Главная » Просмотр файлов » Автореферат

Автореферат (1137469), страница 2

Файл №1137469 Автореферат (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра) 2 страницаАвтореферат (1137469) страница 22019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В частности, для ||-элементного множества не требуется,чтобы () было равно или даже эквивалентно O(||) × (1) . Информация о свойствахумножения в формализме Сигала кодируется, таким образом, целиком и полностью катего­рией Γ, так что для выбора остаётся куда меньше свободы. Можно было бы надеяться, что внекоторых ситуациях намного проще строить и работать с сигаловыми структурами, нежеличем с операдами. Более того, имеется значительное сходство между Γ-пространствами Сига­ла и факторизационными алгебрами: для факторизационной алгебры A, отображения вида(i) и (ii) дают, после перехода к слоям, диаграммы, в точности подобные (iv).Тем не менее, если мы попробуем продолжить формализм Сигала в недекартовы моно­идальные категории, например в категорию цепных комплексов, то мы немедленно попадёмв тупиковую ситуацию. Чтобы получить отображения вида (iii) в подходе Γ-пространств, мыиспользовали универсальное свойство декартового произведения ×, которое отсутствует длятензорного произведения ⊗ в DVect .Человечеству известен способ справиться, а точнее, уйти от этой проблемы.

Весьма из­вестное наблюдение [31, 37, 41] говорит нам о том, что всякая симметрическая моноидальнаякатегория M является слабо коммутативным моноидом в категории всех категорий, а зна­6чит, её можно описать, с точностью до эквивалентности, как Γ-категорию . То есть, —функтор из Γ+ в категории, такой что (1) ∼= M, и что отображения (iii), () −→∏︁ (1),являются эквивалентностями категорий. Для того чтобы не выбирать эквивалентность меж­ду M и (1), необходимо либо работать с псевдофункторами из Γ+ в категории, либо, чтоэквивалентно, с опрасслоениями Гротендика [19, 42] над Γ+ : каждое из понятий описываетслабое ковариантное Γ+ -индексированное семейство категорий.Для того чтобы [31] непосредственно получить опрасслоение Гротендика из симметри­ческой моноидальной категории M с моноидальным произведением ⊗, определим M⊗ каккатегорию∙ с объектами (, { }∈ ) где ∈ Γ+ и каждый является объектом M.∙ с морфизмами (, { }∈ ) → (, { }∈ ) состоящими из частично определённого отоб­ражения : → , и для каждого ∈ , морфизма ⊗∈ −1 () → .

В случае, когда −1 () пусто, моноидальное произведение над этим множеством равно единичному объ­екту. Композиции тогда можно определить с помощью изоморфизмов когерентностидля произведения ⊗ : M × M → M и единичного объекта.Естественный функтор : M⊗ → Γ+ — опрасслоение Гротендика, что, повторим, озна­чает, что отображение ↦→ −1 () = M функториально в слабом, но когерентном смысле.Рассмотрим коммутативный моноид ∈ M. Тогда можно задать сечение Γ+ → M⊗опрасслоения : M⊗ → Γ+ по правилу ↦→ (, { }), так что каждый = .

Сеченияэтого типа могут быть охарактеризованы посредством подходящих условий нормировки: еслирассмотреть отображение : → in Γ+ , значение сечения на определяется морфизмом! () → ( ) в M , где ! : M → M — функтор «перехода»! : (, { }∈ ) ↦→ (, { }∈ ), = ⊗∈ −1 .(v)В таком случае, сечение происходит из коммутативного моноида в M тогда и только тогда,когда для каждого инертного отображения : → , — частично определённого отображе­ния, индуцированного вложением : ˓→ , ∘ = , — соответствующее отображение! () → ( ) — изоморфизм. Отсюда следует, что () ∼= ((1), ...(1)) естественнымобразом.Нет, однако, очевидного способа написать диаграммы для условий сигала, используяязык сечений опрасслоения M⊗ → Γ+ . Очень важно заметить, что когда M = DVect и7ℎ > 0, коммутативные -алгебры (которые описываются как сечения) не являются вер­ными объектами для рассмотрения и не совпадают, даже с точностью до квази-изоморфизма,с E∞ -алгебрами.

Наконец, можно проверить, что операторные категории в смысле [6], отве­чающие E -структурам, не дают ничего большего, чем коммутативные или ассоциативныеалгебры в M, будучи рассмотренными в контексте категорных сечений.Вышеописанные наблюдения мотивируют [31] перейти к рассмотрению моноидальных∞-категорий, и в то время как получающийся формализм в принципе решает упомянутыепроблемы, размеры получающейся машинерии огромны.

Философским объяснением этогофакта может быть то, что замена M⊗ → Γ+ на высшекатегорный аналог означает взятиефибрантной замены внутри выбранной модели для высших категорий. Получающиеся в ре­зультате соотношения когерентности могут быть очень сложны для того, чтобы с ними ра­ботать.Цели и задачи диссертацииНаша основная цель — получить сигалово описание алгебраических структур, не меняяданных со стороны M. Мы бы предпочли иметь объект, который производит диаграммы вM следующей формы:(vi)(1) ∼= ( )! ()-(1),где ( )! — функтор перехода вдоль отображения : → 1, −1 (1) = . Можно затемпотребовать, чтобы левое отображение было слабой эквивалентностью, в случае если такиеесть в M. В большей общности, вместо M⊗ → Γ+ можно рассмотреть общие опрасслоенияГротендика E → C и задаться вопросом: есть ли способ определить объекты, такие что поотображению : → ′ в C мы бы получали диаграммы формы ! () ←− −→ (′ ) (где! : E() → E(′ ) — функтор перехода, индуцированный свойствами опрасслоения E → C).Тогда можно было бы потребовать, чтобы левая стрелка была слабой эквивалентностью, вподходящем смысле.

