Диссертация (1137470), страница 18
Текст из файла (страница 18)
→ отображений в R , так что N ( )(d[0 +...+ ] ) изоморфно * c[] = 0 → ... → 0 → 1 ... → с каждым появляющимся + 1 раз подряд. Более того, можно видеть, что всякое отображение d → d′ в (N (D)/ N (C)) (c[] ) — декартово.Отправление d[0 +...+ ] в 00 → 11 → ... → , как можно видеть, производит искомыйфункторc[] : (N (D)/ N (C)) (c[] ) → RD (c[] ).99По существу, мы берём конец каждого подразбиения d[0 +...+ ] , что отвечает проекциям изнерва категории в саму категорию.Докажем, что c[] индуцирует гомотопическую эквивалентность. Для случая одногообъекта, c = 0 , видим, что мы попросту сравниваем категорию RD () и её нерв. По индукции,рассмотрим диаграмму(N (D)/ N (C)) (c[] )?(N (D)/ N (C)) (c[−1] ) RD (c[] )−1-?RD (c[−1] ),где c[−1] = 0 → ...
→ −1 и оба вертикальных функтора даются естественными проекциями. Нижняя стрелка −1 — гомотопическая эквивалентность, обе вертикальные стрелки —фибрации, и ограничение на слои левой стрелки даёт, опять же, стандартный функтормежду категорией и её нервом. Потому — гомотопическая эквивалентность.Чтобы продолжить, нужно также изучить слои проекции(N (D)/ N (C)) (c[] → c′[] ) → (N (D)/ N (C)) (c[] ).(4.3.3 )Зафиксируем морфизм : c[] → c′[] в N (C) и объект (d, c′[] , ) в (N (D)/ N (C)) (c[] ). Обозначим через (, d, c′[] , ) слой проекции (4.3.3 ) над (d, c′[] , ). Можно проверить, чтодостаточно рассмотреть два случая: когда декартов над Δ, и когда послоен.Предположим, что послоен в N (C). Тогда, если разложить c[] как {0 → ...
→ −1 →}∈ , мы видим, что даётся единственным образом как забывание нескольких 0 → ... →−1 → , так что не принадлежит подмножеству ⊂ . Категория (, d, c′[] , ) тогда∏︀попросту соответствует категории ∈∖ RD (0 → ... → −1 → ), которая стягиваема.Когда : c[] → c′[] декартово, объект (, d, c′[] , ) — по определению, пара изобъекта (d′ , c[] , ′ ) и морфизма ′ : d′ → d, такого что ∘ ′ = ∘ (′ ). Однако, поскольку , ′ и — декартовы над Δ, имеем, что ′ также декартово. Это означает, что ′ полностьюопределяется своим образом в Δ.
Категория (, d, c′[] , ) не зависит, таким образом, отконкретного устройства категорий D, C, которые можно заменить на категории из одногообъекта и морфизма. Ситуация сводится к следующему: дано отображение : [] → [] исюръективное отображение ℎ : [] [], и мы изучаем тройки [′ ], ℎ′ , ′ , с ℎ′ : [′ ] []сюръекцией, ′ : [′ ] → [] произвольным, и ℎ ∘ ′ = ℎ′ ∘ .Разложим [] → [] как сюръекцию-инъекцию, [] → [′′ ] → [], и заметим, что мыможем брать обратные образы сюръекций вдоль , так что результаты — снова сюръекции.100Видно, что поэтому мы изучаем категории возможных диаграмм[′ ] -- [′′ ] ⊂ - []??[]-ℎ??[′′ ] ⊂ - []??где правый декартов квадрат и считаются фиксированными.
Морфизм [′ ] [] — тоже самое, что и объект Δ+1 . Задать совместимое отображение [′ ] → [′′ ] — операция,задающая функтор : (Δ+1 )op → Set: между двумя разными подъёмами отсутствуют′′ +1нетривиальные морфизмы. Более того, если обозначить через ,* : Δ+1 → Δ*пост-композиции, мы видим, что ∼, где : (Δ= ,*′′ +1функтор)op → Set — функтор, представленный [′′ ] [′′ ].Потому достаточно доказать следующее. Рассмотрим произвольную сюръекцию :[] [], и индуцированный функтор * : Δ+1 → Δ+1 . Нужно показать, что для всякого представимого функтора : (Δ+1 )op → Set, + 1-кратное симплициальное множество(* )* стягиваемо.
