Диссертация (1150566), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если частота совпадает с частотой стационарной точки гиперболического типа, соответствующие уравнения для огибающих становятся волновыми уравнениями, в которыхроль времени играет координата вдоль нормали к слоям. В этом случае мы показываем, что в среде существуют нерасплывающиеся пучки. Полученные результаты вчастном случае проверены при помощи численного эксперимента, показавшего хорошее совпадение с разработанной теорией.Применяемый метод является аналогом метода эффективных масс из областифизики твёрдого тела. Рассмотрение данной задачи было вдохновлено работамиС. Лонги (см., напр., [15]).Содержание работыСодержание Главы 1Результаты, приводимые в главе 1, опубликованы в [16]-[21].В главе 1 построено интегральное представление решения волнового уравнения, выражающее поле через локализованные элементарные решения. Представление основано на математическом аппарате непрерывного вейвлет-анализа.
Рассмотрим нестационарное волновое уравнение с постоянными коэффициентами:utt − c2 (uxx + uyy ) = 0,r = (x, y).(1)Пусть пространство H состоит из обобщённых решений этого уравнения u(r, t),таких, что u(·, t) ∈ L2 (R2 ) при фиксированном времени. Более подробное описание8функционального пространства дано в первой главе. Определим преобразованиеФурье ub(k, t) решения u(r, t) следующим образом:Zub(k, t) = e−i(k,r) u(r, t)d2 r.(2)R2Пространство H разбивается в прямую сумму подпространств H = H+ ⊕ H− ,что соответствует разложению преобразования Фурье ub всякого решения u из пространства H на сумму компонент с положительной и отрицательной частотами:ub(k, t) = ub+ (k, t) + ub− (k, t),ub± (k, t) = ub± (k, 0) e∓i|k|ct .u± (r, t) ∈ H± ,(3)(4)Существенно, что скалярное произведение в каждом из подпространств H± не зависит от времени.
Имеется ввиду стандартное в L2 скалярное произведение, вычисляемое по пространственным координатам при фиксированном времени.Выберем пару решений ψ± (r, t) из H± , которые удовлетворяют условиюCψ±Z≡|ψb± (k, 0)|2< ∞.dk|k|22(5)R2Вслед за Дж. Кайзером [8] будем называть такие решения физическими вейвлетами.
Образуем семейство элементарных решений из физического вейвлета припомощи преобразований сдвига, поворота и масштабирования:1r−btνψ±(r, t) ≡ ψ± M−1,,ν = (a, b, β).βaaa(6)Здесь a управляет изменением масштаба, b – сдвигом в пространстве, угол β –поворотом решения ψ, матрица поворота Mβ задаётся формулойcos β − sin β.Mβ = sin β cos β9(7)Для краткости набор параметров заменен одной буквой ν.
От классического семейства вейвлетов (см., напр., [10]) такое семейство элементарных решений отличается преобразованием времени t.В настоящей работе получено представление произвольного решения u из H вνвиде интеграла по семейству элементарных решений ψ±. Интегральное представ-ление имеет вид:1u(r, t) = +CψZνdµ(ν) U+ (ν) ψ+(r, t)1+ −CψZνdµ(ν) U− (ν) ψ−(r, t).(8)Здесь производится интегрирование по мере µ(ν), причемdµ(ν) = dβda 2d b,a3β ∈ [0, 2π), a ∈ (0, +∞), b ∈ R2 .(9)(10)Коэффициенты разложения U± (ν) определяются следующим образом:νU+ (ν) ≡ hu+ (r, t), ψ+(r, t)i,νU− (ν) ≡ hu− (r, t), ψ−(r, t)i(11)и не зависят от времени.Если решение u задано при помощи задачи Коши utt − c2 (uxx + uyy ) = 0,∂u = v(r),u|=w(r), t=0∂t t=0w(r) ∈ L2 (R2 ), vb(k)/|k| ∈ L2 (R2 ),(12)то коэффициенты разложения найдены и выражаются через вейвлет-преобразованияначальных данных W± (ν), V± (ν) следующим образом:11U± (ν) = W± (ν) ∓ V± (ν),22νW± (ν) = hw(r), ψ±(r, 0)i,V± (ν) = hv(r), χν± (r, 0)i.10(13)(14)Здесь введено семейство элементарных решений χν± (r, t), которое строится на основе решения χ± (r, t) по формуле (6), в которой ψ надо заменить на χ.