Наконец, условия нормировки (подобные тем, что появлялись для сече­ний-алгебр выше) вдоль подмножества S отображений C можно было бы сформулировать кактребования для −→ (′ ) быть слабой эквивалентностью в случае, когда принадлежитS.В рамках данной диссертации мы вводим производные, или сигаловы, сечения опрассло­ений со слабыми эквивалентностями, которые воспроизводят, в частности, диаграммы вида8(vi).Опишем вкратце конструкцию.

Для категории C, её симплициальной заменой [12] Cназовём категорию∙ объекты которой — наборы компонируемых морфизмов 0 → ... → в C произвольнойконечной длины ≥ 0,∙ морфизм между 0 → ... → и ′0 → ... → ′ состоит из отображения ординалов : [] → [] (где [] обозначает полностью упорядоченное множество из + 1 элементов0, 1, ..., ) такого что () = ′ для 0 ≤ ≤ .Если обозначить через ∆ категорию конечных ординалов, тогда C — (опфибрационная)конструкция Гротендика нерва C : ∆op → Set.

Отображения (0 → ... → ) ↦→ 0 или(0 → ... → ) ↦→ задают функторы ℎ : C → C и : C → Cop .Предположим теперь, что у нас есть опрасслоение : E → C. Также предположим, чтокаждый его слой E() := −1 () имеет слабые эквивалентности, и что, для каждого отоб­ражения : → ′ , функтор ! : E() → E(′ ), индуцированный свойством опрасслоения,сохраняет эти слабые эквивалентности. Тогда существует функтор C : E → C, такой что′∼E(c[] ) := −1C (c[] ) = E( ), и что для каждого : c[] → c[] существует естественно инду­цированный функтор E(c′[] ) → E(c[] ), изоморфный ()! : E(′ ) → E( ). В отличие от ,функтор C — расслоение Гротендика и описывает контравариантное семейство категорийнад C.Определим предсечение : E → C как сечение : C → E функтора C .

Предсеченияобразуют категорию PSect(C, E), которая естественно оснащена слабыми эквивалентностями.Предсечение , действуя на диаграмме вида → ′(vii)-′ ,даёт следующую диаграмму в E(′ ):( → ′ )(′ ).! ()Если левая стрелка в этой диаграмме, и, более общо, другие стрелки, получаемые примене­нием к сигаловым отображениям — морфизмам в C, индуцированным вложениями в ∆9на левый край, — в изоморфизмы, то можно доказать, что определяет обычное сечениеC → E исходного опрасслоения : E → C. Если же отправляет сигаловы отображенияв слабые эквивалентности, то мы называем такое предсечение производным сечением.Производные сечения опрасслоения E → C образуют категорию DSect(C, E) ⊂ PSect(C, E) синдуцированными слабыми эквивалентностями.Основные результаты диссертации, выносимые на защиту1.

Модельная структура Риди для полурасслоенийДля того чтобы работать с категорией DSect(C, E) или даже с PSect(C, E) гомотопиче­ским образом, необходимо иметь дополнительную структуру, например, модельную структу­ру в смысле Квиллена [35, 24, 20], или же разумное вложение в модельную категорию.Во-первых, необходимо иметь какую-то структуру на опрасслоении E → C. Мы пред­положим, что каждый слой E() — модельная категория, и что каждый функтор перехода! : E() → E(′ ) сохраняет фибрации и слабые эквивалентности.

Назовём такие опрасслоениямодельными. Тогда имеем следующее ([2, Теорема 10]):Теорема 1. Для модельного опрасслоения E → C, соответствующая категория предсече­ний PSect(C, E) обладает модельной структурой, со слабыми эквивалентностями заданны­ми поточечно.Модельная структура, даваемая этой теоремой, очень конкретна и напоминает во мно­гом обычную структуру Риди.Пример модельного опрасслоения даётся DVect⊗ → Γ+ : функторы перехода в этойситуации задаются, по существу, -кратными тензорными произведениями ⊗ : DVect →DVect , которые сохраняют сюръективные отображения и квази-изоморфизмы, но не ком­мутируют с пределами или копределами, будучи полилинейными по своей природе.

По этойпричине, техники для работы с семействами модельных категорий, разработанные ранее(например, [21]), оказываются неприменимы для предсечений.Таким образом, PSect(C, E) — модельная категория, и её локализация Ho PSect(C, E)вдоль слабых эквивалентностей хорошо контролируема. То же самое потому верно для ло­кализации Ho DSect(C, E). Мы не утверждаем существования модельной структуры на кате­гории DSect(C, E), и не видим причин ожидать её существования.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
377,84 Kb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6310
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее