Диссертация (1137470), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Слой E ≀ над (, { }) даётся произведением слоёв∏︀∈E( ). Имеяотображение из (, { }) в(, {′ }), обозначенное через (, { }), соответствующий функтор∏︀∏︀перехода E ≀ (, { }) → E ≀ (, {′ }) даётся композицией ∈ E( ) → ∈ E( () ) →∏︀′∈ E( ), где первый функтор — проекция, а второй индуцирован с функторов перехода,! : E( () ) → E(′ ). Остальное очевидно.Можно потому рассматривать S ≀ -локально постоянные производные сечения модельного опрасслоения E ≀ → C ≀ .Предложение 4.3.3. Пусть C категория, S — изо-полная подкатегория, E → C — модельное опрасслоение.
Тогда функтор h * : Ho DSectS≀ (C ≀ , E ≀ ) → Ho DSectS (C, E) — эквивалентность категорий. Более того, имея функтор : D → C, получаем коммутативнуюдиаграмму категорийhC* Ho DSectS (C, E)∼=h(F ≀ )*hF*??hD*Ho DSect * (S≀) (D ≀ , * E ≀ ) ∼Ho DSect * S (D, * E),=Ho DSectS≀ (C ≀ , E ≀ )(4.3.1 )где F ≀ — симплициальная замена ≀ , функторы C : C → C ≀ и D : D ≀ отвечаютвложениям, и обе горизонтальные стрелки — эквивалентности категорий.94Доказательство. Коммутативность диаграммы (4.3.1 ) легко проверить.
Докажем первуючасть предложения.Обозначим через * категорию отмеченных объектов (, ) в , с морфизмами, сохраняющими отмеченные точки ∈ . Функтор забывания точки, : * → , — дискретноерасслоение. ОпределимC ≀ * := * (C ≀ ) как обратный образ C ≀ → вдоль . Индуцированный функтор C : C ≀ + → C ≀ тогда также является дискретным расслоением. Мы такжеимеем функтор : C ≀ + → C, который действует, как проекция на слой над отмеченнымэлементом ∈ .
Функтор — предопрасслоение, слои которого −1 () имеют конечные объекты (, 1* ) где 1* — множество из отмеченной точки. Лемма 4.0.4 тогда даёт нам, что —резольвента.∼Пока что мы получили эквивалентность h* : Ho DSect(C, E) → Ho DSect(C ≀ + , * E).Осталось сравнить эту категорию с Ho DSect(C≀, E≀).
Вспомним о Лемме 1.2.6 и рассмотримпрямой образ C,* * E → C≀. Поскольку C — дискретное расслоение, опрасслоение C,* * E →C ≀ модельно. Более того, имеем декартову эквивалентность опрасслоений E ≀ ∼= C,* * E:взятие * отвечает постановке слоя в отмеченную точку, а применение C,* отвечает взятиюпроизведения по всем имеющимся точкам.Потому получаем Ho DSect(C ≀ , E ≀ ) ∼= Ho DSect(C ≀ , C,* * E). Можно проверить (вдухе Леммы 1.2.6), что Ho DSect(C ≀ , C,* * E) ∼= Ho DSect(C ≀ + , * E).Определение 4.3.4.
Пусть (C, L , R) — факторизационная категория. Её факторизационный нерв — расслоение N(L ,R) (C) → Δ, определённое как фибрационная конструкция Гротендика[] ↦→ FunL ([], R)где FunL ([], R) — категория∙ с объектами, даваемыми функторами [] → C, которые пропускаются через R,∙ с естественными преобразованиями между этими функторами, поточечно лежащими вL.Слой N(L ,R) (C) → Δ над [] является потому категорией последовательностей 0 → ... → отображений в R, с морфизмами, даваемыми коммутативными диаграммами0L ∋∈ R-...′0∈ R-∈L∈ R- ′?... ,....?∈ R-95в которых вертикальные стрелки принадлежат к L . Имеются также декартовы отображения, которые такие же, как и в обычном нерве категории.
Сопоставление 0 → ... → задаётфунктор C : N(L ,R) (C) → C.Лемма 4.3.5. Функтор C — левая резольвента.Доказательство. С помощью факторизационной системы (L , R) на C, мы видим, чтоC — предопрасслоение. А потому есть сопряжённая пара функторов между N(L ,R) (C)()∈Rи подкатегорией X комма-категории N(L ,R) (C)/ состоящей из пар (c[] , → ). Определим также X* , категорию, естественно расслоённую над категорией Δ* ⊂ Δ отображенийв Δ, сохраняющих конечный объект: слой X* ([]) состоит из всех R-сечений морфизмов0 → ...
→ [−1] → . Любое расслоение F → Δ* имеет свойство, что вложение F([0]) ˓→ Fдопускает сопряжённый. Легко видеть, что функтор Δ → Δ* , который добавляет последнийэлемент, приводит к сопряжённой паре функторов X X* . Учитывая, что X* ([0]) = {},получаем стягиваемость X.А потому наше предрасслоение C : N(L ,R) (C) → C имеет стягиваемы слои, и по Лемме4.0.4 получаем, что это — левое разрешение.Следствие 4.3.6. Пусть дано модельное опрасслоение E → C над факторизационной категорией (C, L , R), тогда функторhC* : Ho DSectL (C, E) → Ho DSectC* L (N(L ,R) (C), E)— эквивалентность категорий, функториальная по отношению к : D → C в том смысле,что диаграммаHo DSectL (C, E)h* Ho DSectC* L (N(L ,R) (C), E)∼=?h* *Ho DSect * L (D, E) ∼ Ho DSectD * L (N(LD ,RD ) (D), * E)=?*коммутативна.Рассмотрим факторизационную категорию (C, L , R), и возьмём сплетённое произведение C ≀ .
Тройка (C ≀ , L , R ) — факторизационная категория, где L = L ≀ , а правый класс R даётся всеми морфизмами (, { }), такими что обратимо, и все лежат вR ⊂ C. Обозначим через N N(L ,R) (C) := N(L ,R ) (C ≀ ), категорию, для которой есть проекцияC≀ : N N(L ,R) (C) → C ≀ .96Следствие 4.3.7. Пусть (C, L , R) — факторизационная категория, и E → C — модельноеопрасслоение. Тогда естественный функтор** (L ≀) (N N(L ,R) (C), (E ≀ ))Ho DSectL (C, E) → Ho DSectL ≀ (C ≀ , E ≀ ) → Ho DSectC≀— эквивалентность категорий.Определение 4.3.8.
Пусть (C, L , R) — факторизационная категория, и ∈ C. Назовём C-дискретной если функтор : → L = L ≀ , ↦→ (, {, ..., }),строго полный и допускает левый сопряжённый : L → .Дискретная факторизационная категория — набор (C, L , R, ) из факторизационнойкатегории (C, L , R) и ∈ C такого, что C — -дискретна. Морфизм : (D, LD , RD , D ) →(C, LC , RC , C ) между двумя дискретными факторизационными категориями состоит из факторизационного функтора , такого что (D ) = C и что морфизм замены базы для сопряжённых пар D ⊣ D и C ⊣ C — изоморфизм.Определение 4.3.9.
Модельное опрасслоение E → C над дискретной факторизационнойкатегорией (C, L , R, ) называется совместимым с дискретизацией, если для всякого ∈C ≀ , функтор перехода,! : E ≀ () → E ≀ ( )— эквивалентность категорий.Достаточно проверять это условие для ∈ C ⊂ C ≀ .Определение 4.3.10. Пусть (C, L , R, ) — дискретная факторизационная категория.
Еёдискретизованный факторизационный нерв — полная подкатегория NL ,R (C) ⊂ N NL ,R (C),состоящая из 0 → ... → таких что : → — изоморфизм.Лемма 4.3.11. Естественный функтор NL ,R (C) → Δ — расслоение. Имея модельное опрасслоение E → C, совместимое с дискретизацией, вложение : NL ,R (C) ⊂ N NL ,R (C) индуцирует естественную эквивалентностьh* : Ho DSect * (L ≀) (N N(L ,R) (C), * (E ≀ )) → Ho DSect* * (L ≀) (N(L ,R) (C), * * (E ≀ )),где : N NL ,R (C) → C ≀ — функтор, определённый ранее.97Доказательство. Пусть дан 0 → ... → из N NL ,R (C). возьмём отображение → ипостроим следующую диаграмму0∈R ...L ∋∈ R-−1∈L...?′0∈R ...∈R ∈ R-?′−1∈ R-∈L(4.3.2 )? ,в которой каждый коммутативный квадрат строится, в порядке справа налево, с помощьюфакторизации, используя (L , R ), композиций −1 → → и −1 → → ′ (для1 ≤ ≤ − 1).Подобная факторизация позволяет доказать оба утверждения следующим образом.