Индукцией по , достаточно доказать это для случая = 0. Рассмотримдиагональное вложение : Δ → Δ+1 . Тогда | * (* )* | эквивалентно |(* )* |, а потому достаточно показать, что для любого : Δop → Set, имеется гомотопическая эквивалентность|*+1 | ∼= ||, где +1 = * ∘ : Δ → Δ. Явно, +1 действует как + 1-кратный функтор барицентрического подразбиения, и |*+1 | гомотопически эквивалентно (даже гомеоморфно)|| для любого симплициального множества .Мы доказали, таким образом, что : (N (D)/ N (C)) → N (C) — правая резольвента, апотому индуцированный функтор обратного образа — эквивалентность.Имеем тавтологическое вложение : N (D) → (N (D)/ N (C)), такое что композицияN (D) → (N (D)/ N (C)) → N (C)равна N ( ). Функтор имеет сопряжённый : (N (D)/ N (C)) → N (D), ∘ ∼= id. Потомупо Лемме 4.0.5 мы видим, что — резольвента, как и требовалось.101Глава 5Сигаловы алгебры и гипотеза Делиня5.1.
Операторные категории5.1.1. ОпределениеОпределение 5.1.1. Операторной категорией называется категория C, такая что∙ C имеет конечный объект 1,∙ для всякого ∈ C, множество морфизмов C(1, ) конечно,∙ всякая диаграмма в C вида 1 → ← ′ может быть дополнена до декартова квадрата.Операторным функтором называется функтор F : C → D, сохраняющий конечные пределыв операторных категориях C, D.Операторные категорию образуют категорию Oper, которая является подкатегориейCat. Существующая ссылка в литературе — работа Барвика [6]. Наше определение отличается от данного в [6] тем, что мы не предполагаем конечность для произвольного множестваморфизмов C(, ′ ).Пример 5.1.2.
Некоторые стандартные примеры:∙ Категория конечных множеств, обозначаемая через Γ,∙ Категория конечных (в том числе пустых) упорядоченных множеств, обозначаемая через O. Её связь с категорией (двойственной к) Δ ⊂ Cat детально объяснена в [6].Заметим лишь, что имеется функтор Δop → O, который посылает [] ∈ Δ в полностьюупорядоченное множество морфизмов в [].Определение 5.1.3.
Для всякой операторной категории C, существует операторный функторC(1, −) : C → Γ, ↦→ C(1, ).Мы будем обозначать этот функтор через | − | : ↦→ || и называть функтором элементовкатегории C.102Пример 5.1.4. Для ∈ Γ, обозначим через = || конфигурационное пространство ||в открытом единичном диске ⊂ C. Точка — отображение : → , где оснащенодискретной топологией. Пространство имеет естественную фильтрацию, которую можноописать следующим образом: точки — те отображения : → , для которых | ()| = .Обозначим теперь через B категорию Π1 (), являющуюся категорией исходящихпутей [43] стратифицированного пространства .
Объекты B — конфигурации → из . Морфизм из 0 : → в 1 : → можно представить как отображение :0 () × [0, 1] → , такое что∙ Для ∈ [0, 1), ограничение : 0 () × {} → инъективно,∙ Ограничение 1 : 0 () × {1} → отображает 0 () на 1 (), так что композиция1 ∘ 0 : → 0 () → 1 () равна 1 .Группа автоморфизмов объекта ˓→ , живущего в максимальном страте, — группа крашеных кос из || нитей.Всякое отображение : → ′ индуцирует функтор * : B ′ → B . Сформируемкатегорию B следующим образом:∙ её множество объектов Ob B — набор пар (, ), где ∈ Γ и : ˓→ — инъективноеотображение.∙ Морфизм из (, ) в ( ′ , ′ ) — пара (, ), где : → ′ — отображение множеств и : → * ′ — морфизм в B между и * ′ .Легко проверить, что B — операторная категория.
