Диссертация (1137470), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Тогда есть естественный изоморфизм C C ∼= C FΠ функторов T( ) → Cop .′[][]Доказательство. Значение FΠ ((c[] , d[] ← d[] )) равно диаграмме 00...-- 0......?......?...? 0?...-- которую можно перерисовать как00-...- 0∼=...∼=...?......?∼=...0∼=??-...- так что все горизонтальные ряды изоморфны 0 → ...
→ в когерентном смысле. Значение[]′[]C ((c[] , d[] ← d[] )) равно 0 → ... → . В частности, после проекции в Cop , можновидеть, что ∼= естественным образом.Следствие 4.2.3. Пусть E → C — модельное опрасслоение и E → CΠ — индуцированноемодельное сигалово опрасслоение. Тогда имеем естественную эквивалентность (C )* E ∼=(FΠ )* E.Примем соглашение, что F без индекса обозначает Δ-индексированный функтор, и мыизучаем функтор обратного образа F* : DSect(C, E) → DSect(D, E).
Можно нарисовать следующую диаграмму,DDΔ −→DΠ ←−T( ) −→CΔ .(4.2.1 )88Соответственно, получаем следующую последовательность функторов*D,*,!Sect(DΔ , E) −→ Sect(DΠ , E) −→Sect(T( ), E) −→ Sect(CΔ , E).Мы утверждаем, что композиция производных функторов,hF! := L,! ∘ h* ∘ RD,* ,даёт искомый функтор прямого образа, который становится эквивалентностью на локальнопостоянных производных сечениях.Лемма 4.2.4. Пусть — -локально постоянное производное сечение над D (Определение4.0.9). Тогда * RD,* — -локально постоянное сигалово сечение (Определение 4.1.30) накатегории T( ) башни : T( ) → C.Доказательство. Предложение 4.1.19 утверждает, что ограничение RD,* на DΔ×Δ —F-локально постоянно для подкатегории F морфизмов D, которые послойны по отношению к .
Композиция T( ) →TΔ×Δ ( ) → DΔ×Δ → DΠ равна , потому мы видим, что * RD,* — -локально постоянно, как и требовалось.Лемма 4.2.5. Пусть — резольвента, тогда hF! : Ho Sect(DΔ , E) → Ho Sect(CΔ , E) переводит -локально постоянные производные сечения над D в производные сечения над C.Доказательство. Следствие Леммы 4.2.4 и Предложения 4.1.31.Рассмотрим для начала тождественный функтор C и его башни, ¯C : FΔ×Δ (C ) →CΔ и C : F(C ) → CΔ .
Чтобы упростить происходящее, переопределим FΔ×Δ (C ) как[]категорию объектов c[] ∈ CΔ×Δ таких что F(c[] ) = F(c[] ) для всех , , с тождественнымивертикальными отображениями. Модифицируем F(C ) соответствующим образом.Лемма 4.2.6. Пусть E → C — модельное опрасслоение. Тогда существует естественноепреобразование *C → *C RC,* функторов из Ho PSect(C, E) в Ho Sect(T(C ), E). Это естественное преобразование — изоморфизм, будучи ограниченным на производные сечения.Мы часто будем писать C вместо C .Доказательство. Построим отображение ¯*C → ¯*C RC,* для сечений полной симплициальнойбашни Sect(TΔ×Δ (C ), E), и затем возьмём композицию с функторомC* : Sect(TΔ×Δ (C ), E) → Sect(T(C ), E),89помня о том, что C* ¯*C = *C и C* ¯*C = *C .Заметим, что ¯C : TΔ×Δ (C ) → C — (постоянное) опрасслоение, допускающее выделенное сечение C : C → TΔ×Δ (C ), которое посылает c[] в ту же самую диаграмму, сконцентри[]рованную в нуле в вертикальном направлении; таким образом, C ¯C (c[] ) = c0[] ∈ TΔ×Δ (C ).Тогда мы имеем равенство C = ¯C C .Оба функтора ¯C и C позволяют брать обратный образ сечений вдоль них, индуцируясопряжённую пару¯*C : Sect(C, E) Sect(TΔ×Δ (C ), E) : *C .а потому имеем отображение коединицы ¯*C *C → для всякого над TΔ×Δ (C ).
В ком[]понентах, это отображение имеет вид (c0[] ) → (c[] ), что в конечном счёте отвечает отображению из 0-части симплициального объекта в весь объект. Это отображение — слабаяэквивалентность, если — обратный образ вдоль ¯ сигалова сечения на CΠ .Подставим теперь = ¯*C C,* для ∈ Sect(C, E) и получим¯*C C,* ←− ¯*C *C ¯*C C,* ∼= ¯*C C* C,* ∼= ¯*C ,(4.2.2 )где мы также помним, что C* C,* ∼= , поскольку C,* строго полон (Предложение 4.1.14).Заметим, что если — фибрантное производное сечение над C, то самое левое отображение в (4.2.2 ) — слабая эквивалентность, поскольку C,* переводит фибрантные производныесечения в сигаловы сечения над CΠ .Наконец, применим * и получим искомое отображение *C → *C C,* , являющееся эквивалентностью на фибрантных производных сечениях.
Взятие фибрантных замен в исходнойкатегории заканчивает доказательство.Обозначим через : T( ) → T(C ) функтор, индуцированный отображением объекта′[]′[]′′[](c[] , d[] ← d[] ) в c[] ← c[] с каждым c′[] = c′′[] = c[] и тождественными вертикальными[]стрелками. Этот функтор коммутирует с проекциями в C, C = .Следствие 4.2.7. Пусть E → C — модельное опрасслоение и : D → C — функтор.Рассмотрим диаграмму (4.2.1). Тогда существует естественный изоморфизм функторовR* ∼= * RD,* hF*где hF* — функтор обратного образа.Доказательство.
Заметим, что FΠ = C и что C = . Поскольку мы ограниченыдо производных сечений, Предложение 4.1.14 и предыдущая Лемма 4.2.6 дают следующую90цепочку эквивалентностей на фибрантных сечениях:* RD,* F* ∼= * F*Π RC,* ∼= * *C RC,* ∼= * *C ∼= R* ,— а при взятии производных мы также берём и фибрантную замену.Выделенное сечение C Леммы 4.2.6 допускает обобщение. С функтором : D → C мысвязываем как симплициальную замену F : DΔ → CΔ — дискретное расслоение со слоями,обозначаемыми D0 (c), — и его башню T( ) → CΔ , а связаны они следующим образом.Лемма 4.2.8.
Существует функтор : DΔ → T( ), такой что = F и = D :DΔ → DΠ .Доказательство. Отображение отправляет d[] , F(d[] ) = c[] , в d[] ←− d[] над объектом[0] ˓→ [0] категории K.Предложение 4.2.9. Пусть E → C — модельное опрасслоение и : D → C — резольвента. Предположим, что сопряжённая пара L,! ⊣ R* сохраняет сигаловы сечения иявляется строго полным сопряжением при ограничении на них. Тогда функторы hF* иhF! = L,! * RD,* сопряжены,hF! : Ho DSect(D, E) Ho DSect(C, E) : hF*так что вдобавок hF* строго полон.Доказательство. Забывая про h, соберём тождества, необходимые для доказательства:R* ∼= * RD,* F* , F* ∼= * R* , * * ∼= LD* ,— а также необходимые сопряжённые пары,∼L,! ⊣ R* , L,! R* → ,∼LD* ⊣ RD,* , LD* RD,* → ,Для построения коединицы, заметим, чтоF! F* = L,! * RD,* F* ∼= L,! R* ∼= .Для построения единицы, заметим, чтоF* F! = F* L,! * RD,* ∼= * R* L,! * RD,* ← * * RD,* ∼= LD* RD,* ∼= .(4.2.3 )91Таким образом, (ко)единица происходит из таковой для L,! ⊣ R* .
Мы докажем треугольные тождества и увидим, что F* автоматически будет строго полным. Записывая композициюF* → F* F! F* → F* ,F* → F* F! F* = F* L,! * RD,* F* ∼= F* ,= F* L,! R* ∼мы видим, что достаточно проверить, что F* → F* F! F* — изоморфизм. Однако, из (4.2.3 )мы видим, что это эквивалентно тому, что отображение* RD,* F* ∼= R* → R* L,! R*— изоморфизм, а это действительно так, поскольку R* строго полон.Другое треугольное тождество, F! → F! F* F! → F! , можно разобрать подобным же образом, и мы видим, что нужно проверить, чтоL,! * RD,* → L,! * RD,* F* L,! * RD,* ∼= L,! R* L,! * RD,*— изоморфизм.
