Диссертация (1137470), страница 15
Текст из файла (страница 15)
K-замены и башни функторовОпределение 4.1.20. Пусть : D → C — функтор. Полная симплициальная башня функтора , TΔ×Δ ( ), определяется следующим образом:81[]∙ Объект TΔ×Δ ( ) даётся объектом d[] ∈ DΔ×Δ , объектом c[] категории CΔ , и изоморфизмами (0 )-∼...- ( )∼...?(4.1.1 )?- ...- 0для 0 ≤ ≤ , которые совместимы с вертикальными отображениями в том смысле,что диаграммы -∼ +1∼?=- ?коммутативны для каждого 0 ≤ ≤ и 0 ≤ < . В частности, это означает, что все[]вертикальные отображения в d[] переходят в изоморфизмы в C.∙ Морфизмы даются отображениями Δop × Δop , совместимыми с объектами в смысле,обычном для бисимплициальных замен.[]Мы будем обозначать через (d[] , c[] ) объекты TΔ×Δ ( ), без явного упоминания изомор[]физмов (4.1.1 ).
Сопоставление (d[] , c[] ) ↦→ c[] задаёт функтор ¯ : TΔ×Δ ( ) → C, являющийся опрасслоением, со слоями, равными симплициальным заменам категорий D(c[] ).Замечание 4.1.21. Имея модельное опрасслоение E → C, функтор¯* : Sect(CΔ , E) → Sect(TΔ×Δ ( ), E)не является правым квилленовым. Проблема связана с тем, что каждый Δ-фактор в TΔ×Δ ( )даёт вклад в мэтчинг-объект для фибраций в определении модельной структуры Риди.Можно решить эту проблему следующим образом.Определение 4.1.22. Обозначим через K категорию следующего вида.
Объект K — инъекция [] ˓→ [], с которой мы связываем число 2 − . Морфизм в K — коммутативнаядиаграмма вида[] ⊂ - []∩6∪?[′ ] ⊂ - [′ ],так что мы имеем 2 − ≤ 2′ − ′ .Также имеются естественные функторы K → Δ , K → Δop .82Лемма 4.1.23. Категория K с описанной функцией степени — прямая категория Риди.Любой функтор F → K с дискретными слоями также даёт структуру прямой категорииРиди на F.Доказательство. Очевидно.По этой причине всякое модельное полурасслоение над K или F как выше будет пофакту предопрасслоением, и мэтчинг-объекты будут тривиальны (см. 2.2.2).Определение 4.1.24. Пусть X → Δop — Δ-индексированная категория. Её ассоциированнаяK-категория — категория K(X), объекты которой — пары (, ), где : [] ˓→ [] — объектв K, а ← — морфизм в X над .
Морфизм ( : [] ˓→ [], ← ) → ( : [′ ] ˓→ [′ ], ← )даётся парой из морфизма[] ⊂ - []∩6(4.1.2 )∪?[′ ] ⊂ - [′ ],в K и диаграммы в X,6?,накрывающей K-диаграмму (4.1.2 ).Если взять категорию C и её симплициальную замену C, то можно применить вышеописанный функтор и получить категорию K(C), морфизмы в которой выглядят как диаграммыc′[] c[]6?d′[′ ] d[′ ] ,накрывающие диаграммы типа (4.1.2 ).Предложение 4.1.25. Пусть X → Δop — Δ-индексированная категория. Тогда у следующих объектов одинаковый гомотопический тип:1.
Симплициальное множество [] ↦→ X([]), ассоциированное с X,2. Нерв категории X,3. Нерв категории X− , даваемый ограничением X → Δop на инъекции Δop834. Нерв категории K(X).Доказательство. То, что (1) ∼ (2) — известный результат, следствие того факта, что функторZSSet → SSet, ↦→ сохраняет копределы, инъекции и имеет естественное преобразование в тождественный функRтор, → , которое является слабой эквивалентностью на стандартных -симплексах Δ .RОтсюда можно показать, что слабо эквивалентно для всякого симплициального множества .Для (2) ∼ (3), применим теорему Квиллена А к функтору X− → X. Рассматриваякомма-слои, достаточно доказать, что /[] стягиваемо для всякого [] ∈ Δ, где : Δ ˓→ Δ— функтор вложения.Докажем по индукции.
База индукции, — категория /[0], —- эквивалентна Δ . Диагональ Δ → Δ × Δ — гомотопическая эквивалентность, поскольку допускает гомотопическиобратный “функтор конкатенации” : Δ × Δ → Δ , ([], []) ↦→ [ + + 1],который соединяет последний элемент [] с первым элементом [] дополнительной стрелкой.Имеются естественные преобразования → и → , а потому | Δ | × | Δ | ∼= | Δ |,что даёт | Δ | ∼= *.Покажем шаг индукции для [] = [1]; высшие шаги делаются подобным же образом. Рассмотрим две подкатегории (/[1])0 и (/[1])1 в /[1], состоящие из тех морфизмов [] → [1],которые содержат 0 и 1 в своём образе, соответственно. Каждая из этих категорий эквивалентна Δ × O , где O — категория конечных полностью упорядоченных множеств и инъекций.
Обе категории Δ и O , а потому и каждая из (/[1])0 , (/[1])1 , стягиваемы. Если мыобозначим через (/[1])01 пересечение (/[1])0 и (/[1])1 , то мы имеем следующую кодекартовудиаграмму в Cat(/[1])01 - (/[1])0?(/[1])1?-/[1]где левая вертикальная и верхняя горизонтальная стрелка инъективны на объектах. Можнопроверить, что на уровне нервов также получается прямой образ, причём гомотопический вSSet. Потому получаем, что /[1] стягиваема.84Для (3) ∼ (4), заметим что проекция : K → Δ накрывается функтором X : K(X) →Xop− , который отправляет ← в . Слои ∖X стягиваемы (они имеют начальные объекты),потому по теореме А Квиллена (и благодаря тому, что Xop− эквивалентен X− ) получаемгомотопическую эквивалентность.Определение 4.1.26.
Пусть X — Δ-индексированная категория. Назовём Δ - индексированным опрасслоением над X опрасслоение : O → X, такое что всякий слой O() являетсяΔ - индексированной категорией, и функторы перехода совместимы с индексацией.Существует проекция-композиция 1 : O → X → Δop . Проекции : O() → Δop ,отвечающие индексации слоёв, формируют вторую проекцию 2 : O → Δop . Естественнополучаемая диаграммаO1 × -2Δop × Δop1??X-Δopкоммутативна, где 1 : Δop × Δop → Δop означает проекцию на первый аргумент.Определение 4.1.27.
Пусть : O → X — Δ-индексированное опрасслоение. Его ассоциированным K-опрасслоением, обозначаемым через K : K(O) → X, называется опрасслоение,получаемое применением K(−) к слоям O() функтора .Как и выше, имеем коммутативную диаграммуK(O)Δ × KΔop × KK1??X-Δop ,где Δ : K(O) → Δop , K : K(O) → K и 1 : Δop × K → Δop обозначают очевидные проекции.Определение 4.1.28.
Пусть — функтор. Его башней : T( ) → C называется K опрасслоение, ассоциированное с TΔ×Δ ( ) → C, полной симплициальной башней (Определение 4.1.20) функтора .[]′[]Объект T( ) можно, таким образом, представить как морфизм d[] → d[] в DΔ×Δ ,′вместе с когерентными изоморфизмами F(d[] ) ∼= F(d[] ) ∼= c[] . Функтор действует как[]′[] (d[] → d[] ) = c[] .Определение 4.1.29. Морфизм в K(O) — сигалов, если его проекция в X принадлежит кSX . Обозначим через SK(O) подкатегорию сигаловых морфизмов в K(O).85Определение 4.1.30. Пусть E → X — модельное расслоение Сигала, а : O → X —Δ-индексированное опрасслоение.
Обозначим через SectS (K(O), E) подкатегорию сигаловыхсечений, отправляющих SK(O) в слабо декартовы отображения. Далее, обозначим также через SectS (K(O), E) подкатегорию SectS (K(O), E) тех сигаловых сечений , таких что длявсякого ∈ X, ограничение |K(O)() : K(O)() ∼= K(O()) → E() отправляет все морфизмыв слабые эквивалентности в E(). Назовём такие сечения K -локально постоянными на K(O).Предложение 4.1.31. Пусть : O → X — Δ-индексированное опрасслоение над X, и E → X— модельное сигалово расслоение.
Тогда имеем квилленову паруK,! : Sect(K(O), E) Sect(X, E) : *K ,в которой левый сопряжённый вычисляется какK,! () = limK(O)() |K(O)() .−→Более того, если слои O → X стягиваемы, то посредством ограничения получаем сопряжённую эквивалентность∼*LK,! : Ho SectS (K(O), E) Ho SectS (X, E) : RK .Доказательство. Выражение для левого сопряжённого происходит прямо из Предложения1.3.3. Поскольку категория K — прямая категория Риди, мы видим, что для модельной категории M, функтор 1* : Fun(Δop , M) → Fun(Δop × K, M) сохраняет (тривиальные) фибрацииРиди. Факт о том, что *K право квилленов, можно доказать тем же способом.Имея локально постоянное сечение , заметим, что |K(O)() : K(O)() → E() — локально постоянный функтор, а потому [13] для каждого ← из K(O)() (стягиваемой, апотому непустой категории), следующее естественное отображение в Ho E() — слабая эквивалентность:( ← ) → hocolimK(O)() |K(O)() ∼= LK,! ().(4.1.3 )Рассмотрим сигалово отображение : → .
Тогда есть опдекартово отображение ( ← ) →! ( ← ), накрывающее в K(O), и этот морфизм является сигаловым по определению.Коммутативная диаграмма Ho E() вида∼=LK,! () ( ← )??∼=* LK,! () * (! ( ← ))86имеет то свойство, что правая стрелка — изоморфизм, а потому и левая, доказывая что LK,! — производное сечение.Легко видеть, что R*K строго полон, поскольку для фибрантного ∈ SectS (X, E), отображение (4.1.3 ) даёт () = (K ( ← )) = R*K ( ← ) ∼= LK,! ( * )()и это отображение, компонированное вместе с коединицей сопряжения, даёт тождественныйморфизм в Ho E(). Двойственным образом, и снова используя (4.1.3 ),R*K LK,! ( ← ) = LK,! () ∼= ( ← ),и можно проверить, что этот морфизм в точности совпадает с компонентой единицы сопряжения.4.2.
Прямой образ и эквивалентностьСовместим две предыдущие конструкции. Во-первых, изучим, как башня T( ) → CΔдля функтора : D → C отображается в Π-расслоение DΠ .Напомним, что есть функторы : K → Δop и : K → Δ . Используя первый, можносделать композициюop : Δop × K −→ Δop × Δop −→ Π .Покажем, как эта композиция индуцирует T( ) → DΠ .
Напомним, что объект T( )[]′[]-DΠ |Δop ×Δopможет быть представлен как пара (c[] , d[] → d[] ), вместе с изоморфизмами совместимости.Лемма 4.2.1. Существует диаграммаT( )-DΠ-Πop??Δop × K - Δop × Δop?где правый квадрат — декартов, и скомпонированный морфизм : T( ) → DΠ даётся[]′[][]отображением (c[] , d[] → d[] ) в образ d[] под действием вложения DΠ |Δop ×Δop→ DΠ .Следственно, имеет место быть факторизацияT( )?-TΔ×Δ ( )¯-DΠ-Πop?Δop × K - Δop × Δop?через полную симплициальную башню ¯ : TΔ×Δ ( ) → C, с ¯ = .87Доказательство. Очевидно.Напомним, что есть функтор C : CΔ → CΠ между Δ и Π-заменой категории C. Можнонарисовать следующую диаграмму,-T( )DΠFΠC-?CΔ?CΠкоторая априори некоммутативна.Лемма 4.2.2. В ситуации выше, обозначим также через C : CΠ → Cop функтор вычисления на конечном объекте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
