Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 10

Категория M оснащена модельной структурой, или называется мо­дельной категорией, если имеются подкатегории (W, C, F), содержащие все объекты M, назы­ваемые, соответственно, подкатегориями слабых эквивалентностей, кофибраций и фибраций,так что выполнены следующие аксиомы.M1 (Свойство M) категория M допускает малые пределы и копределы.M2 ПодкатегорияW удовлетворяет свойству 3-за-2: имея два компонируемых морфизма, , если любые два элемента множества {, , } — морфизмы из W, то тогда таковже и третий.M3 Подкатегории W, C, F замкнуты относительно ретрактов: имея коммутативную диа­грамму1-1 -2 - ? 2- ??с 1 1 = и 2 2 = , если принадлежит к W (соответственно, C,F), то к ней жепринадлежит и .M4 В коммутативной диаграмме-?-?с в C и в F, если любой из морфизмов , также лежит в W, то существует отобра­жение : → с = и = .52M5 Любой морфизм : → можно факторизовать как → → с в C и в F ∩ W,и как → ′ → , с в C ∩ W и в F.Определение 2.1.3.

Пусть (M, W) — гомотопическая категория. Локализацией M вдольW [15, 24], обозначаемой через W−1 M или Ho M, называется категория вместе с функтором : M → W−1 M , таким что любой функтор : M → N, посылающий W в изоморфизмыв N, пропускается через , и эта факторизация единственна с точностью до каноническогоизоморфизма.thm Предложение ([15, 20, 24]). Имея модельную категорию M, её локализация Ho Mвдоль W существует и живёт в том же универсе, что и M.2.2.

Полурасслоения над категориями Риди2.2.1. Модельные полурасслоенияОпределение 2.2.1. Пусть R — категория Риди. Модельным полурасслоением над R назы­вается функтор E → R, являющийся полурасслоением над (R, R− , R+ ) как факторизацион­ной категорией, так что каждая E() — модельная категория, и∙ функторы перехода вдоль R− сохраняют фибрации и тривиальные фибрации,∙ функторы перехода вдоль R+ сохраняют кофибрации и тривиальные кофибрации.В данной главе мы покажем, что Sect(R, E) имеет модельную структуру.Напомним [24, 20], что для каждого объекта ∈ R, мы имеем ассоциированные лэтчинги мэтчинг категории () и ().

Пусть E → R — полурасслоение. Тогда для каждого ∈ R, существуют естественные функторы ограничения : E|() → E() и : E () →E(). Действительно, посылает объект ∈ E|() , принадлежащий к слою над : → ,в ! ∈ E(), и подобным же образом можно определить .Определение 2.2.2. Для ∈ Sect(R, E) и в R, определим лэтчинг-объект в какследующий копредел:L := lim() ∘ |() .−→Мэтчинг-объект в определяется как следующий предел:M := lim () ∘ | () .←−53Обозначим через R< подкатегорию объектов степени меньше, чем , и рассмотримсечение : R< → E, определённое на этой подкатегории.

Тогда для каждого степени(вплоть до) , отображение L → M канонически определено. Рассмотрим следующийкоммутативный квадратℎ??-получаемый с помощью факторизационной системы, в котором горизонтальные отображенияиз R− , а вертикальные — из R+ . Предложение 1.4.13 тогда даёт естественное преобразование! * → * ℎ! . Отображение из лэтчинг в мэтчинг-объект тогда получается из отображений! () → ! * () → * ℎ! () → * (),с () → * () и ℎ! () → () существующими, поскольку — сечение над R< .

Собираявместе ! () → * (), мы получаем отображение из копредела в предел, то есть, L →M .Для сечения : R → E, определённого на всей R, у нас даны отображения L →() → M в каждом слое E(), которые, как можно видеть, факторизуют каноническоеотображение L → M .Предложение 2.2.3. Пусть E → R — полурасслоение, и : R< → E — сечение, опреде­лённое над объектом степени меньше, чем . Тогда продолжение до сечения на объектах степени эквивалентно факторизации канонического отображения L → M какL → () → M .Доказательство.

Ясно из предыдущей дискуссии.Сопоставления ↦→ L и ↦→ M задают функторы из Sect(R, E) в E(). Потому,имея отображение : → двух сечений , ∈ Sect(R, E), мы получаем, естественно,следующую коммутативную диаграммуL - () - M ???L - () - M .Определение 2.2.4.

Отображение сечений : → —∐︁∙ кофибрация Риди, если морфизм L () → () — кофибрация в E() для вся­кого ∈ R.L 54∙ фибрация Риди, если морфизм () → M ∏︁ () — фибрация в E() для каждогоM ∈ R.∙ слабая эквивалентность Риди, если это послойная слабая эквивалентность.Теорема 2.2.5. Пусть R — категория Риди, и E → R — модельное полурасслоение. То­гда категория сечений Sect(R, E) обладает модельной структурой, даваемой кофибрациями,фибрациями и слабыми эквивалентностями Риди из Определения 2.2.4.Лемма 2.2.6. Слабые эквивалентности Риди стабильны по отношению к ретрактам иудовлетворяют аксиоме “3-за-2”.Доказательство. Очевидно.Лемма 2.2.7. Пусть : → — отображение сечений, удовлетворяющее одному изсвойств ниже:∙ Для каждого ∈ R, отображение L ∐︁() → () — кофибрация,L ∙ Для каждого ∈ R, отображение L ∐︁() → () — тривиальная кофибрация,L ∙ Для каждого ∈ R, отображение () → M ∏︁ () — фибрация,M ∙ Для каждого ∈ R, отображение () → M ∏︁ () — тривиальная фибрация.M Тогда всякий ретракт также имеет это свойство.Доказательство.

Естественная проверка, аналогичная классическим доказательствам. 2.2.2. Случай “прямой” категорииРассмотрим сначала случай, когда R = R+ — “прямая” (direct) категория Риди. В такойситуации, E → R — предопрасслоение. Подобным же образом можно рассмотреть R = R− , иполучить предрасслоение над R.Предложение 2.2.8. Кофибрации Риди, поточечные фибрации и слабые эквивалентностидают модельную структуру на Sect(R, E).С очевидностью, R+ — нётерова категория, а потому:55Лемма 2.2.9. Для R = R+ , категория Sect(R, E) допускает пределы и копределы.Доказательство. Применение утверждений, двойственных к Предложениям 1.3.2 и 1.3.11.Лемма 2.2.10. Пусть дана диаграмма сечений-??-где — поточечная фибрация (соответственно, тривиальная фибрация). Если для каждого ∈ R, отображениеL ∐︁() → ()(2.2.1 )L — тривиальная кофибрация (соответственно, кофибрация), то диаграмма допускает подъ­ём → .Доказательство.

Индукция по степени. Для = 0, L () совпадает с начальным объ­ектом E() (то же верно для ), а потому отображение (2.2.1 ) равно () → (). Тогдаподъём существует просто потому, что E() — модельная категория.Для = , предположим, что мы определили подъём для всех объектов меньшейстепени. Для каждого отображения : → с < , мы имеем ℎ : () → (), икомпозиция () → () → () может быть факторизована как ! () → (), что в своюочередь индуцирует отображение L → (). Мы получаем тогда следующую диаграмму,∐︁- ()L ()L ?()?- (),для которой существует подъём, а потому, вспоминая о () → L L (), и искомыйнами подъём.Лемма 2.2.11. Пусть морфизм → таков, что L ∐︀∐︁L () → () — (тривиаль­ная) кофибрация для каждого ∈ R.

Тогда для любого ∈ R, отображения L → L и() → () — (тривиальные) кофибрации.56Доказательство. В отличие от [24], проследуем индукцией по степени. Для с = 0,лэтчинг-объекты совпадают с начальными, а потому отображение из условия леммы равно() → ().Допустим, что всё доказано для всех с < . Тогда для , = имеем:∙ Отображение L → L имеет видlim :→∈() (! () → ! ()) .−→Поскольку ! сохраняют (тривиальные) кофибрации, это отображение, по индукции,также (тривиальная) кофибрация, будучи копределом оных.∙ Отображение () → () равно() → L ∐︁() → ()L где первая стрелка — (тривиальная) кофибрация, будучи прямым образом L →L , ровно как и вторая стрелка.Следствие 2.2.12. Пусть → таково, что L ∐︀L () → () — тривиальнаякофибрация для всякого ∈ R. Тогда → — кофибрация Риди и слабая эквивалентность.Предложение 2.2.13.

Пусть → — морфизм в Sect(R, E). Тогда его можно фактори­зовать как → → , где∙ отображение → таково, что L ∐︀L () → () — кофибрация (соответ­ственно, тривиальная кофибрация) для каждого ∈ R,∙ отображение → — поточечная тривиальная фибрация (соответственно, фибра­ция).Доказательство. Покажем первый пункт; доказательство второго делается двойственнымобразом. Разложим () → () как () → () → () для каждого степени ноль.Предположим теперь, что факторизация предоставлена для всякого ∈ R степени меньшей,чем . Для с = , имеем диаграммуL - L ?()?-()57где L → () получается при помощи отображений () → () → (). А потому∐︁имеем морфизм ()L → (), который мы факторизуем какL ()∐︁L → () → ().L Отображения L → () превращают в сечение на R≤ .