Решениеχ± (r, t) связано с решением ψ± (r, t) соотношениемZ11 b2χ± (r, t) = −dkψ± (r, 0)eik·r∓ic|k|t .2(2π)ic|k|(15)R2Доказано, что формула (8) с коэффициентами, определяемыми формулами (13),(14), даёт решение задачи Коши в смысле обобщённых функций. Мы предпочитаемобобщённую постановку задачи классической в связи с тем, что начальные данные могут иметь разрывы, и как известно, вейвлет-анализ особенно эффективендля представления функций с разрывами. Будем считать, что u(r, t) – обобщённая функция медленного роста от пространственных координат и зависит от времени как от параметра. Соответствующий класс основных функций – класс ШварцаS(R2 ), состоящий из бесконечно дифференцируемых функций, которые вместе совсеми своими производными убывают с ростом |r| быстрее, чем |r|−n для любогоn. Пусть α ∈ S(R2 ).
Учитывая, что u(·, t) ∈ L2 (R2 ) при фиксированном времени,действие обобщённой функции на основную определяется равенством:Z(u+ (r, t), α(r)) ≡ d2 r u+ (r, t)α(r) = hu+ (r, t), α(r)i.(16)R2Так как α(r) является произвольной функцией, будем далее действие обобщённойфункции u+ (r, t) на основную функцию α(r), обозначаемое как (u+ (r, t), α(r)), заменять на действие на α(r), т.е., на (u+ (r, t), α(r)), которое равно скалярному произведению hu+ (r, t), α(r)i.Мы доказали, что равенство (8) выполняется в обобщённом смысле, то есть длякаждой u+ ∈ H+ (или u− ∈ H− ) и для любой α ∈ S(R2 ) справедливо, чтоZ1νhu± (r, t), α(r)i = ± dµ(ν) U± (ν)hψ±(r, t), α(r)i.Cψ11(17)Обобщённая функция является решением задачи Коши, если выполняются следующие равенства:∂ 2 hu(r, t), α(r)i= c2 hu(r, t), 4α(r)i,∀α ∈ S(R2 ),(18)2∂tdhu(r, t), α(r)i|t=0 = hw(r), α(r)i,hu(r, t), α(r)i = hv(r), α(r)i.
(19)dtt=0Равенства (17) позволяют доказать, что обобщённая функция u(r, t) = u+ (r, t) +u− (r, t) удовлетворяет задаче Коши (18).Также построено альтернативное интегральное представление. В формулах, полученных выше, вейвлет-преобразование решений (11) определено так, что ононе зависит от времени, то есть коэффициенты разложения решений по решениямне зависят от времени.
В работе получена и другая схема, в которой используетсявейвлет-преобразование решения в момент времени t по пространственным координатам. Время является параметром и вейвлет-преобразование от него зависит ивыражается через начальные данные следующим образом:Zhi12ννU (ν, t)=d r w(r) ψ+ (r, t) + ψ− (r, t) +2R2Ziha2νν+d r v(r) χ+ (r, t) − χ− (r, t) ,2(20)R2где w(r), v(r) – начальные данные. Семейство решений χν± (r, t) определено выше.В этом случае интегральное представление решений имеет вид:1u(r, t) =eCZ+∞0daa2Z2πdβ U (ν(a, r, β), t).(21)0Здесь учтена формула (6) для переменной ν, и положено b = r.Известно, что вейвлет-преобразование функции содержит в себе информациюо её локальных пространственных частотах [10], [11]. Формула (20) представляет самостоятельный интерес, потому что позволяет найти вейвлет-преобразованиерешения без необходимости вычисления самого решения.12Содержание главы 2Результаты, приводимые в главе 2, опубликованы в [18, 22].В главе 2 разрабатываются методы построения физических вейвлетов, то естьтаких решений волнового уравнения c постоянной скоростью, которые можно использовать в интегральном представлении, полученном в главе 1.
