Диссертация (1150566), страница 7
Текст из файла (страница 7)
[9,ν(r, t),10]). Пусть ψ+ (r, t), χ+ (r, t) ∈ H+ . После построения семейств решений ψ+χν+ (r, t) по формуле (104) и формуле, полученной из нее заменой ψ на χ, мы вычислим коэффициенты разложения в видеνU+ (ν) ≡ hu+ , ψ+i.(117)Определим константу+CψχZ≡d2 kψb+ (k, 0)bχ+ (k, 0).|k|2(118)R2Тогда мы получим формулу восстановленияZ1u+ (r, t) = +dµ(ν) U+ (ν) χν+ (r, t),Cψχ(119)которая верна по меньшей мере в слабом смысле, а также в смысле распределений.Если t = 0, формула (119) – известная формула восстановления (см.
[9, 10]).451.4Задача Коши для волнового уравненияЛюбое решение волнового уравнения из H± может быть легко представлено какрешение соответствующей задачи Коши. Рассмотрим следующую задачу: utt − c2 (uxx + uyy ) = 0,∂u = v(r), u|t=0 = w(r),∂t (120)t=02w(r) ∈ L2 (R ), vb(k)/|k| ∈ L2 (R2 ).Ищем решение в видеZZ11ννu(r, t) = + dµ(ν) U+ (ν) ψ+ (r, t) + − dµ(ν) U− (ν) ψ−(r, t).CψCψ(121)Для этого необходимо найти коэффициенты разложения U± (ν). Выражение (108)для U± требует знания u+ и u− или их Фурье-преобразования. Чтобы найти функции ub± (k, 0), обратимся к формуле Фурье для решения задачи Коши для волновогоуравнения, которая имеет видZ11u(r, t) =vb(k) exp(ik · r − i|k|ct) +d2 k w(k)b−22(2π)ic|k|R2Z11+vb(k) exp(ik · r + i|k|ct).d2 k w(k)b+22(2π)ic|k|(122)R2Отсюда следует, что11w(k)b−vb(k) ,ub+ (k, 0) =2ic|k|11ub− (k, 0) =w(k)b+vb(k) .2ic|k|(123)Подставляя ub± из (123) в (108), получаем:ZZ11122ν (k, 0) ∓ν (k, 0).
(124)b±U± (ν) =dkw(k)bψdkvb(k) ψb±222(2π)2(2π)ic|k|R2R2Проинтерпретируем это выражение следующим образом:1U± (ν) = W± (ν) ∓2461eV± (ν),2(125)где W± (ν), Ve± (ν) – вейвлет-преобразования w(r), ve(r), соответственно,νW± (ν) = hw(r), ψ±(r, 0)i,νVe± (ν) = hev (r), ψ±(r, 0)i,функция ve(r) определяется формулойZ112ve(r) ≡dkvb(k) eik·r .2(2π)ic|k|(126)(127)R2Чтобы записать выражение для Ve± (ν) в терминах вейвлет-преобразования начальных данных v(r), введём новую пару физических вейвлетов через их Фурьепреобразование:1χ± (r, t) = −(2π)2Zbψ(k)eik·r∓i|k|ct .dkic|k|2(128)R2Семейства χν± (r, t) строятся по формуле (104), в которой ψ заменено на χ.
ТогдаVe± (ν) = aV± (ν),V± (ν) = hv(r), χν± (r, 0)i.Теперь формула восстановления (121) для суммы u+ и u− принимает вид:Z1a1νu(r, t) = + µ(ν)W+ (ν) − V+ (ν) ψ+(r, t)22CψZ1a1ν+ − µ(ν)W− (ν) + V− (ν) ψ−(r, t).22Cψ(129)(130)Эта формула даёт представление решения как суперпозиции элементарных решений в терминах вейвлет-преобразования начальных данных V± (ν) и W± (ν) .1.5Результаты с точки зрения обобщённых функцийДоказательство разложений (113), (130) требует обсуждения сходимости. Функции u+ (r, t) интегрируемы с квадратом по r при фиксированном времени . Они могут иметь разрывы, и, тем самым, в общем случае не будут являться классическими47решениями уравнения (99). Покажем, что разложения (113), (130) следует понимать в обобщенном смысле.Введем в рассмотрение пространство пробных функций.
Мы потребуем, чтобыфункции α(r) из этого пространства были бесконечно дифференцируемы, и чтобы α(r) и их производные убывали с ростом |r| быстрее, чем |r|−n для любого n.Обозначим класс таких функций как S(R2 ).Каждой пробной функции соответствует два бесконечно гладких решения волнового уравнения α± (r, t), α− (r, t) = α+ (r, −t), которые строятся следующим образом:1α± (r, t) ≡(2π)2Zd2 k αb(k)eik·r∓iωt .(131)R2Отметим, что действие обобщённой функции u+ (r, t) на основную функцию α(r)определяется формулой:Z(u+ (r, t), α(r)) ≡d2 r u+ (r, t)α(r) = hu+ (r, t), α(r)i,(132)R2так как все функции из H+ принадлежат L2 . Так как α(r) является произвольнойфункцией, будем далее действие обобщённой функции u+ (r, t) на основную функцию α(r), обозначаемое как (u+ (r, t), α(r)), заменять на действие на α(r), т.е., на(u+ (r, t), α(r)), которое равно скалярному произведению hu+ (r, t), α(r)i.Для любого решения u+ (r, t) ∈ H+ и для любой пробной функции α ∈ S(R2 )скалярное произведение hu+ (r, t), α(r)i является бесконечно дифференцируемойфункцией t.
В самом деле, из тождества Планшереля (53) следует, чтоZ11hbu+ (k, t), αb(k)i =d2 k ub+ (k, 0)e−iωt αb(k), (133)hu+ (r, t), α(r)i =22(2π)(2π)R2где ω = c|k|. Последний интеграл и интегралы, полученные дифференцированиемего подынтегрального выражения по t, сходятся равномерно по t, отсюда и следуетбесконечная дифференцируемость hu+ (r, t), α(r)i.48Покажем теперь, что формулу (113) можно понимать в обобщённом смысле, тоесть следующее равенство1hu+ (r, t), α(r)i = +CψZνdµ(ν) U+ (ν)hψ+(r, t), α(r)i(134)выполняется для любой пробной функции α ∈ S(R2 ).Чтобы доказать это равенство, запишем входящее в него скалярное произведение в пространстве волновых векторов, следуя (133), и объединим экспоненту,содержащую время, с αb(k).
Тогда мы получимhu+ (r, t), α(r)i = hu+ (r, 0), α− (r, t)i.(135)Совершенно аналогично найдемννhψ+(r, t), α(r)i = hψ+(r, 0), α− (r, t)i = B− (ν, t),(136)где B− (ν, t) – вейвлет-преобразование функции α− (r, t) , где время t является параметром.Из свойства изометрии для непрерывного вейвлет-преобразования (109) следует, что1hu+ (r, 0), α− (r, t)i = +CψZdµ(ν) U+ (ν)B− (ν, t)(137)для любого t. Равенство (134) следует из (137) и (135).Покажем теперь, что u+ (r, t), заданное формулой (113), является обобшеннымрешением волнового уравнения, то есть при u(r, t) = u+ (r, t) выполняется уравнение∂ 2 hu(r, t), α(r)i= c2 hu(r, t), 4α(r)i(138)2∂tдля любой пробной функции α ∈ S(R2 ). Перейдём к пространственным частотам вскалярных произведениях и объединим зависящую от времени экспоненту с αb(k).Тогда∂ 2 α− (r, t)hu+ (r, 0),i = c2 hu+ (r, 0), 4α− (r, t)i.2∂t49(139)Это равенство выполняется, так как α− (r, t) – гладкое решение волнового уравнения.
