Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 14

Имеется строго полное вложение C : CΔ → CΠ , которое отправляет c[] ∈CΔ в c[] : [] → C, рассматриваемый как объект CΠ .Имеем следующую декартову диаграмму:CΔ?ΔopC-CΠ op-Πop .?Предложение 1.4.10 о наследовании для индексированных категорий даёт следующее:Предложение 4.1.9. Пусть дана Π-индексированная категория XΠ и декартов квадратXΔX-XΠ? op-Πop ,Δop?тогда имеется две факторизационные системы, канонически индуцированные на каждойиз категорий XΔ и XΠ , так что X — факторизационный функтор в каждом из случаев.1. Факторизационная система “инъекция-сюръекция”, ((XΔ )− , (XΔ )+ ) для XΔ и, соответ­ственно, ((XΠ )− , (XΠ )+ ) для XΠ , индуцированные с противоположных категорий к(Δ , Δ ) и (Π , Π ) соответственно.

Более того, (XΔ , (XΔ )− , (XΔ )+ ) — категория Ри­ди, и функтор X — замкнутый справа факторизационный функтор, так что (X ) :(XΔ )− → (XΠ )− — замкнутое вложение нётеровых категорий.2. Факторизационная система Сигала, (SXΔ , AXΔ ) и (SXΠ , AXΠ ), индуцированная с ка­тегорий, противоположных к (AΔ , ΣΔ ) и (AΠ , ΣΠ ) соответственно. Ограничение фак­торизационного функтора X , (X ) : SXΔ → SXΠ , — замкнутое вложение нётеровыхкатегорий.76Определение 4.1.10.

Имея опрасслоение E → C, его Π-расширение — расслоение EΠ → CΠ ,получаемое как обратный образ транспонированного расслоения E⊤ → Cop вдоль функтораCΠ : CΠ → Cop вычисления на конечном объекте.Лемма 4.1.11. Пусть E → C — опрасслоение, тогда имеем следующий декартов квадратEΔ-EΠ?C-CΠ ,CΔ?где EΔ → CΔ — симплициальное расширение (Определение 3.1.6) опрасслоения E → C наCΔ .Определение 4.1.12. Модельным (нормализованным) сигаловым расслоением над Π - ин­дексированной категорией XΠ → Πop называется расслоение : F → XΠ , такое что∙ оно — полурасслоение над сигаловой факторизационной структурой на XΠ , (так чтофункторы перехода над AXΠ — эквивалентности категорий в нормализованном случае),∙ каждый слой F() — модельная категория, и вдобавок контравариантные функторыперехода вдоль (XΠ )− сохраняют фибрации и тривиальные фибрации, ковариантныефункторы перехода вдоль (XΠ )+ сохраняют кофибрации и тривиальные кофибрации,и, наконец, фибрационные функторы перехода вдоль всякого морфизма X сохраняютслабые эквивалентности.Категория Sect(XΠ , F) обладает гомотопической структурой, даваемой поточечнымислабыми эквивалентностями; обозначим через Ho Sect(XΠ , F) соответствующую локализа­цию.Лемма 4.1.13.

Пусть E → C — модельное опрасслоение (Определение 3.2.4), тогда EΠ →CΠ — модельное сигалово расслоение.Доказательство. Очевидно.Категория Sect(XΔ , F) обладает модельной структурой по Теореме 2.2.5. Функтор об­ратного образа X* : Sect(XΠ , F) → Sect(XΔ , F) сохраняет слабые эквивалентности. Обозначимчерез SectS (XΠ , F) полную подкатегорию Sect(XΠ , F), состоящую из тех сечений, что посыла­ют SXΠ в слабо декартовы (Определение 3.2.6) морфизмы F; как и раньше, будем называтьтакие сечения сигаловыми. Очевидно, * сохраняет сигаловы сечения.77Предложение 4.1.14. Пусть F → XΠ модельное сигалово расслоение над Π-категориейXΠ .

Тогда1. Функтор X* : Sect(XΠ , F) → Sect(XΔ , F) допускает строго полный правый сопряжён­ный X,* : Sect(XΔ , F) → Sect(XΠ , F).2. Для всякого функтора Π : YΠ → XΠ между Π-индексированными категориями, мор­физм замены базы Π* X,* → Y,* Δ* в диаграммеSect(XΔ , F)Δ*?Sect(YΔ , F)X,*⇐Y,*-Sect(XΠ , F)Π*?Sect(YΠ , F)— изоморфизм.3. Правый сопряжённый X,* отправляет слабые эквивалентности между фибрантнымиобъектами Sect(XΔ , F) в слабые эквивалентности Sect(XΠ , F). В частности, потомусуществует правый производный функтор RX,* .4. Функтор RX,* строго полон и переводит сигаловы сечения над XΔ в Ho SectS (XΠ , F).Доказательство. Первое утверждение — следствие Предложений 4.1.9, 1.3.15 и 1.4.20. За­метим, в частности, что Предложение 1.3.15 предъявляет индуктивную формулу для вычис­ления X,* ,X,* () = lim () X,* | ()←−где категория () состоит из всех морфизмов → ′ в XΠ , которые накрывают нетриви­̸=альные инъекции ←˒ ′ в Π.

На уровне категорий, () эквивалентна (Π / )op минустождественное отображение.Для второго утверждения, заметим, что Π* X,* на ∈ YΠ вычисляется какΠ* X,* () = lim ( ()) Π () (*,X )| (Π ()) ,←−Πа Y,* Δ* () — какY,* Δ* () = lim () (Y,* Δ* )| () .←−Воспользуемся теперь индукцией по числу элементов в , ЧУМ, которое отвечает . Обе кате­гории (Π ()) и () эквивалентны (Π / )op без тождественного отображения. Индук­тивно предположив, что морфизм замены базы — изоморфизм для ЧУМ с меньшим числомэлементов, чем у , имеем, что Π () (*,X )| (Π ()) и (Y,* Δ* )| () совпадают, от­вечая, с точностью до изоморфизма, одному и тому же функтору (Π / )op ∖{ } → F(Π ()).78Для третьего утверждения, лемма Кена Брауна [24, 20] показывает, что достаточнопосмотреть, что происходить с тривиальными фибрациями между фибрантными объектами.Докажем, что если → — тривиальная фибрация в Sect(XΔ , F), то тогда для каждого ∈ Π, отображение X,* () → X,* () — тривиальная фибрация в F().

По индукции,видим, что стрелка X,* () → X,* () может быть представлена как предел тривиальныхфибраций, а потому является таковой.То, что правый производный функтор RX,* строго полон, следует из того, что X,* строгополон и имеет сопряжённый, и что взятие фибрантной замены даёт эквивалентность катего­рий Ho Sect(XΔ , F) ∼= Ho Sect(XΔ , F) . Наконец, пусть — фибрантное сигалово сечение и ∈ XΠ — объект над . Поскольку сигаловы отображения — часть факторизационной си­стемы, подкатегория S () ⊂ (), даваемая сигаловыми отображениями, финальна.Поскольку открытое вложение ′ ˓→ определяется образом 1 ′ , мы видим, что S () эк­вивалентна категории, противоположной ∖{1 }, а потому стягиваема.

В силу финальностиможно переписатьX,* () = lim S () X,* | S () .←−Докажем, что для фибрантного сигалова сечения и любого сигалова отображения : → в XΠ , индуцированный морфизм X,* () → * X,* () — тривиальная фибрация.По индукции можно считать, что функтор = X,* | S () : S () → F() имеетсвойство, что для → в S (), отображение () → () — тривиальная фибрациямежду фибрантными объектами.

Вспоминая о стягиваемости S (), результат, известныйв теории модельных категорий даёт, что всякое отображение проекции lim S () → ()←−— тривиальное расслоение. Это завершает доказательство последнего утверждения.Вернёмся к обсуждению S-локальной постоянности (Определение 4.0.8 производных се­чений над C и того, как она переводится на случай более общих ЧУМ. Для наших целей,будет достаточно ограничиться теми ЧУМ, что имеют вид [] × [] ∈ Δ × Δ.Определение 4.1.15.