Очевидный функтор забывания B →Γ совпадает с функтором элементов B(1, −).Замечание 5.1.5. Морфизм в B из (, ) в ( ′ , ′ ) может быть реализован посредствомрисования круга вокруг каждой точки в конфигурации-образе ( ′ , ′ ), разделения всех точек(, ) по нарисованным кругам без перехода на нижние страты, и затем схлопывания всехточек в каждом круге (если таковые есть в данном круге) в одну, единовременно в каждомкруге (и в разные моменты для разных кругов).Определение 5.1.6. Подкатегорией допустимых мономорфизмов (C) операторной категории C называется минимальная подкатегория, содержащая обратные образы мономорфизмов 1 ˓→ для каждого ∈ C.
Морфизмы в (C) называются допустимыми мономорфизмами.103В [6, Definition 2.1],допустимые мономорфизмы называются вложениями слоя. Определение корректно в силу хорошо известного свойства декартовых диаграмм [33]:Лемма 5.1.7. Имея категорию C и коммутативную диаграмму в C-?′-?-?′- ′,так что правый квадрат декартов. Тогда внешний прямоугольник декартов тогда и толькотогда, когда левый квадрат декартов.Лемма 5.1.8.
Всякую диаграмму′?⊂-с ˓→ , принадлежащим к (C), можно дополнить до декартового квадрата.Доказательство. Очевидно.5.1.2. Классификаторы алгебрОпределение 5.1.9. Пусть C — операторная категория. C-классификатором алгебр называется категория AC , определяемая следующим образом.∙ Ob AC = Ob C,⊃∙ Для , ′ ∈ AC , морфизм → ′ — класс эквивалентности диаграмм вида-′где ˓→ принадлежит (C) и → ′ — произвольный морфизм C. Две подобныхдиаграммы эквивалентны, если они изоморфны как домики.⊃′′-что возможно благодаря Лемме 5.1.8.-⊃∙ Композиция морфизмов даётся взятием пределов диаграмм вида′′104⊃Имеется функтор C : C → AC , отправляющий морфизм : → ′ в класс диаграммы-′ .Определение 5.1.10. Морфизм в AC называется∙ активным, если он лежит в образе функтора C , или, что эквивалентно, представим⊃диаграммой=-для некоторого в C.⊃∙ инертным, если его можно представить диаграммой′′-′ .для некоторого в (C).Обозначим через C и C подкатегории инертных и активных морфизмов, соответственно.Лемма 5.1.11.
Инертные и активные морфизмы образуют факторизационную системуна AC : всякий морфизм in AC допускает разложение = ∘ ℎ, где ℎ инертен, а —активен.Лемма 5.1.12. Любой операторный функтор F : C → D канонически продолжается дофакторизационного функтораAF : (AC , C , C ) → (AD , , D , D ).Доказательство. Очевидно.5.2.
C-категории и производные алгебрыОпределение 5.2.1. Пусть C — операторная категория. C-моноидальной категорией называется опрасслоение Гротендика : M⊗ → AC , такое что для всякого объекта ∈ AC ,отображениеM⊗ () →∏︁:→1M⊗ (1),(5.2.1 )105индуцированное всеми возможными инертными отображениями : → 1 в AC — эквивалентность категорий.Определение 5.2.2. Пусть C — операторная категория, и : M⊗ → AC — C-моноидальнаякатегория.
C-алгеброй в M⊗ называется сечение : AC → M⊗ функтора , которое переводитинертные морфизмы C в опдекартовы морфизмы M⊗ .Обозначим через Alg(C, M) ⊂ Sect(AC , M⊗ ) полную подкатегорию C-алгебр.Имея операторную категорию C, обозначим через AC симплициальную замену (Определение 3.1.1) категории AC . Имея C-моноидальную категорию M⊗ → AC , обозначим еёсимплициальное расширение (Определение 3.1.6) на AC через M⊗ → AC .Предположим теперь также что опрасслоение M⊗ → AC модельно (Определение 3.2.4).Определение 5.2.3. Производной алгеброй в M называется производное сечение :AC → M⊗ со свойством, что — C -локально постоянно в смысле Определения 4.0.8.Лемма 5.2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