Напомним, что имеется сигалова факторизационная система (A, Σ) на Δ. Мы видим, что функторы перехода для NL ,R (C) вдоль анкерных отображений A можно просто взять равнымитем, что есть в N NL ,R (C). Для сигаловых отображений Σ, которые даются вложениями : [] ˓→ [], положим * (0 → ...
→ ) = (′0 → ... → ′−1 → ) и воспользуемся универсальным свойством единицы → для того, чтобы показать, что это сопоставлениеуниверсально.Функтор : NL ,R (C) ⊂ N NL ,R (C) допускает левый сопряжённый , даваемый формулой(0 → ... → ) = ′0 → ... → ′−1 → (см. диаграмму (4.3.2 )). Мы видим, что ∘ ∼= id,и что опрасслоение * (E ≀ ) локально постоянно вдоль единицы сопряжения id → ∘ (чтосвязано с совместимостью E → C с дискретизацией), а потому мы получаем * (E ≀ ) ∼=* * * (E ≀ ).
По Лемме 4.0.5, — разрешение, а потому h* — эквивалентность, обратная кh* .Основной результат этой секции — следующаяТеорема 4.3.12. Пусть : (D, LD , RD , D ) → (C, LC , RC , C ) — морфизм дискретных факторизационных категорий, и E → C — модельное опрасслоение, совместимое с дискретизацией. Предположим, что : RD → RC — резольвента. ТогдаhF* : Ho DSectLC (C, E) → Ho DSect * LC (D, * E)— эквивалентность категорий.Доказательство. Следствие 4.3.6 и Лемма 4.3.11 говорят нам, что есть следующая, комму98тативная с точностью до изоморфизма, диаграмма категорийHo DSectLC (C, E)(︁)︁∼= * *CHo DSect* * (LC ≀) N(L(C),(E≀)C ,RC )h(N )*hF*?Ho DSect * LC (D, E)*∼=-?Ho DSect* * ( * LC ≀)(︁DN(L(D), * * ( * ED ,RD ))︁≀ ) .Поскольку (N )* * * (LC ≀ ) = * * ( * LC ≀ ), нужно доказать только одну вещь: чтофунктор h(N )* — эквивалентность.Опуская различные индексы, определим N (D)/ N (C) как категорию троек d, c, , гдеd ∈ N (D), c ∈ N (C) и : N ( )(d) → c — декартов подъём сюръективного отображения вΔ.
Докажем, что естественная проекция N (D)/ N (C) → N (C) — правая резольвента.Изучим слои (N (D)/ N (C)) (c) над c = 0 → ... → . Категория сюръекций [] =[0 + ... + ] [] естественно эквивалентна Δ+1 . Слой (N (D)/ N (C)) (c) — категория,расслоённая над Δ+1 .Имея объект c[] = 0 → ... → категории N (C), заметим, что поскольку все →+1 принадлежат к R , из подлежащие -морфизмы — изоморфизмы. А потому, если ∼=(, {, ..., }), c[] задаёт || цепочек морфизмов0 → ... → −1 → , ∈ .А потому естественно определить RD (c[] ) :=∏︀∈RD (0 → ... → −1 → ).
Будучи произведением стягиваемых категорий, эта категория стягиваема. Далее, имеем естественнуюпроекцию : (N (D)/ N (C)) (c[] ) → RD (c[] ), действующую следующим образом. Объект(N (D)/ N (C)) (c[] ) представляется сюръекцией : [0 + ... + ] [], и наборомd[0 +...+ ] = 00 → ... → 00 → 01 → ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
