Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137470), страница 20

Файл №1137470 Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра) 20 страницаДиссертация (1137470) страница 202019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Рассмотримтеперь диаграмму ′′-ℎ- ?.?1′Все вершины в ∈ ( ′′ ), такие что () = , отправятся с помощью в корону, ис­пользованную в определении −1 (); легко видеть, что имеем единственную факторизацию ′′ → −1 ().Несложно видеть, что T0 тривиальна как операторная категория, но при этом вышеопи­санный объект 1 представляет интерес.

Потому нам нужна другая операторная категория,которую можно связать с B.110Определение 5.4.6. Крашеное, или маркированное планарное дерево — пара (, ) из ∈T0 и ⊂ ( ). Мы называем вершины в маркированными (или крашенными), а те, чтолежат в ( ) ∖ немаркированными (или неокрашенными).Маркированное планарное дерево — стабильно (ср. [27]) если всякая немаркированнаявершина имеет валентность как минимум 3.Определение 5.4.7. Категория маркированных деревьев T определяется следующим об­разом.

Объект T — маркированное планарное дерево (, ). Отображение (, ) → ( ′ , ′ )состоит из морфизма : → ′ в T0 такого что отображение ( ) → ( ′ ), индуцирован­ное , посылает в ′ . Обозначим через Γ : → ′ индуцированное отображение конечныхмножеств.Категория стабильных маркированных деревьев — полная подкатегория T ⊂ T , обра­зованная стабильными маркированными деревьями.Лемма 5.4.8.

Функтор вложения T ˓→ T допускает правый сопряжённый , тожде­ственный на отмеченных вершинах. Назовём : (, ) ↦→ (, ) функтором стабилизации.Доказательство. Пусть (, ) — необязательно стабильное маркированное дерево. Уберёмвсе немаркированные вершины валентности 1 и все рёбра, к ним прилегающие. Уберём за­тем все вершины валентности 2 и отождествим два ребра, встречающихся в каждой такойвершине. Эта процедура задаёт функтор .Следствие 5.4.9. Для (, ) стабильного маркированного дерева, имеем (( ), ) ∼= (, ).Сопоставление (, ) ↦→ (( ), ) сохраняет пределы.Доказательство.

Очевидно.Лемма 5.4.10. Категории T и T — операторные категории.Доказательство. Конечный объект 1 в обеих категориях — дерево с одним ребром и однойотмеченной вершиной. Пределы в T считаются так же, как в T0 , а в случае с T нужнодополнительно применить функтор стабилизации.5.4.2. Деревья как резольвента BОбозначим через единичный диск с выделенной точкой 1 на границе.111Определение 5.4.11. Пусть ∈ T0 — планарное дерево. Вложением называется инъек­тивное непрерывное отображение : | | ˓→ , которое переводит корень в 1.Замечание 5.4.12. Имея вложение : | | → , можно разрезать диск вдоль образа .Поскольку | | стягиваемо, результат разрезания ∖ (| |) конформно эквивалентен .Лемма 5.4.13.

Пространство Emb(, ) вложений дерева в стягиваемо.Доказательство. Индукция по числу вершин, с очевидной базой. Индуктивный шаг даётсявзятием дерева , выбрасыванием внешней вершины и присоединённого ребра; обозначимассоциированное поддерево ∖ ⊂ . Соответственно, получаем отображение Emb(, ) →Emb( ∖ , ) (которое, по факту, расслоение Серра), и изучим его слои, что отвечает добав­лению вершины с её ребром. Разрезая вдоль ∖ , видим, что слои эквивалентны , апотому стягиваемы.Определение 5.4.14.

Пусть , ′ ∈ T0 , морфизмом между двумя вложениями : | | → и : | ′ | → называется пара из отображения : → ′ в T0 и непрерывного отображения(| |) = (| | × [0, 1]) ∪| | | ′ | → из цилиндра отображения | | : | | → | ′ | в , котороесовпадает с и по обоим концам [0, 1] и вложение, сохраняющее корень, для всех значений[0, 1].Рассматривая вложения с точностью до гомотопии, обозначим через T̃0 категорию вло­жений немаркированных деревьев, а через T̃ — категорию вложений стабильных маркиро­ванных деревьев.Лемма 5.4.15.

Естественные функторы T̃0 → T0 и T̃ → T — эквивалентности катего­рий.Доказательство. По Лемме 5.4.13, слои этих функторов-изорасслоений — стягиваемыегруппоиды.Можно также рассмотреть функтор T̃ → B, который отправляет (, , : | | → ) вконфигурацию точек, отвечающую применению к . Обращая эквивалентность T̃ → T,получаем операторный функтор сравнения : T → B.Теорема 5.4.16. (ср. [26, 27]) Функтор — резольвента операторных категорий.Доказательство. Очевидно, что всё согласовано на уровне элементов.

Воспользуемся крите­рием из Предложения 5.3.7. Легко видеть, что B ограничена, и что элементарные морфизмыотвечают удалению точки. Проверим необходимые условия.1121. Очевидно: элементарный объект в B — пустая конфигурация.2. Для всякого допустимого моно : (1 : ˓→ ) → (2 : ′ ˓→ ) в B и ∈ T(2 ),категория (, ) допускает конечный объект, даваемый удалением всех вершин ,отвечающих ′ ∖ (), и затем применением функтора стабилизации Леммы 5.4.8.3. Рассмотрим функторы B → Γ и T → Γ и изучим категории совместимых факторизацийдля каждого из функторов.0Допустим, что задана пара 0 ˓→ 1 → 2 с элементарной левой стрелкой, что отвечаетзабыванию точки ∈ . Категория B (, 0 , ) всех возможных совместимых фактори­заций : 0 → 2 эквивалентна Π(∖ ′ ), где ′ = {′ ∈ 0 | (′ ) = ()}: нужно добавитьточку к 0 , и её образ под действием должен в точности совпадать с образом точекподконфигурации в 0 , отвечающей ′ (см Замечание 5.1.5).Для T, мы видим, что картина следующая.

