Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 6

Мы называем такие (оп)расслоения строго расщепимыми.Подобное же наблюдение верно для предрасслоений. Всякое предрасслоение можно, сточностью до эквивалентности, заменить на такое, что сопоставление → E() будет кон­травариантным слабым (lax) функтором из C в категории. Более того, этот функтор будетнормализован, в том смысле что образ тождественных отображений C — тождественные26функторы перехода, а образ изоморфизмов — эквивалентности. Последнее свойство имеетнесколько специальный характер.Определение 1.1.12. Функтор : E → C называется изорасслоением, если для любого∼изоморфизма : → категории C и объекта с ( ) = , существует изоморфизм∼ : → с = .Всякое (оп)расслоение Гротендика автоматически является изорасслоением, но подоб­ное неверно про пред(оп)расслоения.Соглашение 1.1.13.

С текущего момента, всякое предрасслоение или предопрас­слоение, которое мы будем рассматривать, также предполагается изорасслоени­ем, если не сказано обратного. Для изорасслоения : E → C и ∈ C, обозначениеE() всегда будет означать −1 (), строгий категорный слой над . Для любого функтора : D → C, не являющегося изорасслоенем, обозначение D() для ∈ C будет значить суще­ственный слой над : его объекты суть пары из ∈ D и : () ∼= in C, а морфизмы(, ) → (′ , ) даны : → ′ такими что ( ) = . В частности, ( ) — изоморфизм.1.2. Операции и конструкцииМы видели, что всякое опрасслоение E → C можно описать, с точностью до эквивалент­ности, как ковариантный функтор с категории C со значениями в категориях.

Эквивалентно,это то же самое, что и контравариантный функтор с категории Cop со значениями в кате­гориях. Чтобы описать эту двойственность без перехода к функторам на C, можно сделатьследующее.Определение 1.2.1. Зафиксируем опрасслоение : E → C. Определим категорию, обозна­ченную через E⊤ , следующим образом:1. (E⊤ ) = (E),2. Морфизм → в E⊤ — класс изоморфизмов диаграмм в E вида −→ ←− таких что левая стрелка послойна, ( → ) = () , и правая стрелка опдекартова.Есть очевидный функтор, ⊤ : E⊤ → Cop который отправляет морфизм −→ ←− в ( ←− ).

Морфизм E⊤ ⊤ -декартов если его можно представить как диаграмму вида27 −→ ←− . Функтор ⊤ — расслоение, которое мы будем называть транспонированнымрасслоением .В случае, когда E → C равноR → C для функтора : C → Cat, тогда E⊤ → Copэквивалентно (фибрационной) конструкции Гротендика, применённой к : (Cop )op → Cat,контравариантному функтору на Cop .Имея функтор : D → C, мы можем брать обратный образ пред(оп)расслоений над Cи получать пред(оп)расслоения на D. Имея пред(оп)расслоение : E → C, обозначим через * E → D, или в некоторых случаях через E|D → D, получающееся пред(оп)расслоение.Подобным же образом, по сечению : C → E пред(оп)расслоения E → C, мы получаемсечение * : D → * E обратного образа * E → D. Эта операция задаёт функтор обратногообраза * : Sect(C, E) → Sect(D, * E).Мы часто будем писать Sect(D, E) вместо Sect(D, E|D ) = Sect(D, * E).Лемма 1.2.2.

Пусть дано расслоение F → C и естественное преобразование : → функторов , : D → C. Тогда∙ существует естественное декартово отображение расслоений : * F → * F, на­зываемое отображением ограничения,∙ Имея сечение : C → F, возникает функториальный по морфизм сечений * → * .Доказательство. Предположим, что F → C строго расщепимо. Возьмём ∈ D. Для каж­дого из E(()) = * F(), мы имеем декартову стрелку → в F над : () → ().Значение тогда определяется равным ; действие на морфизмах можно определитьпохожим образом.Пусть дано сечение , тогда его значение на : () → () можно естественнофакторизовать как * () = ( ()) → (()) → (()) = * ().Варьируя , стрелки * () → (()) = (* )() задают нам необходимое естествен­ное преобразование.Более общий результат, Лемма 1.4.18, будет доказан позже в этой главе.Определение 1.2.3.