Для этого нужнопостроить явные решения волнового уравнения, обладающие конечной L2 -нормойпри фиксированном времени и удовлетворяющие дополнительному условию (5).Для проверки этого условия необходимо знание Фурье-преобразования решения.Кроме того, чтобы в полной мере воспользоваться преимуществами предложенного метода, мы должны выбирать в качестве физического вейвлета решения, обладающие хорошей локализацией в фазовом пространстве.1.
Первый метод основан на рассмотрении неоднородного волнового уравненияв R3utt − c2 (uxx + uyy + uzz ) = φ(t)δ(x)δ(y)δ(z),(22)где φ(t) назван прокси-вейвлетом в работе Г. Кайзера [8]. Выбирая φ(t), можно получить локализованные сферически симметричные решения неоднородного уравнения.
Сумма сходящегося и расходящегося решений, при помощиприбавления мнимых добавок к координатам сдвинутая в комплексную плоскость, даёт локализованное решение однородного уравнения. Кайзер применял и интерпретировал в терминах вейвлетов преобразование Гильберта. Вего построениях можно было использовать только один физический вейвлет.В настоящей работе можно использовать физические вейвлеты из широкогокласса.
Для этого они должны принадлежать одному из классов H± , а также удовлетворять условию допустимости. Выяснены условия, которые надоналожить на прокси-вейвлет, чтобы решения были физическими вейвлетами.132. Второй способ впервые предложен в данной работе. Он основан на рассмотрении неоднородного волнового уравнения в R2 с движущимся источником вправой части2 ±±u±tt − c (uxx + uyy ) = ±φ(t)δ(x + ct)δ(y),(23)где решение u+ отлично от нуля при x + ct < 0, а u− – при x + ct > 0 (здесьфункции u± не следует путать с функциями u± из главы 1 ). Сумма этих решений представляет собой решение однородного уравнения.
Сдвигая решение вкомплексную плоскость по координатам, получаем семейство локализованных решений. Выберем функцию φ(t) равнойpφ(t) ≡ −4c2 e−iπ/4 √ σ ν−1/2 Kν−1/2 (σ),γpσ = 2κγ 1 + 2ict/γ, κ = p/(2γ),(24)(25)где Kν – модифицированная функция Бесселя (функция Макдональда), ε, p, γ– произвольные положительные постоянные, ν – произвольная вещественная постоянная. Выберем ветвь квадратного корня с положительной вещественной частью. В этом случае решение уравнения (23) будет совпадать сизвестным решением, называемым гауссовым пакетом, впервые найденным в[23]:r2 (ps)ν Kν (ps)√ψ(r, t) =,π x + ct − iεy2θ = x − ct +.x + ct − iεs=p1 − iθ/γ,(26)(27)3. Третий способ основан на суммировании нестационарных гауссовых пучковс различными весовыми функциями [24, 25] :Z+∞ψ(r, t) =dq φ(q) ψbeam (q; r, t),014φ(q) ≡ 0, q < 0,(28)exp [i q θ(r, t)],(29)ψbeam (q; r, t) = √x + ct − iεфункция θ определяется формулой (27).
Данный метод также позволяет получить гауссов пакет (26) выбором1 p2ν −ν−1κ2φ(q) ≡ √qexp −γ q +,q2π (2γ)ν(30)параметры определяются по формуле (25).В главе 2 детально исследовано решение (26), (27), называемое гауссовым пакетом. Получены следующие аналитические и численные результаты:• Гауссов пакет найден для любого количества пространственных измеренийn ≥ 2 и имеет видr2(ps)ν Kν (ps)√√√ψ(r, t) =,π x1 + ct − iε2 x1 + ct − iε3 · . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