Формулы для u− (r, t) доказываются аналогичным образом.Докажем теперь, что формула (130) дает обобщенное решение задачи Коши.Для этого надо показать, что u(r, t) удовлетворяет уравнению (138) и начальнымданнымhu(r, t), α(r)i|t=0 = hw(r), α(r)i,dhu(r, t), α(r)i = hv(r), α(r)idtt=0(140)для любой пробной функции α(r). Справедливость равенства (138) для решений сположительными и отрицательными частотами по отдельности доказано выше.Перейдём к начальным данным (140). Запишем формулу (130) в следующихобозначениях:1hu(r, t), α(r)i = (IW + + IW − + IV + + IV − ),2(141)гдеZ1ν(r, t), α(r)i,IW ± = ± dµ(ν) W± (ν) hψ±CψZ1νIV ± = ∓ ± dµ(ν) aV± (ν) hψ±(r, t), α(r)i.Cψ(142)Вначале положим время t равным нулю и проверим, удовлетворяет ли правая частьравенства (141) начальным условиям (140).
Обратимся к слагаемому IW + . Воспользуемся равенствами (136), получимZ1IW + = ± dµ(ν) W± (ν) B− (ν, t).Cψ(143)Coгласно свойству изометрии (89) при любом значении tIW + = hw(r), α− (r, t)i.(144)Полагая t = 0 и учитывая, что, согласно определению (131), α− (r, 0) = α(r) ,получимIW + |t=0 = hw(r), α(r)i.50(145)Аналогично и IW − превращается в hw(r), α(r)i. Слагаемое IV + превращается в−hev (r), α(r)i в соответствии с (129), слагаемое IV − даёт hev (r), α(r)i, и следовательно IV + и IV − сокращаются. Тогда выражение в правой части формулы (141)принимает вид hw(r), α(r)i.Далее возьмём производную по времени от выражения (141) и положим время,равное нулю.
Выше была показано, что скалярное произведение любого решенияи любой пробной функции бесконечно дифференцируемо по времени. Перепишемν(r, t), α(r)i при t = 0 какпроизводную по времени от скалярного произведения hψ± d νdννhψ± (r, t), α(r)i = ψ± (r, 0), α∓ (r, t)= ± hψ±(r, 0), α̇(r)i , (146)dtdtt=0t=0где1α̇(r) ≡(2π)2Zd2 k ic|k| αb(k) eik·r ,α̇ ∈ S(R2 ).(147)R2Тогда dIW ± /dt = ±hw(r), α̇(r)i и d(IW + + IW − )/dt = 0. Применяя те же самыерассуждения к слагаемому IV + , получим:Zd11b(k) = hv(r), α(r)i, (148)IV + = −hev (r), α̇(r)i = −d2 kvb(k) ic|k| α2dt(2π)ic|k|R2функция ve определяется формулой (127).
Слагаемое dIV − /dt даёт то же самое выражение. В результате получаемdhu(r, t), α(r)i = hv(r), α(r)i,dtt=0(149)и равенство (141) доказано.1.6Вейвлет-преобразование, зависящее от времениВыше мы определили вейвлет-преобразования решений из H± так, что они не зависят от времени. Теперь вычислим классическое вейвлет-преобразование от решения волнового уравнения, рассматривая время в качестве внешнего параметра.51Как известно, вейвлет-преобразование функции несёт информацию о её локальных свойствах во всех точках пространства (см., напр., [10]). Вычислив вейвлетпреобразование решения в каждый момент времени, мы узнаем, как развиваютсялокальные свойства поля во времени.
Определим вейвлет-преобразование решения волнового уравнения, полагая время t параметром:ZU (a, b, β, t) ≡ d2 r u(r, t) ϕa,b,β (r).(150)R2Отметим, что ϕa,b,β (r) здесь – не решение из пространств H± , а двумерный вейвлет в классическом смысле, как, например, в (87). Если волновое поле u(r, t) является решением задачи Коши (120), для вычисления преобразования (150) вообще говоря, потребуется сначала решить задачу Коши, а затем вычислить преобразование. В данном параграфе мы предлагаем формулу, позволяющую выразитьвейвлет-преобразование, зависящее от времени, непосредственно в терминах начальных данных.
Построим на основании вейвлета ϕ(r) решения ψ± (r, t) волнового уравнения (99), которые принадлежат к L2 (R2 ) по координатам r в фиксированный момент времени:1ψ± (r, t) =(2π)2Zik·r∓i|k|ctd2 k ϕ(k)eb.(151)R2Построим семейство решений по формуле1a,b,β−1 r − b tψ± (r, t) = ψ± Mβ,.aaaНайдем вторую пару решений χ± (r, t) через Фурье-преобразование какZ1b2 ϕ(k)χ± (r, t) = −dkeik·r∓i|k|ct .2(2π)ic|k|(152)(153)R2Потребуем, чтобы ϕ(k)bбыло таким, что χ± ∈ L2 (R2 ) при фиксированном t. Поa,b,βстроим семейство χ±(r, t) аналогично формуле (152).52Утверждение 1. Вейвлет-преобразование (150) решения задачи Коши (120)допускает запись в следующем виде:Zhi1a,b,βa,b,β2d r w(r) ψ+ (r, t) + ψ− (r, t) +U (a, b, β, t)=2R2Zhiaa,b,βa,b,β2+d r v(r) χ+ (r, t) − χ− (r, t) .2(154)R2Доказательство утверждения 1.
Перепишем выражение (150), используя формулу Планшереля:1U (a, b, β, t) =(2π)2Zba,b,β (k).d2 k ub(k, t) ϕ(155)R2Как было отмечено выше, Фурье-преобразование каждого решения волнового уравнения может быть разложено в сумму компонент с положительной и с отрицательной частотами:ub(k, t) = ub+ (k)e−i|k|ct + ub− (k)ei|k|ct .Согласно формуле (123)11ub+ (k) =w(k)b−vb(k) ,2ic|k|11ub− (k) =w(k)b+vb(k) .2ic|k|(156)(157)Подставим (157) в (156) и затем в (155).
Комбинируя члены, мы получимZnhi12a,b,βi|k|cta,b,β−i|k|ctU (a, b, β, t) =d k w(k)bϕb(k)e+ϕb(k)e+2(2π)2R211+ vb(k)ϕba,b,β (k)ei|k|ct −ϕba,b,β (k)e−i|k|ct .(158)ic|k|ic|k|Перепишем теперь этот интеграл в координатной области с использованием форa,b,βмулы Планшереля. Несложно заметить, что ϕba,b,β (k)e−i|k|ct превратится в ψ+(r, t),a,b,βаϕba,b,β (k)ei|k|ct – в ψ−(r, t). Чтобы выражения вида ϕba,b,β (k)e∓i|k|ct /ic|k| в коор-динатной записи превратились, с учётом формулы (128), в χa,b,β± (r, t) соответственно, их надо умножить и поделить на a.
Таким образом, по формуле Планшереля53выражение (158) в координатной области приобретает видZhi1a,b,βa,b,β2d r w(r) ψ+ (r, t) + ψ− (r, t) +U (a, b, β, t)=2R2Zhiaa,b,βa,b,β2+d r v(r) χ+ (r, t) − χ− (r, t) .2(159)R2Утверждение 1 доказано.Формула восстановленияУтверждение 2. Решение задачи Коши (120) может быть восстановлено из зависящего от времени вейвлет-преобразования (150) по формуле1u(r, t) =eCZ+∞daa20Z2πdβ U (a, r, β, t),(160)ϕ(k)b.|k|2(161)0e определяется формулойгде CZd2 ke≡CR2Равенство (160) понимается в смысле обобщенных функций. Формула может бытьполезна для частичного восстановления поля, если нас интересуют распространение только в выделенном интервале углов и для отдельных масштабов.Доказательство утверждения 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
