Автореферат (1137469)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиБальзин Эдуард РафитовичРасслоения Гротендикаи гомотопическая алгебра01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чиселАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2016Работа выполнена на факультете математики Национального исследовательскогоуниверситета «Высшая Школа Экономики».доктор физико-математических наук,Научный руководитель:профессор РАНКаледин Дмитрий Борисович,ведущий научный сотрудник Математическогоинститута имени В. А. Стеклова РАН,кандидат физико-математических наукОфициальные оппоненты:Батанин Михаил Александрович,старший лектор математического факультетауниверситета Маккуори, Австралия;доктор физико-математических наукЯгунов Сергей Алексеевич,старший научный сотрудник отдела алгебры итеории чисел Санкт-Петербургского отделенияМатематическогоинститутаимениВ.А.Стеклова РАНФедеральноеВедущая организация:государственноеобразовательноеучреждениепрофессиональногообразованиябюджетноевысшего«Санкт—Петербургский государственный университет»(СПбГУ)Защита состоится 25 октября 2016 г.

в 15 часов на заседании диссертационного советаД002.077.03 на базе ИППИ РАН, расположенном по адресу: Большой Каретный переулок,д.19, стр.1, Москва, 127051.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИППИ РАН.Автореферат разослан «»2016 г.Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьбавысылать по вышеуказанному адресу на имя учёного секретаря диссертационного совета.Ученый секретарьдиссертационного совета,д.ф.-м.н.Соболевский Андрей НиколаевичОбщая характеристика работыАктуальность темы исследования, степень разработанностиФормализм операд [34] появился как способ описывать алгебраическую структуру —кратных пространств петель. Операдой O в категории топологических пространств Top на­зывается симметрическая последовательность пространств {O()}∈N , где каждое O() ∈ Topследует воспринимать как пространство операций с входами и одним выходом.

Вдобавокдолжны быть заданы отображения композиции O() × O() → O( + − 1) уважающие дей­ствие симметрической группы, ассоциативные и с единицами. Важный набор примеров опе­рад даётся так называемыми операдами маленьких -дисков E , для которых E () — с точ­ностью до гомотопии, конфигурационное пространство точек в -диске. Любое -кратноепространство петель является алгеброй над E , другими словами, заданы отображенияE () × → удовлетворяющие определённым условиям.Вместо категории топологических пространств можно рассмотреть произвольную сим­метрическую моноидальную категорию M с моноидальным произведением, обозначеннымчерез ⊗.

Определения операды и алгебры над ней легко обобщить: как в отображенияхкомпозиции, O() ⊗ O() → O( + − 1), так и в отображениях структуры O-алгебры,O() ⊗ ⊗ → , нужно вставить моноидальное произведение ⊗ вместо ×. В Top есте­ственно рассматривать операды и алгебры над ними с точностью до гомотопической экви­валентности. Если мы работаем в моноидальной категории M с заданной гомотопическойструктурой (например, M может быть моноидальной модельной категорией [24]), можнотакже изучать операды в M с точностью до слабой эквивалентности в смысле категорнойтеории гомотопий [15]. С этой точки зрения, в качестве операды в Top обычно обозначаемойкак E∞ можно взять любую операду O такую что O() стягиваемо со свободным действиемсимметрической группы [9, 11, 38].Конкретный пример категории, отличной от Top, даётся DVect , категорией цепныхкомплексов векторных пространств над полем .

Взяв сингулярный цепной комплекс каждо­го из пространств E (), составляющих операду -дисков, мы получим операду в DVect ,обозначаемую нами E . Алгебры над операдами E изучались с большим интересом в послед­ние годы. Примером E2 -алгебры является когомологический комплекс Хохшильда ∙ ()для -алгебры , который появляется во многих областях математики, например в кон­тексте топологических квантовых теорий поля [14]. Проблема существования структурыE2 -алгебры на ∙ () также известна как гипотеза Делиня, и чёткая её формулировка даёт­3ся с точностью до квази-изоморфизма: существует операда O в DVect , квази-изоморфнаяE2 , которая действует на ∙ ().

Доказательства этого результата (см., например, [8, 32, 39])состоят из большого количества работы по конструированию явной версии O, её действия на ∙ (), и цепочки квази-изоморфизмов, соединяющих O с E2 .Громоздкость доказательств гипотезы Делиня и формализма операд вообще происходитиз того факта, что две операды могут быть очень разных сложности и размера, и при этомописывать эквивалентные структуры.

Однако, существует другой подход к E -алгебрам, и,более общо, к структурам, связанным с конфигурационными пространствами, который осно­ван на формализме факторизационных алгебр, впервые введённых в [7]. Факторизационнаяалгебра A над пространством состоит из, грубо говоря, DVect -предпучка A на длякаждой степени ∈ N, вместе с дополнительной структурой.