Для отображения ℎ : 0 → 2 , накрыва­ющего ∘ 0 , возьмём вложение ℎ в T̃ и рассмотрим круг в ? окружающий точки,отвечающие ′ , вместе с частью |0 |, так что эта часть — поддерево. Изучим возможныедобавления вершины и ребра к этой части, с точностью до гомотопии. Эти добавления(ср [27, page 29]) могут происходить четырьмя способами: маркировка ранее немаркиро­ванной точки, маркировка ребра, добавление ребра вместе с маркированной вершинойк другой вершине, добавление ребра с маркированной вершиной к середине другогоребра. Можно проверить, что категория T (, 0 , ℎ) отвечает клеточному разбиению ∖ ′ .

А потому, по теореме Ван Кампена, T (, 0 , ℎ) и B (, 0 , ) гомотопическиэквивалентны.5.5. Бимодульное опрасслоениеКомпозиция T → B → Γ естественно изоморфна функтору T(1, −). Можно исполь­зовать любой из них для взятия обратного образа DVect⊗ → AΓ , получая модельнуюT-категорию DVect⊗ → AT . Покажем, как построить производное сечение этого опрасслое­ния, связанное с -алгеброй над .Для ∈ T0 и ∈ ( ), обозначим через () число входящих вершин, равное валент­ности минус 1.Определение 5.5.1. Пусть M — представимая модельная категория с моноидальным произ­ведением, сохраняющем копределы по каждому аргументу.

Ассоциированным T0 - эндофунк­113торным опрасслоением, обозначаемым через EndT0 (M) → AT0 , называется опрасслоение,∙ слои в котором —EndT0 (M)( ) ∼=∏︁Fun (M() , M),∈ ( )где Fun (M() , M) — категория мультифункторов M() → M, сохраняющих копреде­лы по каждой переменной, так что Fun (M() , M) = M когда () пусто,∙ функторы перехода в котором заданы следующим образом. Для стягивания ребра ∈( ), обозначаемого через → ∖, соответствующий функтор переходаEndT0 (M)( ) → EndT0 (M)( ∖)отвечает композиции мультифункторов вдоль . Вдоль вложений ˓→ ′ в T0 , функ­торы перехода∏︁∏︁Fun (M() , M) →∈ ( )Fun (M() , M),∈ ( ′ )⊗отвечают вставлению ()-кратных моноидальных произведений M() → M для ∈ ( ′ ) ∖ ( ) (пустое моноидальное произведение — единичный объект), и действиевдоль инертных морфизмов даётся проекциями вместе с подстановкой единичных объ­ектов там, где это необходимо.Как отмечено в определении, категория Fun (M , M) допускает выделенный элемент,даваемый -кратным моноидальным произведением ⊗ .Лемма 5.5.2.

Сопоставление ↦→ {⊗() }∈ ( ) ∈∏︁Fun (M() , M)∈ ( )задаёт сечение 1⊗ ∈ Sect(AT0 , EndT0 (M)).Используя функтор забывания : T ⊂ T → T0 , применим обратный образ и полу­чим 0 : * EndT0 (M) → AT . Определим затем категорию EndT (M) следующим образом.Объект категории * EndT0 (M) такой что 0 = (, ) ∈ A представляется своими ком­понентами ∈ Fun (M() , M) для каждого ∈ ( ).

Возьмём EndT (M) равной категории ∈ * EndT0 (M) вместе с изоморфизмами ∼= (1⊗ ) для ∈ ( )∖, с морфизмами, дава­емыми отображениями в * EndT0 (M), уважающими эти данные. Индуцированный функтор : EndT (M) → AT , как можно видеть, остаётся опрасслоением.114Определение 5.5.3. Назовём : EndT (M) → AT T-эндофункторным опрасслоением, свя­занным с M.Пусть — -алгебра в DVect . Обозначим через op противоположную алгебру, через* — двойственное векторное пространство, и положим, наконец, M = -Bimod, категории-бимодулей.Определение 5.5.4.

Бимодульное опрасслоение Bimod → AT получается взятием катего­рии Bimod ⊂ EndT (M), равной подкатегории таких объектов , () = (, ) что —функтор M() → M, даваемый () := ⊗() ⊗ op -бимодулем.Лемма 5.5.5. Сопоставление когомологического комплекса Хохшильда,∼= { }∈ ∈ Bimod ( ) ∼=∏︁()-Bimod ↦→ { ∙ ((), )}∈ ∈ DVect⊗ ( ),∈задаёт отображение опрасслоений ∙ : Bimod → DVect⊗ над AT .Доказательство. Занудная проверка.Наконец, нужно сечение Bimod → AT , чтобы подставить его в ∙ . Рассмотримфунктор : ⊗ ⊗ op -Bimod → -Bimod, определяемый как ( ) = ⊗⊗ ⊗op⊗ ⊗ .Предложение 5.5.6. Функтор допускает точный правый сопряжённый : -Bimod → ⊗ ⊗ op -Bimod,с ( ) = *⊗ ⊗ .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
836,6 Kb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее