Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137470), страница 17

Файл №1137470 Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра) 17 страницаДиссертация (1137470) страница 172019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Слой E ≀ над (, { }) даётся произведением слоёв∏︀∈E( ). Имеяотображение из (, { }) в(, {′ }), обозначенное через (, { }), соответствующий функтор∏︀∏︀перехода E ≀ (, { }) → E ≀ (, {′ }) даётся композицией ∈ E( ) → ∈ E( () ) →∏︀′∈ E( ), где первый функтор — проекция, а второй индуцирован с функторов перехода,! : E( () ) → E(′ ). Остальное очевидно.Можно потому рассматривать S ≀ -локально постоянные производные сечения модель­ного опрасслоения E ≀ → C ≀ .Предложение 4.3.3. Пусть C категория, S — изо-полная подкатегория, E → C — модель­ное опрасслоение.

Тогда функтор h * : Ho DSectS≀ (C ≀ , E ≀ ) → Ho DSectS (C, E) — эквива­лентность категорий. Более того, имея функтор : D → C, получаем коммутативнуюдиаграмму категорийhC* Ho DSectS (C, E)∼=h(F ≀ )*hF*??hD*Ho DSect * (S≀) (D ≀ , * E ≀ ) ∼Ho DSect * S (D, * E),=Ho DSectS≀ (C ≀ , E ≀ )(4.3.1 )где F ≀ — симплициальная замена ≀ , функторы C : C → C ≀ и D : D ≀ отвечаютвложениям, и обе горизонтальные стрелки — эквивалентности категорий.94Доказательство. Коммутативность диаграммы (4.3.1 ) легко проверить.

Докажем первуючасть предложения.Обозначим через * категорию отмеченных объектов (, ) в , с морфизмами, сохра­няющими отмеченные точки ∈ . Функтор забывания точки, : * → , — дискретноерасслоение. ОпределимC ≀ * := * (C ≀ ) как обратный образ C ≀ → вдоль . Индуцирован­ный функтор C : C ≀ + → C ≀ тогда также является дискретным расслоением. Мы такжеимеем функтор : C ≀ + → C, который действует, как проекция на слой над отмеченнымэлементом ∈ .

Функтор — предопрасслоение, слои которого −1 () имеют конечные объ­екты (, 1* ) где 1* — множество из отмеченной точки. Лемма 4.0.4 тогда даёт нам, что —резольвента.∼Пока что мы получили эквивалентность h* : Ho DSect(C, E) → Ho DSect(C ≀ + , * E).Осталось сравнить эту категорию с Ho DSect(C≀, E≀).

Вспомним о Лемме 1.2.6 и рассмотримпрямой образ C,* * E → C≀. Поскольку C — дискретное расслоение, опрасслоение C,* * E →C ≀ модельно. Более того, имеем декартову эквивалентность опрасслоений E ≀ ∼= C,* * E:взятие * отвечает постановке слоя в отмеченную точку, а применение C,* отвечает взятиюпроизведения по всем имеющимся точкам.Потому получаем Ho DSect(C ≀ , E ≀ ) ∼= Ho DSect(C ≀ , C,* * E). Можно проверить (вдухе Леммы 1.2.6), что Ho DSect(C ≀ , C,* * E) ∼= Ho DSect(C ≀ + , * E).Определение 4.3.4.

Пусть (C, L , R) — факторизационная категория. Её факторизацион­ный нерв — расслоение N(L ,R) (C) → Δ, определённое как фибрационная конструкция Гро­тендика[] ↦→ FunL ([], R)где FunL ([], R) — категория∙ с объектами, даваемыми функторами [] → C, которые пропускаются через R,∙ с естественными преобразованиями между этими функторами, поточечно лежащими вL.Слой N(L ,R) (C) → Δ над [] является потому категорией последовательностей 0 → ... → отображений в R, с морфизмами, даваемыми коммутативными диаграммами0L ∋∈ R-...′0∈ R-∈L∈ R- ′?... ,....?∈ R-95в которых вертикальные стрелки принадлежат к L . Имеются также декартовы отображе­ния, которые такие же, как и в обычном нерве категории.

Сопоставление 0 → ... → задаётфунктор C : N(L ,R) (C) → C.Лемма 4.3.5. Функтор C — левая резольвента.Доказательство. С помощью факторизационной системы (L , R) на C, мы видим, чтоC — предопрасслоение. А потому есть сопряжённая пара функторов между N(L ,R) (C)()∈Rи подкатегорией X комма-категории N(L ,R) (C)/ состоящей из пар (c[] , → ). Опреде­лим также X* , категорию, естественно расслоённую над категорией Δ* ⊂ Δ отображенийв Δ, сохраняющих конечный объект: слой X* ([]) состоит из всех R-сечений морфизмов0 → ...

→ [−1] → . Любое расслоение F → Δ* имеет свойство, что вложение F([0]) ˓→ Fдопускает сопряжённый. Легко видеть, что функтор Δ → Δ* , который добавляет последнийэлемент, приводит к сопряжённой паре функторов X X* . Учитывая, что X* ([0]) = {},получаем стягиваемость X.А потому наше предрасслоение C : N(L ,R) (C) → C имеет стягиваемы слои, и по Лемме4.0.4 получаем, что это — левое разрешение.Следствие 4.3.6. Пусть дано модельное опрасслоение E → C над факторизационной кате­горией (C, L , R), тогда функторhC* : Ho DSectL (C, E) → Ho DSectC* L (N(L ,R) (C), E)— эквивалентность категорий, функториальная по отношению к : D → C в том смысле,что диаграммаHo DSectL (C, E)h* Ho DSectC* L (N(L ,R) (C), E)∼=?h* *Ho DSect * L (D, E) ∼ Ho DSectD * L (N(LD ,RD ) (D), * E)=?*коммутативна.Рассмотрим факторизационную категорию (C, L , R), и возьмём сплетённое произведе­ние C ≀ .

Тройка (C ≀ , L , R ) — факторизационная категория, где L = L ≀ , а пра­вый класс R даётся всеми морфизмами (, { }), такими что обратимо, и все лежат вR ⊂ C. Обозначим через N N(L ,R) (C) := N(L ,R ) (C ≀ ), категорию, для которой есть проекцияC≀ : N N(L ,R) (C) → C ≀ .96Следствие 4.3.7. Пусть (C, L , R) — факторизационная категория, и E → C — модельноеопрасслоение. Тогда естественный функтор** (L ≀) (N N(L ,R) (C), (E ≀ ))Ho DSectL (C, E) → Ho DSectL ≀ (C ≀ , E ≀ ) → Ho DSectC≀— эквивалентность категорий.Определение 4.3.8.

Пусть (C, L , R) — факторизационная категория, и ∈ C. Назовём C-дискретной если функтор : → L = L ≀ , ↦→ (, {, ..., }),строго полный и допускает левый сопряжённый : L → .Дискретная факторизационная категория — набор (C, L , R, ) из факторизационнойкатегории (C, L , R) и ∈ C такого, что C — -дискретна. Морфизм : (D, LD , RD , D ) →(C, LC , RC , C ) между двумя дискретными факторизационными категориями состоит из фак­торизационного функтора , такого что (D ) = C и что морфизм замены базы для сопря­жённых пар D ⊣ D и C ⊣ C — изоморфизм.Определение 4.3.9.

Модельное опрасслоение E → C над дискретной факторизационнойкатегорией (C, L , R, ) называется совместимым с дискретизацией, если для всякого ∈C ≀ , функтор перехода,! : E ≀ () → E ≀ ( )— эквивалентность категорий.Достаточно проверять это условие для ∈ C ⊂ C ≀ .Определение 4.3.10. Пусть (C, L , R, ) — дискретная факторизационная категория.

Еёдискретизованный факторизационный нерв — полная подкатегория NL ,R (C) ⊂ N NL ,R (C),состоящая из 0 → ... → таких что : → — изоморфизм.Лемма 4.3.11. Естественный функтор NL ,R (C) → Δ — расслоение. Имея модельное опрас­слоение E → C, совместимое с дискретизацией, вложение : NL ,R (C) ⊂ N NL ,R (C) индуци­рует естественную эквивалентностьh* : Ho DSect * (L ≀) (N N(L ,R) (C), * (E ≀ )) → Ho DSect* * (L ≀) (N(L ,R) (C), * * (E ≀ )),где : N NL ,R (C) → C ≀ — функтор, определённый ранее.97Доказательство. Пусть дан 0 → ... → из N NL ,R (C). возьмём отображение → ипостроим следующую диаграмму0∈R ...L ∋∈ R-−1∈L...?′0∈R ...∈R ∈ R-?′−1∈ R-∈L(4.3.2 )? ,в которой каждый коммутативный квадрат строится, в порядке справа налево, с помощьюфакторизации, используя (L , R ), композиций −1 → → и −1 → → ′ (для1 ≤ ≤ − 1).Подобная факторизация позволяет доказать оба утверждения следующим образом.

