Диссертация (1137470), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть — алгебра в M. Тогда её образ ¯ под действием вложенияSect(AC , E) → DSect(AC , E)— производная алгебра, так что для всякого анти-сигалова морфизма : c[] → c′[] с¯отображениями −1 → , 1 ≤ ≤ − , лежащими в C , образ ()— изоморфизм.Доказательство. Очевидно.Обозначим через DAlg(C, M) полную подкатегорию DSect(AC , M⊗ ), состоящую из производных алгебр. Так же, как и в Лемме 3.2.8, имеем, что всякое предсечение, эквивалентное производной алгебре, само является производной алгеброй.
Потому получаем корректноопределённую полную подкатегориюHo DAlg(C, M) = Ho DSectC (AC , M⊗ ) ⊂ Ho DSect(AC , M⊗ ).5.3. Резольвенты операторных категорийОпределение 5.3.1. Операторный функтор : D → C называется (левой, правой) резольвентой если это — (левая, правая) резольвента в смысле Определения 4.0.2, и вдобавокD(1, ) ∼= C(1, ) для всякого ∈ D.Пусть — морфизм в AD , такой что A ( ) лежит в C , тогда можно факторизовать как ℎ так что ℎ лежит в D и A () — изоморфизм.
А потому запишем следующееопределение.106Определение 5.3.2. Пусть : D → C — операторный функтор и M — C-моноидальнаямодельная категория. Производное сечение ∈ DSect(AD , M⊗ ) — -локально постояннаяпроизводная алгебра, если оно A* (C )-локально постоянное производное сечение в смыслеОпределения 4.0.8.Обозначим через DAlg (D, M) категорию DSectA* (C ) (AD , M⊗ ) -локально постоянныхпроизводных алгебр над D. Обозначая через A симплициальную замену A , мы получаеместественно индуцированный функтор обратного образа A* : DAlg(C, M) → DAlg (D, M).Теорема 5.3.3.
Пусть : D → C — резольвента операторных категорий, и M — C моноидальная модельная категория. Тогда функторhA* : Ho DAlg(C, M) → Ho DAlg (D, M)— эквивалентность категорий.Доказательство. Воспользуемся Теоремой 4.3.12, проверив, что все условия выполнены.Для операторной категории C, её классификатор алгебр AC дискретная факторизационнаякатегория для выбора дискретизующего объекта = 1 ∈ C ⊂ AC . Соответствующее вложение : ˓→ C ≀ строго полно. Его левый сопряжённый задаётся на объектах C ⊂ C ≀ как () = C(1, ), и затем естественно продолжается на всё C ≀ . Любой операторныйфунктор : D → C индуцирует функтор дискретных операторных категорий. Наконец,совместимость M⊗ → AC с дискретизацией ровно означает условия Сигала (5.2.1 ) для M⊗ .Предложим критерий проверки того, что функтор между операторными категориями— разрешение.Определение 5.3.4.
Операторная категория C называется ограниченной, если для всякого ∈ C, множество классов изоморфизмов объектов в C / конечно.Определение 5.3.5. Пусть C — ограниченная операторная категория. Допустимый мономорфизм называется элементарным, если его нельзя разложить в композицию допустимыхмономорфизмов. Объект ∈ C называется элементарным, если единственный элементарныйдопустимый мономорфизм в C / — .Лемма 5.3.6.
Пусть C — ограниченная операторная категория. Тогда∙ для всякого ∈ C, решётка C / допускает начальный объект → , такой что — элементарен,107∙ всякий допустимый мономорфизм ′ → факторизуется в цепочку ′ → 0 → ... → элементарных допустимых мономорфизмов.В частности, в такую композицию можно разложить → .Доказательство. Категория C допускает конечные расслоённые произведения допустимыхмономорфизмов. Рассматривая категорию C / для ∈ C, возьмём мономорфизм-представитель каждого объекта, и рассмотрим расслоённое произведение этих морфизмов.
Этобудет искомый допустимый моно ˓→ . Доказательство второго утверждения аналогично.Пусть : D → C — операторный функтор. Для : 1 → 2 и , () ∼= 2 , обозначимчерез (, ) слой D(1 → 2 ) → D(2 ) над .Предложение 5.3.7. Пусть : D → C — операторный функтор, такой что D(1, ) ∼=C(1, ()) и C — ограниченная операторная категория. Перечислим следующие условия.1. Для всякого : 1 → 2 в C с элементарным 1 , и для всякого с () ∼= 2 , категория (, ) -подъёмов стягиваема.2. Для всякого элементарного допустимого моно : 1 → 2 и любого , () ∼= 2 ,категория (, ) стягиваема,3. Для всякого : 1 → 2 в C и 2 , (2 ) ∼= 2 , любого элементарного допустимого моно0 : 0 → 1 и любого морфизма : 0 → 2 с () ∼= ∘ 0 , категория(, 0 , ) := {1 , 0 : 0 → 1 , 1 : 1 → 2 | (1 ) ∼= 1 , (0 ) ∼= 0 , (1 ) ∼= , 1 0 = }всех возможных факторизаций стягиваема.Если удовлетворяет перечисленным условиям, то он — правая резольвента.Доказательство.
Поскольку обе категории D и C имеют конечные объекты, стягиваемостьD() эквивалентна стягиваемости ( → 1C , 1D ). Потому достаточно доказать, что (, )стягиваемо для всякого : 1 → 2 и ∈ D(2 ).Пусть : 1 → 2 — отображение, и 0 : 0 → 1 — элементарный допустимый моно. Для0 ∈ D(2 ), определим (0 , 1 , ) как слой функтора D(0 → 1 → 2 ) → D() над . Имеетсядва очевидных отображения (, ) ← (0 , , ) → ( ∘ 0 , ).108Левое отображение — опрасслоение со слоями (0 , ′ ) для некоторых ′ ∈ D(1 ), которые стягиваемы в силу (2) поскольку 0 элементарен. Правое отображение — расслоение (мы сохра 0няем конечный объект ), со слоями, даваемыми (0 , , ) для некоторого ∈ D(0 → 2 ),которые стягиваемы по (3). По теореме Квиллена А, получаем, что (, ) гомотопическиэквивалентно ( 0 , ).
Наконец, условие ограниченности на C и Лемма 5.3.6 дают то, чтомы можем найти элементарный объект 1 с допустимым мономорфизмом : 1 → 1 , который разлагается в цепочку элементарных допустимых моно. Потому получаем, что (, )гомотопически эквивалентно ( ∘ , ). Последняя категория стягиваема в силу (1).5.4. Планарные деревья5.4.1. ОпределениеОпределение 5.4.1.
Планарным деревом, или просто деревом , называется неориентированный конечно представимый граф без петель и с одной отмеченной вершиной валентности 1, называемой корнем, так что для каждой вершины , имеется циклический порядокна множестве рёбер, присоединённых к .Обозначение 5.4.2. Для дерева , обозначим через ( ) множество всех вершин, а через ( ) — множество всех рёбер. Обозначим также через ( ) множество всех вершин,кроме корня, и через ( ) — множество всех рёбер, не присоединённых к корню.
Условиеконечной представимости для значит, что все вышеописанные множества конечны. Наконец, предположение циклического порядка для всякой вершины ∈ ( ) превращает вориентированный граф: все рёбра ориентированы в сторону корня, так что всякая вершинавалентности + 1 имеет входящих и 1 исходящее ребро.Обозначим через | | ∈ Top геометрическую реализацию графа . Это — ориентированный клеточный комплекс с естественным понятием геодезической между двумя точками.Определение 5.4.3. Морфизмом планарных деревьев : → ′ называется ориентированное клеточное отображение | | : | | → | ′ | сохраняющее корни, так что для любых двухвершин , и любой геодезической, соединяющей и в | |, её | |-образ — геодезическая,соединяющая | |() и | |().Для всякой вершины дерева , мы будем далее писать () вместо | |().
По определению, ( ) = ′ .Обозначим через Map(, ′ ) ∈ Top подпространство Map(| |, | ′ |) (с компактно-открытой топологией), точки которого — морфизмы планарных деревьев. Пространство Map(, ′ )109не является связной компонентой Map(| |, | ′ |): пути в Map(, ′ ) отвечают гомотопиям клеточных отображений | | → | ′ |, которые остаются морфизмами планарных деревьев длявсякого значения параметра.Определение 5.4.4. категория некрашеных, или немаркированных планарных деревьев T0определяется как категория деревьев Определения 5.4.1 с морфизмами, даваемыми компонентами связности, T0 (, ′ ) = 0 Map(, ′ ).Лемма 5.4.5. T0 — операторная категория.
Более того, существуют обратные образывдоль морфизмов вида 1 → , где 1 (исключительно) обозначает дерево с корнем и однойнекорневой вершиной .Доказательство. Конечный объект 0 ∈ T0 — дерево, состоящее из одного лишь корня. Этотакже и начальный объект.Опишем обратные образы вдоль 1 → , случай 0 → T можно изучить похожим образом.Рассмотрим инъекцию : 1 → , которая определяется образом = () в ( ). Чтобыпостроить декартовы диаграммы вида −1 ()-′?1-?заметим, что −1 () можно описать как взятие “короны” в ′ , натянутой на все вершины ∈ ( ′ ), отображаемые в , все геодезические ′ , соединяющие эти вершины, и превращаявсё это в дерево посредством присоединения ребра-“ствола”, идущего в корень.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
