсявронскианом системы (283). Он постоянен по теореме Остроградского-Лиувилляи, следовательно, может быть вычислен при любых z. При z = 0 он равен 1, следовательно, det M(b; p2k , ω) = 1 и λ удовлетворяет квадратному уравнению:λ2 + SpM(b; p2k , ω)λ + 1 = 0.114(411)Чтобы получить решения Флоке-Блоха, потребуем |λ| = 1 и положим λ1 = eipz b , pz– вещественно.
Тогда λ2 = e−ipz b иM11 (b; p2k , ω) + M22 (b; p2k , ω) = 2 cos (pz b).(412)Это уравнение устанавливает связь между pz и ω, так что далее мы можем считатьсвободным параметром только одну из этих двух переменных. Обозначим 2F ≡M11 (b; p2k , ω) + M22 (b; p2k , ω). Функция F ≡ F(ω, p2k ) зависит от параметров задачиω, pk аналитически, так как коэффициенты системы (283) зависят от параметрованалитически, при условии, что ω 6= 0. Следовательно, дисперсионное соотношение (412) может быть записано в видеF(ω, p2k ) − cos (pz b) = 0.(413)Функция F – осциллирующая вещественнозначная функция от ω, её минимумы имаксимумы больше или равны 1 (см., напр., [47]).
Соответствующий pz изменяетсяот −π/b до π/b. Если |F| больше 1 на некотором интервале ω, ограниченные решения не существуют и такой интервал называется запрещённой зоной. На каждоминтервале с номером j, где |F| ≤ 1 и функция монотонна, существует обратнаяфункцияω = ωjH (p),(414)где верхний индекс указывает на то, что это дисперсионное соотношение для решений ТМ типа. Если |F| = 1 и ∂F/∂ω = 0, два интервала монотонного поведения Fкасаются друг друга в этой точке.
В дальнейшем мы предполагаем, что ∂F/∂ω 6= 0.Тот факт, что ∂F/∂ω 6= 0 на границе интервала, следует из предположения о существовании и периодического и присоединённого решений. То, что эта производнаяне обращается в нуль внутри интервала, см., напр., в [47].Аналогичные рассуждения для второй подсистемы (283) позволяют найти дисперсионное соотношение для волн ТЕ типа ω = ωjE (p).1154.1.2Стационарные точки дисперсионной поверхностиМы собираемся найти хотя бы одну стационарную точку однозначной функции ω =ωjH (p), где j – номер зоны, в дальнейшем номер зоны опускаем. Рассмотрим толькотакие зоны, где ∂F/∂ω 6= 0. Возьмём производную неявно заданной функции,H∂ω∂F∂F∂ω H∂F= −2pk,=−bsinpb.(415)z∂pk∂(p2k )∂ω∂pz∂ωОтметим, что ∂ω H /∂pz обращается в нуль при pz = 0, ±π/b.
Функция ω H (p) – периодическая функция от pz с периодом 2π/b. Производная ∂ω H /∂pk обращается внуль по меньшей мере в точке pk = 0, так как F зависит от p2k . Обозначим стационарную точку звёздочкой: ω∗ = ω H (p∗ ), pz∗ = 0, ±π/b. Отметим, что такие стационарные точки являются границами запрещённых зон, так как cos pz∗ b = ±1 и,следовательно, F = ±1.Теперь рассмотрим вторые производные от ω. Сначала найдём вторую производную по pz из формулы (415). В стационарной точке получаем∂ 2ωH∂F∂∂F= −b2 cos pz∗ b− b sin pz∗ b.2∂pz∂ω∂pz ∂ω(416)Второе слагаемое равно нулю за счёт (413), а первое слагаемое имеет постоянный ненулевой числитель и знаменатель, у которого знак меняется на каждом листе функции ω.