На­помним, что имеется сигалова факторизационная система (A, Σ) на Δ. Мы видим, что функ­торы перехода для NL ,R (C) вдоль анкерных отображений A можно просто взять равнымитем, что есть в N NL ,R (C). Для сигаловых отображений Σ, которые даются вложениями : [] ˓→ [], положим * (0 → ...

→ ) = (′0 → ... → ′−1 → ) и воспользуемся уни­версальным свойством единицы → для того, чтобы показать, что это сопоставлениеуниверсально.Функтор : NL ,R (C) ⊂ N NL ,R (C) допускает левый сопряжённый , даваемый формулой(0 → ... → ) = ′0 → ... → ′−1 → (см. диаграмму (4.3.2 )). Мы видим, что ∘ ∼= id,и что опрасслоение * (E ≀ ) локально постоянно вдоль единицы сопряжения id → ∘ (чтосвязано с совместимостью E → C с дискретизацией), а потому мы получаем * (E ≀ ) ∼=* * * (E ≀ ).

По Лемме 4.0.5, — разрешение, а потому h* — эквивалентность, обратная кh* .Основной результат этой секции — следующаяТеорема 4.3.12. Пусть : (D, LD , RD , D ) → (C, LC , RC , C ) — морфизм дискретных фак­торизационных категорий, и E → C — модельное опрасслоение, совместимое с дискретиза­цией. Предположим, что : RD → RC — резольвента. ТогдаhF* : Ho DSectLC (C, E) → Ho DSect * LC (D, * E)— эквивалентность категорий.Доказательство. Следствие 4.3.6 и Лемма 4.3.11 говорят нам, что есть следующая, комму­98тативная с точностью до изоморфизма, диаграмма категорийHo DSectLC (C, E)(︁)︁∼= * *CHo DSect* * (LC ≀) N(L(C),(E≀)C ,RC )h(N )*hF*?Ho DSect * LC (D, E)*∼=-?Ho DSect* * ( * LC ≀)(︁DN(L(D), * * ( * ED ,RD ))︁≀ ) .Поскольку (N )* * * (LC ≀ ) = * * ( * LC ≀ ), нужно доказать только одну вещь: чтофунктор h(N )* — эквивалентность.Опуская различные индексы, определим N (D)/ N (C) как категорию троек d, c, , гдеd ∈ N (D), c ∈ N (C) и : N ( )(d) → c — декартов подъём сюръективного отображения вΔ.

Докажем, что естественная проекция N (D)/ N (C) → N (C) — правая резольвента.Изучим слои (N (D)/ N (C)) (c) над c = 0 → ... → . Категория сюръекций [] =[0 + ... + ] [] естественно эквивалентна Δ+1 . Слой (N (D)/ N (C)) (c) — категория,расслоённая над Δ+1 .Имея объект c[] = 0 → ... → категории N (C), заметим, что поскольку все →+1 принадлежат к R , из подлежащие -морфизмы — изоморфизмы. А потому, если ∼=(, {, ..., }), c[] задаёт || цепочек морфизмов0 → ... → −1 → , ∈ .А потому естественно определить RD (c[] ) :=∏︀∈RD (0 → ... → −1 → ).

Будучи про­изведением стягиваемых категорий, эта категория стягиваема. Далее, имеем естественнуюпроекцию : (N (D)/ N (C)) (c[] ) → RD (c[] ), действующую следующим образом. Объект(N (D)/ N (C)) (c[] ) представляется сюръекцией : [0 + ... + ] [], и наборомd[0 +...+ ] = 00 → ... → 00 → 01 → ...

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
836,6 Kb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее