Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 21

Более того, ∙ (⊗ ⊗ op , ( )) = ∙ (, ).Функтор можно продолжить до морфизма опрасслоений : Bimod → -Bimod ×AT , где -Bimod×AT → AT — постоянное опрасслоение. Двойственная версия Предложения2.3.1 тогда даёт существование : Sect(AT , -Bimod × T) → Sect(AT , Bimod ) правогосопряжённого к функтора на сечениях.Потому из сечения : AT → -Bimod × T, ( ) = (, ) мы получаем сечение (), иискомое сечение, в итоге, ∙ (()). Можно проверить, что ∙ (()) — локально посто­янная производная алгебра на T. Теоремы 5.3.3 и 5.4.16 тогда дают производноеB-сечение,которое описывает ∙ (, ) как E2 -алгебру.115ЗаключениеДля того, чтобы покрыть большой класс структур, мы разработали формализм Сигаладля (обобщённой версии ) операторных категорий [6], и ввели алгебры Сигала как произ­водные сечения опрасслоений над операторными категориями.

Нужно принять во вниманиемножество формальных аспектов, чтобы иметь полную теорию алгебраических структур.Мы имеем несколько наработок, которые позволяют определять и изучать модули надсигаловыми алгебрами. Модулем над сигаловой алгеброй в DVect называется расширение с квадратом ноль, определяемое посредством процедуры, работающей над любой опера­торной категорией. Более того, весьма ясно, что категория модулей Mod триангулирована.Как следствие, можно попробовать определить деформационный функтор в подходе Сигала,используя для этого язык фильтрованных алгебр Сигала.Формальные но потенциально интересные вопросы включают в себя существование го­мотопических копределов алгебр сигала над данной операторной категорией, или тензорногопроизведения модулей и алгебр, конструкций свободной алгебры и более общих сопряжённыхфункторов между разными категориями алгебр Сигала.В текущей форме, формализм алгебр Сигала не имеет детально проработанной связини с формализмом операд, ни с общими факторизационными алгебрами [7].

Связи междусовершенными операторными категориями и топологическими операдами объяснены в [6].Наши примеры, впрочем, не попадают в класс совершенных, а потому связывание с операда­ми требует отдельных доказательств. Псевдотензорные категории выглядят тем обещающимязыком, который может позволить включить структуры типа PROP в наш язык.Отдельный интерес представляет вопрос, на что же можно заменить операторные ка­тегории. Имеются различные соображения на сей счёт, например, работа Батанина-Маркла[5], а также некоторые наработки Клеменса Берже.

Мы столкнулись с более общем понятиемв Определении 4.3.8, и мы полагаем, что в этом направлении можно сказать больше слов.Опять же, интерес представляют приложения, заключающиеся во вложении в формализмпроизводных сечений тех структур, которые не допускают на данный момент модельно-кате­горного описания, например, алгебр Хопфа, биалгебр и тому подобного, описываемых наданный момент с помощью языка PROPов.Включение операд и PROPов в наш формализм интересно ещё и потому, что, в случаеDVect , наш формализм работает в простой характеристике так же хорошо, как и в характе­ристике 0, и нам было бы интересно изучить теорию деформаций операд как только удастсявложить их в сигалов подход.116Гипотеза Делиня появляется в интересной физико-математической работе [14].

Вообщеговоря, в последние годы стало ясно, что факторизационные алгебры и операды играют важ­ную роль в матфизике, описывая (или даже определяя) топологические квантовые теорииполя. С физической перспективы, E2 -алгебры описывают “древесные” диаграммы топологи­ческих струн. “Высшие петли” струнных теорий описываются кривыми высшего рода.

Можноизучать факторизационные алгебры для общих кривых, и пытаться найти альтернативноекомбинаторное описание. Без упоминания деталей, закончим на том, что картину высших ро­дов можно также попробовать разработать в направлении теории Гротендика-Тейхмюллера,и мы надеемся, что алгебры Сигала позволят увидеть что-то новое в этом направлении.117Список литературы1. Э. Р.

Бальзин, Разрешения категорий и производные сечения, Успехи математическихнаук 69:5 (2014), страницы 918-9202. Э. Р. Бальзин, Производные сечения, факторизационные алгебры и гипотеза ДелиняМатематические заметки, 2016, том 100, выпуск 2, страницы 291–2953. John F. Adams, Infinite Loop Spaces, Princeton University Press, 19784.

Edouard Balzin, Derived sections of Grothendieck fibrations and the problems of homotopicalalgebra, http://arxiv.org/abs/1410.3387, submitted for review5. Michael Batanin, Martin Markl, Operadic categories and Duoidal Deligne’s conjecture, http://arxiv.org/abs/1404.3886, to appear in Advances in Mathematics6. Clark Barwick, From operator categories to topological operads, preprint http://arxiv.org/abs/1302.57567.

Alexander Beilinson, Vladimir Drinfeld, Chiral Algebras, AMS 20048. Clemens Berger, Benoit Fresse, Combinatorial operad actions on cochains, Math. Proc.Cambridge Philos. Soc. 137 (2004), 135-1749. Clemens Berger, Ieke Moerdijk, Axiomatic homotopy theory for operads, Comment. Math.Helv.

Vol. 78(2003), no. 4, http://arxiv.org/abs/math/020609410. Clemens Berger, Ieke Moerdijk, On an extension of the notion of Reedy category, Math. Z.269 (2011), 977-1004, http://arxiv.org/abs/0809.334111. Clemens Berger, Ieke Moerdijk, The Boardman-Vogt resolution of operads in monoidal modelcategories, Topology, 2006, Volume 45, Issue 5, pp 807-84912. Aldridge K. Bousfield, Daniel M. Kan, Homotopy limits, completions and localizations, LectureNotes in Mathematics, Vol.

304. Springer-Verlag, Berlin, 197213. Denis-Charles Cisinski, Locally constant functors, Mathematical Proceedings of the CambridgePhilosophical Society (2009), 147, 59314. Kevin Costello, Topological conformal field theories and Calabi-Yau categories, Advances inMathematics Volume 210, Issue 1, 20 March 2007, pp 165-21415. William G. Dwyer, Philip S. Hirschhorn, Daniel M. Kan, and Jeffrey H. Smith, HomotopyLimit Functors on Model Categories and Homotopical Categories, AMS 200416. Paul G. Goerss, John F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory, Springer, 200917. Moritz Groth, On the theory of derivators, doctoral dissertation, Bonn 2011, http://www.math.uni-bonn.de/people/grk1150/DISS/dissertation-groth.pdf18.

Moritz Groth, Kate Ponto, Michael Shulman, The additivity of traces in monoidal derivators,118to appear in Journal of K-theory, preprint http://arxiv.org/abs/1212.327719. Alexander Grothendieck, Michèle Raynaud et al., Revêtements étales et groupe fondamental(SGA I), Lecture Notes in Mathematics 224, Springer 197120. Philip S. Hirschhorn, Model Categories and Their Localisations, No. 99. AmericanMathematical Soc., 2009.21.

André Hirschowitz, Carlos Simpson, Descente pour les n-champs (Descent for n-stacks),preprint http://arxiv.org/abs/math/980704922. John F. Jardine, Cocycle Categories, Algebraic topology, Vol. 4. Abel Symp. Berlin: Springer,2009, pp. 185?218.23. Peter T. Johnstone, Sketches of an elephant: A topos theory compendium, Vol. 1-2. OxfordUniversity Press, 2002.24. Mark Hovey, Model Categories, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 63, AmericanMathematical Society, Providence, Rhode Island, 1999.25. Dmitry Kaledin, Non-commutative Geometry from the homological point of view, lecture notes,KIAS, Seoul, October 200926.

Dmitry Kaledin, Homological methods in Non-commutative Geometry, lecture notes,University of Tokyo, October 2007 — March 200827. Maxim Kontsevich, Yan Soibelman, Deformations of algebras over operads and Deligne’sconjecture, http://arxiv.org/abs/math/000115128.

Valery A. Lunts, Categorical resolution of singularities, Journal of Algebra, 2010, Volume 323,Issue 10, pp 2977-300329. Jacob Lurie, Derived Algebraic Geometry II: Noncommutative Algebra, preprint http://arxiv.org/abs/math/070229930. Jacob Lurie, Derived Algebraic Geometry III: Commutative Algebra, preprint http://arxiv.org/abs/math/070320431.

Jacob Lurie, Higher Algebra, on-line book, available at http://www.math.harvard.edu/~lurie/32. James E. McClure and Jeffrey H. Smith, A solution of Deligne’s Hochschild cohomologyconjecture, Recent Progress in Homotopy Theory (Baltimore, MD, 2000), volume 293 ofContemp. Math., pp 153-193. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.33. Saunders Mac Lane, Categories for The Working Mathematician, Graduate Texts inMathematics 5 (second ed.).

Springer, 199834. J. Peter May, The geometry of iterated loop spaces, Springer-Verlag, Berlin, 1972, LecturesNotes in Mathematics, Vol. 27111935. Daniel Quillen, Higher K-theory: I, Lecture Notes in Mathematics Volume 341, 1973, pp 85-14736. Emily Riehl, Categorical Homotopy Theory, Cambridge University Press, 201437. Graeme Segal, Categories and Cohomology Theories, Topology Vol.

13 pp. 293-312, PergamonPress 197438. Markus Spitzweck, Operads, Algebras and Modules in General Model Categories, http://arxiv.org/abs/math/010110239. Dmitry E. Tamarkin, Another proof of M. Kontsevich formality theorem, http://arxiv.org/abs/math/980302540. Bertrand Toën, Michel Vaquié, Moduli of objects in dg-categories, Annales Scientifiques del’École Normale Supérieure, Volume 40, Issue 3, May–June 2007, pp 387–44441.

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi, Infinie-catégories monoidales rigides et caractères de Chern,to appear in Selecta, http://www.math.univ-montp2.fr/~toen/dag-loop.pdf42. Angelo Vistoli, Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory, http://arxiv.org/abs/math/041251243. Jon Woolf, The fundamental category of a stratified space. Preprint, arXiv:0811.2580..