Диссертация (1137470), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рассмотримтеперь диаграмму ′′-ℎ- ?.?1′Все вершины в ∈ ( ′′ ), такие что () = , отправятся с помощью в корону, использованную в определении −1 (); легко видеть, что имеем единственную факторизацию ′′ → −1 ().Несложно видеть, что T0 тривиальна как операторная категория, но при этом вышеописанный объект 1 представляет интерес.
Потому нам нужна другая операторная категория,которую можно связать с B.110Определение 5.4.6. Крашеное, или маркированное планарное дерево — пара (, ) из ∈T0 и ⊂ ( ). Мы называем вершины в маркированными (или крашенными), а те, чтолежат в ( ) ∖ немаркированными (или неокрашенными).Маркированное планарное дерево — стабильно (ср. [27]) если всякая немаркированнаявершина имеет валентность как минимум 3.Определение 5.4.7. Категория маркированных деревьев T определяется следующим образом.
Объект T — маркированное планарное дерево (, ). Отображение (, ) → ( ′ , ′ )состоит из морфизма : → ′ в T0 такого что отображение ( ) → ( ′ ), индуцированное , посылает в ′ . Обозначим через Γ : → ′ индуцированное отображение конечныхмножеств.Категория стабильных маркированных деревьев — полная подкатегория T ⊂ T , образованная стабильными маркированными деревьями.Лемма 5.4.8.
Функтор вложения T ˓→ T допускает правый сопряжённый , тождественный на отмеченных вершинах. Назовём : (, ) ↦→ (, ) функтором стабилизации.Доказательство. Пусть (, ) — необязательно стабильное маркированное дерево. Уберёмвсе немаркированные вершины валентности 1 и все рёбра, к ним прилегающие. Уберём затем все вершины валентности 2 и отождествим два ребра, встречающихся в каждой такойвершине. Эта процедура задаёт функтор .Следствие 5.4.9. Для (, ) стабильного маркированного дерева, имеем (( ), ) ∼= (, ).Сопоставление (, ) ↦→ (( ), ) сохраняет пределы.Доказательство.
Очевидно.Лемма 5.4.10. Категории T и T — операторные категории.Доказательство. Конечный объект 1 в обеих категориях — дерево с одним ребром и однойотмеченной вершиной. Пределы в T считаются так же, как в T0 , а в случае с T нужнодополнительно применить функтор стабилизации.5.4.2. Деревья как резольвента BОбозначим через единичный диск с выделенной точкой 1 на границе.111Определение 5.4.11. Пусть ∈ T0 — планарное дерево. Вложением называется инъективное непрерывное отображение : | | ˓→ , которое переводит корень в 1.Замечание 5.4.12. Имея вложение : | | → , можно разрезать диск вдоль образа .Поскольку | | стягиваемо, результат разрезания ∖ (| |) конформно эквивалентен .Лемма 5.4.13.
Пространство Emb(, ) вложений дерева в стягиваемо.Доказательство. Индукция по числу вершин, с очевидной базой. Индуктивный шаг даётсявзятием дерева , выбрасыванием внешней вершины и присоединённого ребра; обозначимассоциированное поддерево ∖ ⊂ . Соответственно, получаем отображение Emb(, ) →Emb( ∖ , ) (которое, по факту, расслоение Серра), и изучим его слои, что отвечает добавлению вершины с её ребром. Разрезая вдоль ∖ , видим, что слои эквивалентны , апотому стягиваемы.Определение 5.4.14.
Пусть , ′ ∈ T0 , морфизмом между двумя вложениями : | | → и : | ′ | → называется пара из отображения : → ′ в T0 и непрерывного отображения(| |) = (| | × [0, 1]) ∪| | | ′ | → из цилиндра отображения | | : | | → | ′ | в , котороесовпадает с и по обоим концам [0, 1] и вложение, сохраняющее корень, для всех значений[0, 1].Рассматривая вложения с точностью до гомотопии, обозначим через T̃0 категорию вложений немаркированных деревьев, а через T̃ — категорию вложений стабильных маркированных деревьев.Лемма 5.4.15.
Естественные функторы T̃0 → T0 и T̃ → T — эквивалентности категорий.Доказательство. По Лемме 5.4.13, слои этих функторов-изорасслоений — стягиваемыегруппоиды.Можно также рассмотреть функтор T̃ → B, который отправляет (, , : | | → ) вконфигурацию точек, отвечающую применению к . Обращая эквивалентность T̃ → T,получаем операторный функтор сравнения : T → B.Теорема 5.4.16. (ср. [26, 27]) Функтор — резольвента операторных категорий.Доказательство. Очевидно, что всё согласовано на уровне элементов.
Воспользуемся критерием из Предложения 5.3.7. Легко видеть, что B ограничена, и что элементарные морфизмыотвечают удалению точки. Проверим необходимые условия.1121. Очевидно: элементарный объект в B — пустая конфигурация.2. Для всякого допустимого моно : (1 : ˓→ ) → (2 : ′ ˓→ ) в B и ∈ T(2 ),категория (, ) допускает конечный объект, даваемый удалением всех вершин ,отвечающих ′ ∖ (), и затем применением функтора стабилизации Леммы 5.4.8.3. Рассмотрим функторы B → Γ и T → Γ и изучим категории совместимых факторизацийдля каждого из функторов.0Допустим, что задана пара 0 ˓→ 1 → 2 с элементарной левой стрелкой, что отвечаетзабыванию точки ∈ . Категория B (, 0 , ) всех возможных совместимых факторизаций : 0 → 2 эквивалентна Π(∖ ′ ), где ′ = {′ ∈ 0 | (′ ) = ()}: нужно добавитьточку к 0 , и её образ под действием должен в точности совпадать с образом точекподконфигурации в 0 , отвечающей ′ (см Замечание 5.1.5).Для T, мы видим, что картина следующая.
Для отображения ℎ : 0 → 2 , накрывающего ∘ 0 , возьмём вложение ℎ в T̃ и рассмотрим круг в ? окружающий точки,отвечающие ′ , вместе с частью |0 |, так что эта часть — поддерево. Изучим возможныедобавления вершины и ребра к этой части, с точностью до гомотопии. Эти добавления(ср [27, page 29]) могут происходить четырьмя способами: маркировка ранее немаркированной точки, маркировка ребра, добавление ребра вместе с маркированной вершинойк другой вершине, добавление ребра с маркированной вершиной к середине другогоребра. Можно проверить, что категория T (, 0 , ℎ) отвечает клеточному разбиению ∖ ′ .
А потому, по теореме Ван Кампена, T (, 0 , ℎ) и B (, 0 , ) гомотопическиэквивалентны.5.5. Бимодульное опрасслоениеКомпозиция T → B → Γ естественно изоморфна функтору T(1, −). Можно использовать любой из них для взятия обратного образа DVect⊗ → AΓ , получая модельнуюT-категорию DVect⊗ → AT . Покажем, как построить производное сечение этого опрасслоения, связанное с -алгеброй над .Для ∈ T0 и ∈ ( ), обозначим через () число входящих вершин, равное валентности минус 1.Определение 5.5.1. Пусть M — представимая модельная категория с моноидальным произведением, сохраняющем копределы по каждому аргументу.
Ассоциированным T0 - эндофунк113торным опрасслоением, обозначаемым через EndT0 (M) → AT0 , называется опрасслоение,∙ слои в котором —EndT0 (M)( ) ∼=∏︁Fun (M() , M),∈ ( )где Fun (M() , M) — категория мультифункторов M() → M, сохраняющих копределы по каждой переменной, так что Fun (M() , M) = M когда () пусто,∙ функторы перехода в котором заданы следующим образом. Для стягивания ребра ∈( ), обозначаемого через → ∖, соответствующий функтор переходаEndT0 (M)( ) → EndT0 (M)( ∖)отвечает композиции мультифункторов вдоль . Вдоль вложений ˓→ ′ в T0 , функторы перехода∏︁∏︁Fun (M() , M) →∈ ( )Fun (M() , M),∈ ( ′ )⊗отвечают вставлению ()-кратных моноидальных произведений M() → M для ∈ ( ′ ) ∖ ( ) (пустое моноидальное произведение — единичный объект), и действиевдоль инертных морфизмов даётся проекциями вместе с подстановкой единичных объектов там, где это необходимо.Как отмечено в определении, категория Fun (M , M) допускает выделенный элемент,даваемый -кратным моноидальным произведением ⊗ .Лемма 5.5.2.
Сопоставление ↦→ {⊗() }∈ ( ) ∈∏︁Fun (M() , M)∈ ( )задаёт сечение 1⊗ ∈ Sect(AT0 , EndT0 (M)).Используя функтор забывания : T ⊂ T → T0 , применим обратный образ и получим 0 : * EndT0 (M) → AT . Определим затем категорию EndT (M) следующим образом.Объект категории * EndT0 (M) такой что 0 = (, ) ∈ A представляется своими компонентами ∈ Fun (M() , M) для каждого ∈ ( ).
Возьмём EndT (M) равной категории ∈ * EndT0 (M) вместе с изоморфизмами ∼= (1⊗ ) для ∈ ( )∖, с морфизмами, даваемыми отображениями в * EndT0 (M), уважающими эти данные. Индуцированный функтор : EndT (M) → AT , как можно видеть, остаётся опрасслоением.114Определение 5.5.3. Назовём : EndT (M) → AT T-эндофункторным опрасслоением, связанным с M.Пусть — -алгебра в DVect . Обозначим через op противоположную алгебру, через* — двойственное векторное пространство, и положим, наконец, M = -Bimod, категории-бимодулей.Определение 5.5.4.
Бимодульное опрасслоение Bimod → AT получается взятием категории Bimod ⊂ EndT (M), равной подкатегории таких объектов , () = (, ) что —функтор M() → M, даваемый () := ⊗() ⊗ op -бимодулем.Лемма 5.5.5. Сопоставление когомологического комплекса Хохшильда,∼= { }∈ ∈ Bimod ( ) ∼=∏︁()-Bimod ↦→ { ∙ ((), )}∈ ∈ DVect⊗ ( ),∈задаёт отображение опрасслоений ∙ : Bimod → DVect⊗ над AT .Доказательство. Занудная проверка.Наконец, нужно сечение Bimod → AT , чтобы подставить его в ∙ . Рассмотримфунктор : ⊗ ⊗ op -Bimod → -Bimod, определяемый как ( ) = ⊗⊗ ⊗op⊗ ⊗ .Предложение 5.5.6. Функтор допускает точный правый сопряжённый : -Bimod → ⊗ ⊗ op -Bimod,с ( ) = *⊗ ⊗ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