Пусть : E → C — пред(оп)расслоение и ∈ Cat — категория.28∙ Произведение и : E → C — это функтор × : × E → C, (, ) ↦→ ().∙ Возведение в степень — это функтор : E → C, где E — подкатегория (, E),состоящая из всех функторов : → E, таких что ∘ — постоянный функтор → C.Оба этих функтора — пред(оп)расслоения.Пусть дан функтор : O → C, являющийся опрасслоением Гротендика. Тогда естьнесколько операций, которые можно выполнить с предрасслоениями над O и C.Определение 1.2.4.

Имея предрасслоение : F → C и опрасслоение : O → C с малымислоями, предрасслоение-степень : FO → C определяется следующим образом. Объект FO —пара из ∈ C и функтора : O() → F, такого что — постоянный функтор со значением. Морфизм (, ) → (′ , ) состоит из : → ′ и естественного преобразования → ∘ !функторов O() → F для некоторого выбора функтора перехода ! : O() → O(′ ). ФункторFO → C — естественная проекция.Можно проверить, что FO → C — предрасслоение со слоями Fun(O(), F()). Функторперехода FO (′ ) → FO () даётся прекомпозицией функтора-объекта : O() → F() с ! :O() → O(′ ) и посткомпозицией с * : F(′ ) → F() для некоторого выбора функторовперехода ! и * в O и F соответственно.Лемма 1.2.5.

Имея функтор : D → C и : F → C, : O → C как выше,1. Существует эквивалентность категорийSect(O, * F) ∼= Sect(C, FO ).2. Существует декартово отображение( * F)*O→ * (FO )которое, вдобавок, является эквивалентностью над D.Доказательство. Очевидно.Если функтор : D → C — (оп)расслоение, то у функтора обратного образа * :Cat/C → Cat/D существует правый сопряжённый * .Лемма 1.2.6. Пусть : F → C — расслоение и : E → F — предрасслоение.

Тогда прямойобраз , * : * E → C, также является предрасслоением. Объект * E — пара (, ) из29 ∈ C и ∈ Sect(F(), E). Морфизм (, ) → (′ , ′ ) может быть представлен как пара изморфизма : → ′ категории C и естественного преобразования ∘ * → ′ для выборафунктора перехода * : O() → O(′ ). Более того, имеем, чтоSect(C, * E) ∼= Sect(F, E).Доказательство. Очевидно.1.3. Пределы и сопряженияРассмотрим предрасслоение Гротендика E → C над базой C. В этой секции, мы изучимвопрос, в каком случае категория Sect(C, E) допускает пределы и копределы. Как связанныйвопрос, имея декартов квадрат предрасслоений *E?D-E- ?C,зададимся вопросом, допускает ли функтор * : Sect(C, E) → Sect(D, E) сопряжённый.1.3.1. Базовые результатыОпределение 1.3.1.

Функтор E → C называется послойно (ко)полным если каждый слойE() (ко)полон.Расслоение, опрасслоение, предрасслоение или предопрасслоение послойно полно иликополно если оно таково как функтор в вышеописанном смысле.Предложение 1.3.2. Пусть E → C — послойно кополное предрасслоение. Тогда категорияSect(C, E) кополна, так что копределы вычисляются послойно. Двойственный результатверен для категории сечений полного предопрасслоения.Доказательство.

Пусть ∙ : → Sect(C, E) — диаграмма сечений,(, ) ∈ × C ↦→ () ∈ E().Определим тогда (lim ∙ )() = lim (), то есть, копредел ∙ () : → E() в слое E().−→−→Возьмём морфизм : → , тогда достаточно построить(lim ∙ )() → * (lim ∙ )()−→−→(1.3.1 )30для некоторого выбора декартового морфизма * (lim ∙ )() → (lim ∙ )(). Если мы выбе­−→−→рем декартовы морфизмы для каждого ∈ , получая диаграмму * ∙ () : → E(), ↦→ * (),тогда мы имеем канонический морфизмlim * ∙ () → * (lim ∙ ())−→−→индуцированный свойством копредела. Комбинируя его вместе с отображением lim ∙ () →−→*lim ∙ (), индуцированным структурой сечения ∙ , мы получаем отображение (1.3.1 ).−→Можно проверить совместимость полученных отображений с композицией морфизмов в C.Пусть ∈ Sect(C, E) — сечение, и обозначим через * : → Sect(C, E) постояннуюдиаграмму со значением .

Имея отображение ∙ → * , мы хотим построить сопряжённоеотображение lim ∙ → . Во-первых, мы можем построить послойные отображения−→lim ∙ () → ().−→Имея морфизм : → , можно затем нарисовать диаграммуlim ∙ () - lim * ∙ () - * lim ∙ ()−→−→−→?()-*= - * ? ()? ()Левый квадрат коммутативен потому, что ∙ → * — морфизм сечений.

Правый квадраткоммутативен в силу универсального свойства копредела. Мы видим, таким образом, чтосемейство послойных отображений задаёт морфизм сечений lim ∙ → . Проверка в другую−→сторону делается подобным же образом.Предложение 1.3.3. Пусть E → C — кополное послойно предрасслоение, и квадрат *E-E? ?-CD— декартов. Допустим, что : D → C —опрасслоение.

Тогда * : Sect(C, E) → Sect(D, E)допускает левый сопряжённый ! , который можно вычислять как! () = limD() |D() .−→Доказательство. Непосредственно и похоже на доказательство Предложения 1.3.2. Заме­тим, что факт того, что : D → C — опрасслоение, означает, что естественный функторD() → / вложения слоя в комма-категорию допускает левый сопряжённый, а потомукофинален.311.3.2. Локально нётеровы категорииВ нижеследующем мы будем использовать термины “цепочка” и “последовательность”в одном и том же смысле.Определение 1.3.4. Пусть C — категория, и ∈ C — объект.

Скажем, что -ограниченсправа для некоторого числа ∈ N, если всякая последовательность морфизмов, начина­ющихся с , −→ 1 −→ ... −→ содержит как минимум − изоморфизмов как только > . Двойственно, -ограниченслева, если всякая последовательность из морфизмов, заканчивающаяся объектом , −→ −1 −→ ... −→ 1 −→ содержит как минимум − изоморфизмов как только > .Определение 1.3.5. Категория C называется локально нётеровой, или просто нётеровойкатегорией, если для каждого объекта ∈ C существует номер , такой что -ограниченсправа.Двойственным образом, категория C называется локально артиновой, или попросту ар­тиновой категорией, если для каждого объекта ∈ C существует номер , такой что -ограничен слева.Замечание 1.3.6.

Очевидно, если C — нётерова категория, то Cop — артинова категория.Мы остановимся на нётеровых категориях, и все результаты, полученные в данной секции,можно дуализовать в артинов случай.Для нётеровой категории C и объекта ∈ C, обозначим через || ≥ 0 минимальное число такое что -ограничен справа.Лемма 1.3.7. Для , ′ ∈ C, если || < |′ |, то C(, ′ ) = ∅. Если же || = |′ | и существу­ет отображение → ′ , то тогда оно изоморфизм. В частности, всякий эндоморфизм является изоморфизмом.Доказательство. Пусть ′ → ′1 → ...

→ ′|′ | — цепочка, начинающаяся с объекта , длины|′ |, такая что отображения в этой цепочке — не изоморфизмы. Если есть отображение → ′в C, композиция с ним даёт цепочку длины |′ | + 1, которая начинается с .32Таким образом, если || < |′ |, то мы имеем последовательность отображений длины|′ | + 1 из , в которой как минимум |′ | отображений необратимо, что невозможно. Если|| = |′ |, то иметь отображение → ′ можно только в том случае, если это изоморфизм. Таким образом, можно говорить о функции степени ↦→ ||, которую можно рассмат­ривать как контравариантный функтор | − | : Cop → N в категорию N натуральных чисел иморфизмов в положительном направлении.Обозначение 1.3.8. Имея нётерову категорию C, обозначим через C подкатегорию объек­тов , таких что || ≤ .