Диссертация (1150566), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Все вейвлет-преобразования, сосчитанные при помощи фиксированного материнского вейвлета ϕ, образуют подпространство в гильбертовом пространстве W функций двух переменных a, b, где скалярное произведение F (a, b) иG(a, b) определяется следующим образом:ZZdahF, GiW ≡db F (a, b) G(a, b),a2R(61)Rсм., [10].Справедливо тождество, аналогичное тождеству Планшереля,hf, gi =1hF, GiW ,Cϕ30(62)где коэффициент Cϕ определяется формулой (56). Вейвлет-преобразование, таким образом, представляет собой изометрическое отображение из L2 (R) в подпространство пространства W.Cоотношение (62) позволяет записать формулуZZ1daf (x) =db F (a, b) ϕa,b (x),2Cϕa∀f ∈ L2 (R),(63)RRвыполняющуюся в слабом смысле.При более жестких условиях на гладкость исследуемой функции f и материнского вейвлета ϕ формула (63) выполняется поточечно в точках непрерывностиf (x) [9].Интерпретация вейвлет-преобразованияВейвлет-коэффициенты F (a, b) функции f , как следует из вышесказанного, содержат в себе информацию об исследуемой функции, достаточную для её восстановления.
Покажем, как эта информация может быть извлечена и интерпретирована.Воспользуемся для этого наиболее известным материнским вейвлетом – вейвлетом Морле:x2ϕM (x) = exp − 22σκ2σ2exp(iκx) − exp −,2(64)где κ, σ – постоянные параметры. Последнее слагаемое необходимо для выполнения условия допустимости (56) и им можно пренебречь при достаточно большихκ. Выпишем вейвлет-преобразование функции f (x) с материнским вейвлетом ϕM ,проигнорировав последнее слагаемое в (64):Zκ1(x − b)2F (a, b) ≈ 1/2 dx f (x) exp −− i (x − b) .2(aσ)2a|a|R31(65)Эта формула показывает, что вейвлет-преобразование с материнским вейвлетомМорле совпадает с точностью до множителя с оконным преобразованием Фурьепри частоте κ/a; окно является гауссовым c зависящей от a шириной aσ и максимумом в точке b.
Таким образом, |F (a, b)| несет информацию о локальном частотном составе функции f (x) в окрестности точки b, и 1/a пропорционален частоте.Если мы используем материнский вейвлет ϕ(x), отличающийся от вейвлета Морле, такая интерпретация параметров вейвлет-преобразования также верна. Выразим вейвлет-преобразование функции f (x) через её Фурье-преобразование:Z1/2dk fb(k) exp(ikb)ϕ(ak).F (a, b) = ab(66)RПредположим, что модуль Фурье-преобразования материнского вейвлета |ϕ(k)|bимеет единственный максимум в точке k = κ. Тогда после масштабирования наa максимум переместится в точку k = κ/a. Если |ϕ(k)|bпо мере удаления от точкиκ убывает достаточно быстро, наибольший вклад в интеграл (66) дадут значенияфункции fb из окрестности точки κ/a.
Таким образом, мы видим, что 1/a опять пропорционально частоте.Теперь запишем формулу вейвлет-преобразования так:1F (a, b) = 1/2|a|Zx−bdx f (x) ϕ.a(67)RПусть материнский вейвлет ϕ(x) имеет единственный максимум в точке x = 0,тогда максимум ϕa,b (x) придётся на точку x = b. Если функция ϕ(x) достаточнобыстро убывает при удалении от своего максимума в точке 0, то наибольший вкладв интеграл (67) дадут значения функции f в окрестности точки x = b. Учитывая,что формулы (66) и (67) задают одну и ту же функцию F (a, b), получаем, что, каки для вейвлета Морле, |F (a, b)| несет в себе информацию о вкладе частоты κ/a влокальный частотный состав функции f в окрестности точки b.32Приведённые выше рассуждения показывают, что для эффективного исследования локального частотного состава функции f желательно иметь материнскийвейвлет, обладающий быстрым убыванием на бесконечности как по пространственной переменной x, так и по частоте k.Далее исследуем поведение вейвлет-преобразования как функции переменныхa, b.
Отметим, что вся информация о высокочастотной составляющей функции fзаключена в конечном интервале [−a0 , a0 ] при фиксированном a0 в отличие от преобразования Фурье, где большим частотам соответствуют большие значения k. Если нашей задачей является исследование разрывов функции f или её производных,то получить информацию о них мы можем из поведения F (a, b) в окрестности a = 0,не вычисляя F (a, b) при |a| > a0 . Получим оценку для вейвлет-преобразования Fкак функции переменной a при малых a в зависимости от свойств гладкости функции f .
Для этого нам необходимы материнские вейвлеты, имеющие нулевые моменты.Определим, что материнский вейвлет ϕ имеет нулевой момент порядка m, m ≥1, если, во-первых, xm ϕ(x) ∈ L1 (R), и, во-вторых,Zdx xm ϕ(x) = 0.(68)RВидно, что вейвлет Морле ϕM не имеет нулевых моментов вообще. Однако он имеетнулевое среднее, то есть момент при m = 0. Можно привести пример материнскоговейвлета, имеющего нулевые моменты любого порядка: √ϕ = exp − 1 − ix(69)(здесь выбирается ветвь корня, имеющая положительную вещественную часть). Впоследующих рассмотрениях этого параграфа мы будем рассматривать материнские вейвлеты, имеющие компактный носитель шириной 2∆ и нулевые моменты до33порядка N < ∞ включительно.Пусть в точке x = b функция f имеет непрерывные производные до порядкаm 6= N , а m + 1-я производная терпит разрыв.
Выпишем вейвлет-преобразованиеF (a, b), разложив функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки b с остаточнымчленом в форме Лагранжа (x0 ∈ [x, b]):1F (a, b) = 1/2|a|a∆+bZdx" mX#(m+1)f(x)x−b0cj (x − b)j +(x − b)m+1 ϕ=(m+1)!aj=0−a∆+ba∆+bZ1= 1/2|a| (m + 1)!x−b.(70)dx f (m+1) (x0 )(x − b)m+1 ϕa−a∆+bЗа счёт нулевых моментов материнского вейвлета ϕ(x) вклад даёт только остаточный член в ряде Тейлора. Оценим модуль вейвлет-преобразования в точке b:|F (a, b)| ≤|fmax(m+1)t∈[−a∆+b,a∆+b]a∆+bZ×|a|m+1(t)| 1/2×|a| (m + 1)! x − b m+1 x−b.ϕdx aa(71)−a∆+bВыполним замену переменной интегрирования τ = (x − b)/a, тогда интегрированиебудет проводиться в пределах [−∆, ∆]:m+1/2|F (a, b)| ≤|f (m+1) (t)|maxt∈[−a∆+b,a∆+b]|a|(m + 1)!Z∆dτ |τ |m+1 |ϕ (τ )| .(72)−∆Таким образом, получаем, что для функции f , имеющей m непрерывных производных в точке b, вейвлет-преобразование F (a, b) оценивается какe m+1/2 ,|F (a, b)| ≤ C|a|(73)e – постоянная, и, следовательно, при малых значениях параметра a вейвлетгде Cпреобразование F (a, b) существенно только при b, лежащих в окрестностях точек34разрывов функции или её производных.Формула (59) также показывает, что если исследуемая функция f (x) пренебрежимо мала вне интервала [−X, X], а материнский вейвлет ϕ – вне интервала[−∆, ∆], то вейвлет-преобразование F (a, b) пренебрежимо мало при b, лежащихвне [X − a∆, X + a∆].Приведённые выше рассуждения позволяют не вычислять вейвлет-преобразование F (a, b) на всей плоскости параметров a, b, а ограничиться лишь областьюна этой плоскости.
Кроме того, руководствуясь ими, из уже найденного вейвлетпреобразования F (a, b) можно извлечь информацию о локальном частотном составе и о локальной гладкости функции f .Обобщение непрерывного вейвлет-анализа на случай двух пространственных измеренийДля дальнейших построений в работе используется непрерывный вейвлет-анализв случае двух пространственных переменных. Отметим, что аппарат непрерывноговейвлет-анализа, изложенный выше, допускает обобщение на случай произвольного числа пространственных измерений (см., напр., [10]).Рассмотрим обобщение вейвлет-анализа на L2 (R2 ).
В зависимости от свойствсимметрии материнского вейвлета ϕ(r), r = (x, y), рассмотрим два различныхчастных случая. Во-первых, материнский вейвлет ϕ может иметь круговую симметрию, в таком случае для построения семейства вейвлетов достаточно использовать только операции сдвига на b ∈ R2 и масштабирования, задаваемого неотрицательным параметром a > 0. Во-вторых, материнский вейвлет ϕ может не обладатьсимметрией, и в этом случае для построения семейства необходимо использоватьповорот в плоскости xy на угол β.35Случай материнского вейвлета, обладающего круговой симметриейВ качестве материнского вейвлета в L2 (R2 ), обладающего круговой симметрией,может выступать любая функция из этого пространства, которая зависит толькоот R = |r|, Фурье-преобразование которой удовлетворяет следующему условиюдопустимости:Z∞Cϕ ≡ 2π2|ϕ(k)|b< ∞.dkk(74)0Семейство вейвлетов строится c помощью материнского вейвлета по формуле1r−bϕa,b (r) = ϕ,b ∈ R2 , a ∈ [0, +∞).(75)aaВейвлет-преобразование определяется взятием скалярного произведения исследуемой функции f с вейвлетом ϕa,b :1F (a, b) ≡ hf, ϕ i =aa,bZr−bd r f (r) ϕ.a2(76)R2Такое вейвлет-преобразование, как и в одномерном случае, представляет собойизометрическое изображение из L2 (R2 ) в W.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