Пусть C — категория. Её двойной симплициальной заменой называ­Rется опфибрационная конструкция Гротендика CΔ×Δ = ( Δ×Δ C), где Δ×Δ C — функтордвойного нерва([], []) ↦→ Cat([] × [], C) = Ob Fun([] × [], C).По определению, : CΔ×Δ → Δop ×Δop — Δ×Δ-индексированная категория. Обозначим[]её объект через c[] , с соглашением, что нижний индекс отвечает первому аргументу. Этот79объект можно нарисовать как прямоугольную диаграмму в C:00-...- 0......?......?...?0-...?- .Очевидный функтор : Δ × Δ → Π индуцирует функтор C : CΔ×Δ → CΠ на уровнезамен.[]′[]Определение 4.1.16.

Морфизм c[] → c[] в CΔ×Δ — анти-сигалов если он определяетсяединственным образом по вложению ([], []) ˓→ ([], []), даваемому парой анти-сигаловыхотображений [] ˓→ [] и [] ˓→ [] in Δ.[]Если мы представим c[] диаграммой00-...- 0.........?...?...?0-...?- ,′[]тогда c[] даётся прямоугольником, содержащим правый нижний угол.[]′[]Определение 4.1.17. Пусть дана изо-подкатегория S ⊂ C, тогда морфизм c[] → c[] назы­вается S-стирающим, если он анти-сигалов, и отображения−1 → , −1→ 1 ≤ ≤ − , 1 ≤ ≤ − ,лежат в S.′[][]Морфизм c[] → c[] — сильно S-стирающий, если он S-стирающий и, вдобавок, не′[]существует S-стирающих отображений из c[] .Определение 4.1.18.

Пусть дано модельное опрасслоение E → C и изо-подкатегория S ⊂ C,Сечение : CΔ×Δ → E называется S-локально постоянным если для всякого S-стирающего[]′[]морфизма : c[] → c[] , образ () — слабая эквивалентность.Легко видеть, что достаточно потребовать, чтобы () было слабой эквивалентностьюдля всякого сильно S-стирающего морфизма .80Предложение 4.1.19. Пусть E → C — модельное опрасслоение и S ⊂ C — изо-подкатего­рия в C.

Тогда функторhC* RC,* : Ho DSect(C, E) → Ho Sect(CΔ×Δ , E)отправляет S-локально постоянные производные сечения в S-локально постоянные сечениянад CΔ×Δ .Доказательство. Рассмотрим фибрантное S-локально постоянное производное сечение .Предложение 1.3.15 даёт индуктивную формулу для C,* , по которой[]C,* (C c[] ) = lim (c[] ) c[] C,* | (c[] )←−[][][][][]где категория (c[] ) состоит из всех морфизмов c[] → в CΠ которые накрывают нетри­̸=виальные инъекции [] × [] ←˒ в Π.Поскольку анти-сигаловы отображения Δ×Δ — часть факторизационной системы, суще­[][]ствует финальная подкатегория (c[] ) ⊂ (c[] ) состоящая из анти-сигаловых отоб­[]′[−]ражений, с необходимостью принимающих вид c[] → c[− ] с ′ = ++ .

А потому,′[−][]C,* (C c[] ) = lim(c[] →c′[−] )∈ (c[] ) C,* (C c[− ] ).←− [] [− ][]′[−][]Легко видать, что всякое анти-сигалово отображение : c[] → c[− ] единственнымобразом определяется как выбор крайней левой вершины внутреннего прямоугольника, со­ответствующей . В частности, есть три объекта,[]′[−1] : c[] → c[]′′[][][]′′′[−1], : c[] → c[−1] , : c[] → c[−1] ,которые определяются вершинами 10 , 01 и 11 соответственно.

Можно видеть, что[]′[−1]C,* (C c[] ) = C,* (C c[]) ×′′[](︁)︁′′′[−1]C,* C c[−1]C,* (C c[−1] ),причём это — гомотопически расслоённое произведение, поскольку — фибрантно. По ин­дуктивной процедуре, подобной той, что описана в Предложении 4.1.14, мы получаем иско­мый результат.4.1.3.