Во-первых, даны отображениявида∆* A −→ A1(i)между ограничением ∆* A of A на самую малую диагональ ∆ : → и A1 . Вовторых, если обозначить через : ⊂ дополнение {( ) ∈ | ̸= } до всехдиагоналей, то должны быть заданы отображения* A −→ A1 ... A1(ii)между ограничением A на и -кратным внешним произведением A1 [7], от которыхтребуется, чтобы они были квази-изоморфизмами. В случае, когда это -диск, можнодоказать [31], что E -алгебры отвечают тем факторизационным алгебрам на , которыеконструктивны, что означает что каждый предпучок A локально постоянен на стратах длястандартной стратификации .Можно утверждать, что понятие факторизационной алгебры более естественно и кано­нично в сравнении с понятием алгебры над операдой.

Разница между двумя подходами осо­бенно заметна в малой размерности, например, в размерности 2. В этом случае можно заме­нить 2-диск и его степени на их стратифицированные [43] фундаментальные категорииΠ1 ( ), и рассмотреть, вместо конструктивных пучков, функторы Π1 ( ) → DVect .Таким образом, можно работать с куда меньшим набором данных, чем с парой, состоящееиз операды O, квазиизоморфной E2 , и O-алгебры. Это приводит к вопросу о том, существуетли общий «алгебро-гомотопический» формализм, который не имеет проблем неканонично­сти, связанных с выбором операды, и естественно воспроизводит подход факторизационныхалгебр к разного рода алгебраическим структурам.4В контексте пространств петель, подобный подход действительно существует и очень по­лезен на практике [37].

Обозначим через Γ категорию конечных множеств и их отображений,а через Γ+ категорию конечных множеств и частично определённых отображений: морфиз­мом → в Γ+ является отображение множеств, → определённое на подмножестве ⊂ . Тогда Γ-пространство определяется как функторΓ+-Topв категорию топологических пространств, который удовлетворяет условиям Сигала, описан­ным ниже. Зафиксируем одноэлементное множество 1. Тогда для любого множества иэлемента ∈ мы имеем соответствующее частично определённое отображение : → 1,заданное на подмножестве {}. Условия сигала заключаются в том, что, для каждого ∈ Γ* ,индуцированное отображение∏︀()∈( )-(1)(iii)является гомотопической эквивалентностью топологических пространств.Для каждого ∈ Γ+ есть ещё одно отображение в 1, : → 1, определённое на всёммножестве .

Мы можем рассмотреть диаграмму следующего вида()∈ ( )( )(iv)-∏︀(1)(1).Выбирая гомотопически обратный морфизм к левому отображению, мы получаем, некано­нически, операцию умножения : (1) → (1) in Top. Можно проверить, что в гомотопи­ческой категории Ho Top, тип, соответствующий (1), оснащён структурой коммутативногомоноида.Следует заметить, однако, что Γ-пространство несёт в себе значительно больше ин­формации, нежели чем структура гомотопического моноида на (1). В своей работе Сигал,точно так же как Мэй в случае с операдами, использовал Γ-пространства для описания бес­конечнократных пространств петель и машины распетливания. С современной точки зрения,Γ-пространство является правильным описанием гомотопически когерентно коммутативногомоноида в топологических пространствах. В частности, Γ-пространства описывают тот жекласс структур, что и E∞ -алгебры в Top.Вместо Γ можно рассмотреть другие категории, например, категорию O конечных пол­ностью упорядоченных множеств.

Можно затем похожим образом определить категорию O+ ,с отображениями → ′ даваемыми морфизмами → ′ , где ⊂ — вложение интерва­ла. Модифицируя определения надлежащим образом, можно моделировать ассоциативные5моноиды (без коммутативности) как функторы O+ → Top со специальными условиями.Явные примеры таких функторов можно получать из обычных пространств петель. Болееобщо, можно рассмотреть, вместо Γ и O, операторную категорию C в смысле [6]: с точно­стью до некоторых условий конечности, в C, по определению, существует конечный объект1 и выделенный класс «допустимых» мономорфизмов, которые получаются как композицииобратных образов отображений 1 → для ∈ C (требуется, чтобы эти обратные образысуществовали).

С помощью допустимых мономорфизмов можно ввести понятие частичноопределённых отображений и построить категории C+ (которые в основном тексте мы обо­значаем AC ). В работе [6] показано, что существуют операторные категории O , такие что-кратные пространства петель — примеры E -алгебр — могут быть описаны как сигалопо­добные объекты (O )+ → Top. С другой стороны, вместо Top можно рассмотреть любуюдругую гомотопическую категорию, то есть, категорию M с подкатегорией слабых эквива­лентностей W, такую что M имеет (гомотопические) произведения, и определить объектыСигала как функторы C+ → M, такие что отображения, подобные описанным в диаграмме(iii), являются слабыми эквивалентностями.Подход Сигала контрастирует с операдным в том, что умножения : (1) → (1) дляΓ-пространства не заданы канонически и вместо этого строятся с помощью свойств , в товремя как задать модель O для E∞ -операды в Top и алгебру над ней значит задать большоеколичество разных структур.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации