Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 3

Для категории C, её симплициальной заменой [12] Cназовём категорию∙ объекты которой — наборы компонируемых морфизмов 0 → ... → в C произвольнойконечной длины ≥ 0,∙ морфизм между 0 → ... → и ′0 → ... → ′ состоит из отображения ординалов : [] → [] (где [] обозначает полностью упорядоченное множество из + 1 элементов0, 1, ..., ) такого что () = ′ для 0 ≤ ≤ .12Если обозначить за Δ категорию конечных ординалов, тогда C — (опфибрационная)конструкция Гротендика нерва C : Δop → Set. Отображения (0 → ... → ) ↦→ 0 или(0 → ...

→ ) ↦→ задают функторы ℎ : C → C и : C → Cop .Чтобы понять важность симплициальных замен, рассмотрим функтор : C → M, гдеM — категория со слабыми эквивалентностями W. Если взять морфизм : → ′ of C, то вC можно рассмотреть следующую диаграмму: → ′(vii)-′ .Вычисляя на этой диаграмме получаем следующий домик в M: ( → ′ )(viii) () (′ ).Если потребовать, чтобы левая стрелка () ←− ( → ′ ) была изоморфизмом, то диа­грамма (viii) задаст отображение из () в (′ ), которое мы обозначим через ( ). В такомслучае имеет смысл спросить, верно ли, что ( ) = () ( ) для компонируемой парыморфизмов → ′ → ′′ , или же что ( ) = () . Оба этих условия будут выполнены если будет отправлять в изоморфизмы те отображения C, которые имеют вид(0 → ... → → ...

→ ) −→ (0 → ... → )для 0 ≤ ≤ (то есть, эти отображения однозначно определяются по вложению [] какпервых + 1 элементов []). Назовём такие отображения C сигаловыми. Мы также заметим,что функтор , который переводит отображения Сигала в изоморфизмы, единственнымобразом факторизуется как ¯ ∘ ℎ, где ¯ : C → M — функтор с категории C.Если же отправляет сигаловы отображения C в слабые эквивалентности категорииM, то домики вида (viii) определяют морфизмы в локализации Ho M категории M вдоль W.Можно рассматривать такой функтор : C → M как слабую версию функтора с категории Cв M, так что диаграммы, получаемые из объектов 0 → ...

→ , обеспечивают когерентностькомпозиций.Предположим теперь, что у нас есть опрасслоение : E → C. Более того, предположим,что каждый его слой E() := −1 () имеет слабые эквивалентности, и что, для каждого отоб­ражения : → ′ , функтор ! : E() → E(′ ), индуцированный свойством опрасслоения,сохраняет эти слабые эквивалентности. Тогда существует функтор C : E → C, такой что13′∼E(c[] ) := −1C (c[] ) = E( ), и что для каждого : c[] → c[] существует естественно инду­цированный функтор E(c′[] ) → E(c[] ), изоморфный ()! : E(′ ) → E( ).

В отличие от ,функтор C — расслоение Гротендика и описывает контравариантное семейство категорийнад C.Определим предсечение : E → C как сечение : C → E функтора C . Предсеченияобразуют категорию PSect(C, E), которая естественно оснащена слабыми эквивалентностями.Предсечение , действуя на диаграмме вида (vii), даёт следующую диаграмму в E(′ ):( → ′ )! ()(′ ).Как и в дискуссии выше, если левая стрелка в этой диаграмме, и, более общо, другие стрел­ки, получаемые применением к сигаловым отображениям C, — изоморфизмы, то можнодоказать, что определяет обычное сечение C → E исходного опрасслоения : E → C.

Еслиже отправляет сигаловы отображения в слабые эквивалентности, то мы называем такоепредсечение производным сечением. Производные сечения опрасслоения E → C образуюткатегорию DSect(C, E) ⊂ PSect(C, E) с индуцированными слабыми эквивалентностями.Обратимся теперь к основным результатам диссертации, касающимся производных се­чений.Модельная структура Риди для полурасслоенийДля того чтобы работать с категорией DSect(C, E) или даже с PSect(C, E) гомотопиче­ским образом, необходимо иметь дополнительную структуру, например, модельную структу­ру в смысле Квиллена [35, 24, 20], или же разумное вложение в модельную категорию.Во-первых, необходимо иметь какую-то структуру на опрасслоении E → C. Мы пред­положим, что каждый слой E() — модельная категория, и что каждый функтор перехода! : E() → E(′ ) сохраняет фибрации и слабые эквивалентности.

Назовём такие опрасслоениямодельными.Теорема (Следствие 3.2.5). Для модельного опрасслоения E → C, соответствую­щая категория предсечений PSect(C, E) обладает модельной структурой, со слабыми экви­валентностями заданными поточечно.Пример модельного опрасслоения даётся DVect⊗ → Γ+ : функторы перехода в этойситуации задаются, по существу, -кратными тензорными произведениями ⊗ : DVect →14DVect , которые сохраняют сюръективные отображения и квази-изоморфизмы, но не ком­мутируют с пределами или копределами, будучи полилинейными по своей природе. По этойпричине, техники для работы с семействами модельных категорий, разработанные ранее(например, [21]), оказываются неприменимы для предсечений.Теорема о модельной структуре на PSect(C, E) является следствием более общего резуль­тата.

Пусть R — категория Риди, и обозначим также через R− и R+ подкатегории повыша­ющих и понижающих отображений. Функтор : F → R называется модельным полурассло­ением если∙ для любого : → в R− и ∈ −1 существует декартов (в смысле [19]) морфизм* → , накрывающий ,∙ для любого : → в R+ и ∈ −1 существует опдекартов морфизм → ! накрывающий ,∙ каждый слой F() = −1 () — модельная категория, и функторы * (соответственно, ! )сохраняют фибрации и тривиальные фибрации (соответственно, кофибрации и триви­альные кофибрации).Также необходимо потребовать морфизмы замены базы для коммутативных квадратов опре­делённого вида, см.

Определение 1.4.11 и Предложение 1.4.13.Теорема 2.2.5. Пусть : F → R — модельное полурасслоение над категорией Риди R.Тогда категория сечений Sect(R, F) наделена модельной структурой.Модельная структура, даваемая этой теоремой, очень конкретна и напоминает во мно­гом обычную структуру Риди. Наше доказательство во многом обобщает наблюдения [21],но мы доказываем всё, от существования (ко)пределов до свойств подъёма и факторизации,по индукции. Индуктивная процедура также позволяет нам строить сопряжённые функторымежду категориями сечений, работая с полурасслоениями E → C над факторизационнымикатегориями общего вида, то, что мы используем в этой диссертации для проведения вычис­лений с производными сечениями.Чтобы связать результат Теоремы 2.2.5 с существующей литературой, заметим, чтонаша модельная структура на Sect(R, F) совпадает с приведённой в [21] когда F → R —предпучок Квиллена, то есть, полурасслоение, которое также и бирасслоение.

В этом случае,каждый морфизм : → в R индуцирует сопряжённую пару Квиллена F() F(). Дляпримеров таких ситуаций можно обратиться, опять же, к [21] или рассмотреть различныепримеры из производной геометрии.15Как было упомянуто выше, нас интересуют полурасслоения, появляющиеся из нели­нейных задач алгебры. Имея модельное опрасслоение E → C, ассоциированное расслое­ние E → C также является опрасслоением вдоль тех отображений C, которые отвечаютсюръекциям в Δ, поскольку в этом случае фибрационные функторы перехода являютсяэквивалентностями. Таким образом PSect(C, E) — модельная категория, и её локализацияHo PSect(C, E) вдоль слабых эквивалентностей хорошо контролируема. Продолжая мысль,локализация Ho DSect(C, E) также хорошо определена.

Мы не утверждаем существованиямодельной структуры на DSect(C, E), и не видим причин ожидать её существования. Иметьобъемлющую модельную категорию PSect(C, E), в точности как в случае вычисления гомо­топических (ко)пределов [12, 15], позволяет нам работать с производными сечениями надостаточно эффективном уровне.Напомним, что мы ввели опрасслоения M⊗ → Γ+ для описания алгебр в M. Если жемы посмотрим на те же данные как на семейство категорий над Γop+ , точно так же, как вслучае псевдотензорных категорий, тогда сечения M⊗ → Γop+ , нормированные определённымобразом, отвечают коалгебрам в M. Предсечения PSect(Γ+ , M⊗ ) также отвечают коалгеб­раическим данным определённого рода. Предложение 3.2.10 показывает, что производныесечения ведут себя так же, как и обычные сечения, что подтверждает идею о том, что DSectявляется разумным объектом для рассмотрения.

Философия позади производных сечений —своего рода пример кошулевой двойственности между алгебраическими и коалгебраическимиобъектами.РезольвентыМы бы хотели иметь возможность строить интересные примеры производных сечений.Определение 4.0.2. Функтор : D → C называется резольвентой если для каждойпоследовательности компонируемых стрелок 0 → ... → в C, категория D(0 → ... → ) :={0 → ... → | ( → +1 ) = → +1 } имеет стягиваемый нерв.Строго говоря, это определение верно только тогда, когда — изорасслоение. (Опреде­ление 1.1.12); для простоты изложения мы не будем обращать внимания на этот аспект.Примеров резольвент — множество. Для каждой категории C, функторы первого и по­следнего элемента C → C, Cop → C являются резольвентами.

Есть также примеры резольвентменее формального характера, которые происходят из геометрии и топологии. Например,возьмём конечный клеточный комплекс гомотопически эквивалентный (, 1) и обозна­чим через B фундаментальный группоид пространства . Группы, для которых подобная16картина имеет смысл, существуют, например, можно рассмотреть группу крашеных кос. Да­лее, выберем регулярное клеточное разбиение и рассмотрим ассоциированное частичноупорядоченное множество I. Выбирая точку в каждой из клеток I и связывая эти точкипутями вдоль вложений цепей, можно задать функтор : I → B который является резоль­вентой с точностью до эквивалентности категорий.Функторы, подобные выше, полезны в теории представлений. Рассмотрим функторобратного образа * : D(B, ) → D(I, ), где D(B, ) и D(I, ) — производные категориифункторов с, соответственно, категорий B и I в категорию DVect .