Теперь рассмотрим вторую производную от ω H по px . Напомнимобозначение∂ 2 ω H H≡ ω̈11∗.2∂px p∗В соответствии с формулой (329) получаемHH∂ϕω̈11∗∗uXX= 2 ϕX.∗∗ , Γ1c∂px(417)(418)Из формулы (297) и определения матрицы (273) следует, что скалярное произведение в правой части формулы равно интегралу от |H0 |2 /(kε) по z и, следовательно,116> 0 при ε > 0, µ > 0 , вторая производнаябольше нуля при ε > 0. Так как uXX∗Hω̈11∗> 0. Это означает, что стационарные точки функции ω двух типов – гипербо-лические и эллиптические, в зависимости от знака второй производной по pz .4.1.3Амплитуды Флоке-БлохаМы ищем решения Флоке-Блоха в виде (409), где (β1 , β2 )t – собственный векторматрицы монодромии(410), соответствующий собственному значению λ.
C точностью до произвольного постоянного множителя, β1 = M12 , β2 = M11 − λ1 . Мыдобавляем к U нижний индекс +, чтобы отметить выбор знака в показателе экспоненты в выражении для λ1 = e+ipz b , и верхний индекс H, чтобы подчеркнуть, что мырассматриваем решение ТМ типа. Следовательно,e2e1−ipz z .+(M−λ)UH=eM11112+h2h1(419)Здесь (ej , hj )t , j = 1, 2 зависят от z и от параметров p2k , ω, элементы матрицы монодромии тоже зависят от p2k , ω, а λ1 и общий коэффициент зависят от квазиимпульсаpz , который связан с ω и pk дисперсионным соотношением.
Будем считать, что решения Флоке-Блоха выражены через p. При этом учтем, p2k = p2x + p2y . Конкретизируя зависимость от параметров, перепишем формулу (406):EU12H2H k (z; p) = eipz z UH.(z;p,p,ω(p,p)),U=zz++kkH⊥U2(420)Второе решение Флоке-Блоха получается заменой pz на −pz .Нас интересует также край зоны, т.е., точки, в которых |F(p2k , ω)| = 1, т.е.,pz∗ = 0, ±π/b. Параметр λ = eipz∗ b , следовательно, корни дисперсионного уравнения (411) λ1 = λ2 = ±1 в зависимости от выбора pz∗ . Потребуем, что M12 6= 0.Тогда единственное, с точностью до произвольного постоянного множителя, решение находится по формуле (420) при p = p∗ .117Ищем второе линейно-независимое решение в видеγE k2 (z; p∗ ) = M(z; 0, ω∗ ) 1 ,H⊥2γ2где коэффициенты находятся из уравнения(M(b; 0, ω∗ ) − λI) γ1γ2=β1β2(421)(422)для того же самого λ.
Со сдвигом переменной z на период b решение приобретаетвид:Ek2H⊥2 (z + b; p∗ ) = λ Ek2H⊥2 (z; p∗ ) + EkH⊥ (z; p∗ ).Это решение непериодично и может быть записано какhiE (z, p∗ ) = eipz∗ z z U(z; pz∗ , 0, ω∗ ) + Q(z; pz∗ , ω∗ ) , k2λbH⊥2 (z, p∗ )(423)(424)где Q – периодическая функция z и U определено в (419), значок + опущен, таккак в точке p∗ он не имеет значения.Для ТЕ волн все рассуждения аналогичны.4.24.2.1Приложение 2Доказательство леммыПредложение.
Оператор A∗ , определённый формулой (309) и (313), симметриченна классе решений M, т. е. для любых w, u ∈ M верно следующее равенство:(w, A∗ u) = (A∗ w, u) .118(425)Это легко увидеть из определения оператора A∗ . Так как P – вещественнозначнаяматрица и w ∈ M, при помощи интегрирования по частям получаем:∂u(w, A∗ u) = w, k∗ Pu + iΓ3− pz∗ Γ3 u =∂zMX= (A∗ w, u) + i[ < w, Γ3 u > ]m ,(426)m=0где h·, ·i - скалярное произведение, зависящее от переменной z, определённое формулой (274).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
