Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 7

Существует индуцированная фильтрация C0 ⊂ C1 ⊂ ... ⊂ C ⊂ ... ⊂ C.Обозначим также через G подкатегорию C, состоящую из с || = . Лемма 1.3.7 говоритнам о том, что G — группоид.Пусть E → C — предрасслоение. Для ∈ C и подкатегории D в комма-категории ∖C,структура предрасслоения означает существование функтора : E|D → E(). Объект ∈ E|D , живущий над : → категории D, отправляется в * , где * → — декартовоотображение.

Выбор единственен с точностью до единственного изоморфизма.Пусть — сечение над C−1 . Рассмотрим предел lim∖C , где ∈ G . Поскольку←− −1′′отображения → — изоморфизмы для || = | |, мы имеем естественным образом, чтоE() ∼= E(′ ) (см Соглашение 1.1.13) и мы получаем канонически определённое отображениеlim∖C → lim′ ∖C ′ .←− −1←− −1Определение 1.3.9. Пусть E → C — предрасслоение над нётеровой категорией C, и ∈Sect(C−1 , E). Тогда -ая мэтчинг-система , обозначаемая M , — сечениеM : G → E|G , ↦→ lim∖C ∈ E()←− −1предрасслоения E → G , в предположении, что все необходимые пределы существуют.Сопоставление ↦→ M задаёт функтор M : Sect(C−1 , E) → Sect(G , E).Предложение 1.3.10. Имеется комма-квадратSect(C , E)?Sect(C−1 , E)-Sect(G , E)⇐=M?Sect(G , E)который представляет Sect(C , E) как комма-категорию Sect(G , E)/M .

Другими словами,сопоставление ∈ Sect(C , E) ↦→ ( |C−1 , |G , |G → M |C−1 ) ∈ Sect(G , E)/M 33— эквивалентность категорий.Доказательство. Предположим, что у нас есть сечение на C−1 и отображение → M сечений G → E. Покажем, как построить новое сечение ˜ : C → E. Для объекта ∈ C с|| = , есть два типа отображений: → ′ с |′ | = и → ′′ с |′′ | < . Отображения первоготипа — изоморфизмы в G и включены в как часть данных. Отображение → M тогда даёт морфизмы () → (′′ ), которые совместимы с G .Пусть — малая категория, и обозначим через ∙ :∈ Sect(R, E) ∼= Sect(R, E ) диаграммусечений,(, ) ↦→ ().Если слой E() допускает пределы, мы можем вычислить предел функтора ↦→ (),который мы обозначим через lim (∙ ()).

Мы бы хотели знать, существует ли предел функ­←−тора ∙ , обозначаемый через lim ∙ , глобально в Sect(C, E).←−Предложение 1.3.11. Пусть C — нётерова категория, иE → C — предрасслоение Гро­тендика с полными слоями. Тогда категория сечений Sect(C, E) допускает пределы и, болеетого, для каждой диаграммы ∙ ∈ Sect(C, E) и объекта с || = , имеется следующийдекартов квадрат:(lim ∙ )()←−-lim (∙ ())←−(1.3.2 )??M (lim ∙ )() - lim (M ∙ )().←−←−где M ∙ : G × → E — функтор (, ) ↦→ (M )().Доказательство.

Для каждого с || = 0, определим (lim ∙ )() = lim (∙ ()), то есть,←−←−возьмём предел в соответствующем слое E(). Поскольку у нас нет отображений из объектовстепени ноль, и E() ∼= E(′ ) для ∼= ′ , мы получаем корректно определённое сечениеC0 → E.Задав (lim ∙ ) на C−1 , диаграмма (1.3.2 ) говорит нам в точности, как задать предел←−(lim ∙ )() для ∈ G . Правая вертикальная стрелка существует как предел естествен­←−ного отображения ∙ () → (M ∙ )().

Нижняя горизонтальная стрелка существует по­тому, что, по индукции, существуют естественные отображения (lim ∙ )() → () для←− ∈ C−1 . Эти отображения индуцируют M (lim ∙ )() → (M )() и затем, отображения←−в lim(M ∙ )().←−Чтобы проверить, что построенное сечение = lim ∙ — предел в Sect(C, E), также←−рассудим по индукции (которая тривиальна в степени ноль) и рассмотрим отображение34* → ∙ , где * — постоянная -диаграмма со значением в : C → E. Для каждого с || = , мы имеем тогда следующую диаграмму,()-lim (∙ ())←−??M () - M () - lim (M ∙ )(),←−которая коммутирует по той причине, что это банальная факторизация коммутативной диа­граммы()-?lim (∙ ())←−?M () - lim (M ∙ )(),←−где факторизация M () → M () → lim (M ∙ )() существует по свойству предела ←−на C−1 .

Имеем, таким образом, коммутативный квадрат()?-lim (∙ ())←−?M () - lim (M ∙ )(),←−который в силу декартовости диаграммы (1.3.2 ) даёт нам отображение () → (), как итребовалось.Предложение 1.3.10 можно релятивизировать. Вспомним следующее понятие из [17,Definition 1.33].Определение 1.3.12. Функтор : D → C называется∙ Открытым вложением, если он строго полон, инъективен на объектах, и для каждогоморфизма : → () категории C существует единственное отображение ˜ : ′ → вD, накрывающее .∙ Замкнутым вложением, если он строго полон, инъективен на объектах, и для каждого : () → категории C существует единственное отображение ˜ : → ′ в D,накрывающее .Напомним, что для ∈ C, корешетом называется подкатегория ⊂ ∖C, закрытая поотношению к посткомпозиции: из : → ′ ∈ следует, что лежит в для любого : ′ → ′′ в C.Лемма 1.3.13. Для функтора : D → C, инъективного на объектах, эквивалентно следу­ющее35∙ — замкнутое вложение,∙ — строгое изорасслоение (Определение 1.1.12), и для каждого ∈ D, существенныйобраз ∖D в ()∖C — корешето.∙ — строго полное опрасслоение Гротендика с дискретными слоями.Двойственное верно для открытого вложения.Доказательство.

Очевидно.В частности, пусть ∈ C — объект, не содержащийся в образе . Тогда C( (), ) = ∅для каждого ∈ D. Таким образом, как максимум, есть отображения из в D.Пусть C — нётерова категория и : D → C — замкнутое вложение. Далее мы отожде­ствим D, которая также нётерова, с её образом в C.Обозначение 1.3.14. Определим D как подкатегорию, состоящую из D и всех объектов ∈ C, не содержащихся в D со степенью || ≤ . Обозначим через : D → D функторвложения.

Существует также вложение D → C, которое мы оставим без названия на дан­ный момент. Наконец, обозначим через G подкатегорию D , состоящую из тех объектов ,которые не принадлежат к D−1 .Для объекта ∈ C (который обычно предполагается лежащим вне G ) можно определитькатегорию ∖D−1 как обычную комма-категорию для вложения D−1 → C: её объекты —морфизмы → в C, где лежит в D−1 .Как и обычно с комма-категориями и предрасслоениями, мы получаем функтор огра­ничения : E|∖D−1 → E().Предложение 1.3.15. Пусть : D → C — замкнутое вложение нётеровых категорийи E → C — предрасслоение с полными слоями. Тогда для каждого сечения ∈ Sect(D, E)существует правое расширение Кана ∈ Sect(C, E), которое ограничивается до пра­вых расширений Кана ∈ Sect(D , E) сечения вдоль : D → D .

Более того, * ∼= и для каждого ∈ G имеем( )() = lim∖D ∘ −1 ←− −1(1.3.3 )где мы неявно ограничиваем −1 на ∖D−1 вдоль очевидной проекции.Доказательство. Будем строить для каждого значения по индукции. Для = 0,единственные объекты ∈ D0 , которые не лежат в D, — те, которые не допускают необрати­мых отображений из себя, поскольку || = 0. Тогда положим (0 )() равным конечному36объекту в E(). Формула (1.3.3 ) тогда объясняет, как вести индукцию: для , ∈ D которыене в D−1 , отображения → , если они существуют, обратимы, и конструкция отображе­ния ( )() → ( )() таким образом так же тривиальна, как и в Предложении1.3.10. Наконец, каждый объект (морфизм, или композиция морфизмов) C принадлежит ккакому-то G , что позволяет нам построить на всей категории C.По построению, * очевидно изоморфно . Универсальное свойство правогорасширения Кана можно проверить, используя (1.3.3 ).

Пусть ∈ Sect(D, E) — сечение, идопустим, что есть отображение : * → . Мы хотели бы получить морфизм : → . Предположим по индукции (которая, опять же, тривиальна для объектов степениноль) что мы получили это отображение для всех ∈ D−1 . Пусть — объект G . Тогдаимеем диаграмму в E() вида () → lim∖D ∘ → lim∖D ∘ −1 = ()←− −1←− −1где, когда необходимо, оба и −1 ограничены на ∖D−1 . Первое отображение суще­ствует из-за структуры сечения , второе отображение даётся индуктивным предположени­ем, и вместе они дают () → () = (). Другая половина универсальногосвойства тривиально проверяется посредством применения *.Сопоставление ↦→ определяет, таким образом, строго полный функтор * :Sect(D, E) → Sect(C, E) сопряжённый справа к * .Рассмотрим замкнутое вложение : C′ → C и объект ∈ C.

Можно сформироватьследующую декартову диаграмму в Cat∖C′ ′-C′?∖C?-Cгде ∖C′ совпадает с обычной комма-категорией ∖ . Более того, можно проверить, что каж­дая категория в этой диаграмме — нётерова, все функторы сохраняют степень, и что верти­кальные, и , являются замкнутыми вложениями (функторы и ′ , будучи дискретнымирасслоениями Гротендика, всего лишь строгие).Имея послойно полное предрасслоение над C, имеем следующую индуцированную 2 диаграммуSect(∖C , E)′ ′*⇐,*?Sect(C′ , E)*?Sect(∖C, E) * Sect(C, E).37Предложение 1.3.16. В диаграмме выше, отображение * * → ,* ′* — изоморфизм.Мы будем доказывать это предложение по индукции, формируя, для каждого ∈ C,категории для индукции, обозначаемые C′ и (∖C′ ) в Обозначении 1.3.14, где : (∖C′ ) →C′ — функтор проекции.

Можно видеть что, более того, (∖C′ ) ∼= ∖C′ . Тогда Предложение1.3.16 следует изПредложение 1.3.17. Пусть : C′ → C замкнутое вложение нётеровых категорий иE → C — предрасслоение с полными слоями. Тогда для каждого , естественный 2-морфизмв квадрате ′*Sect(∖C′ , E) Sect(C′ , E)⇐,??Sect(∖C′ , E) * Sect(C′ , E).— изоморфизм.Доказательство. Индукция по . Для = 0, продолжение на объекты степени ноль внеC′ или ∖C′ даётся конечными объектами, а потому изоморфизм тривиален.

Возьмём теперьобъект категории ∖C′ , представленный отображением → с вне C′ и степенью | → | =|| равной . Можно тогда написать, что** ( → ) = () = lim∖C′ −1−1 ←− −1где −1 — функтор ∖C′−1 → C′−1 , и также что,* ′* ( → ) = lim(→)∖(∖ ′ ) → ,−1 ′* ∼ ,−1 ′* = lim′←−←−∖−1−1где в среднем члене есть ещё одно неявное ограничение. По индукции,*−1−1 → ,−1 ′* — изоморфизм, который индуцирует изоморфизм между двумя выражениями пределов вы­ше.1.4.