Однако, это отображение получается применением L,! → L,! R* L,!к * RD,* . Отображение L,! → L,! R* L,! является, в свою очередь, изоморфизмом,потому что R* строго полон.Предложение 4.2.10. Пусть E → C — модельное опрасслоение и : D → C — резольвента. Тогда функторы hF* и hF! = L,! * RD,* — сопряжённая эквивалентность:∼hF! : Ho DSect * (C) (D, E) Ho DSect(C, E) : hF* .Доказательство.
Можно дословно повторить вычисления из Предложения 4.2.9, теперьработая с -локально постоянными производными сечениями и -локально постояннымисигаловыми сечениями на башне. Как мы видели, как единица, так и коединица индуцируются с одноимённых отображений для L,! и R* . Последние — эквивалентность, а потомуто же верно и про hF! и hF* .Наконец,Теорема 4.2.11. Пусть : D → C — резольвента, S ⊂ C — изо-подкатегория, а E → C —модельное опрасслоение. Тогда имеет место быть эквивалентность категорий:∼hF! : Ho DSect * S (D, E) Ho DSectS (C, E) : hF* .92Доказательство.Покажем для начала, что эквивалентность Предложения 4.1.31 даёт нам функторL,! : Ho SectS S (T( ), E) → Ho DSectS (C, E).*Здесь SectS S (T( ), E) — подкатегория тех сигаловых сечений : T( ) → E которые пере*водят в слабую эквивалентность всякое отображение : → башни T( ), чей образ DΔ×Δ— * S-стирающий (Определение 4.1.17).Пусть : c[] → c′[] — анти-сигалов морфизм с −1 → принадлежащими к S для1 ≤ ≤ − .
Поскольку функтор — резольвента, мы видим, что в Ho E(c[] ), значение[]′[]L,! (c[] ) ∼= ((c[] , d[] ← d[] ))[]′[]для некоторого d[] ← d[] в T( ) над c[] . Образ L,! () тогда изоморфен (в категории морфизмов Ho E(c[] )) морфизму () → (! ), где → ! — опдекартов морфизм в опрасслоении T( ) → C. Можно проверить, что образ → ! в DΔ×Δ является[] * S-стирающим.
Это происходит потому, что всякий объект d[] над c[] имеет вертикальные отображения, которые отправляются в (C); также, для всякого значения и для1 ≤ ≤ −, отображение −1 → принадлежит к * S. Тогда отображение () → (! )— слабая эквивалентность по предположению. То есть, L,! действительно попадает вHo DSectS (C, E), как и хотелось.Наконец, пусть — * S-локально постоянное производное сечение над D. Его расширение на башню , вычисляемое как * RD,* , принадлежит категории Ho SectS S (T( ), E).*Это — следствие Предложения 4.1.19 и того факта, что композиция T( ) → TΔ×Δ ( ) →DΔ×Δ → DΠ равна .
Всё это говорит нам о том, что эквивалентность категорий можноограничить желаемым образом.Следствие 4.2.12. Пусть : D → C — эквивалентность категорий. Тогдаh * : Ho DSect(C, E) → Ho DSect(D, E)— эквивалентность.Доказательство. — резольвента, и, вдобавок, * ((C)) = (D).4.3. Резольвенты факторизационных категорийДопустим, что дан факторизационный функтор : D → C, который является резольвентой при ограничении на правые классы. В этой секции мы покажем, что в некоторых93случаях (выполненных в наших примерах) функтор F* — эквивалентность на производныхсечениях, которые локально постоянны вдоль L ⊂ C и её прообраза.Напомним, что Γ обозначает категорию конечных множеств.
Обозначим через ⊂ Γopкатегорию, противоположную к категории конечных множеств и инъективных отображений.Определение 4.3.1. Пусть C — категория. Её сплетённое произведение C ≀ — категория∙ с объектами, даваемыми парами из ∈ и семейства { }∈ объектов ∈ C∙ морфизмами из (, { }∈ ) в (, {′ }∈ ), даваемыми парами (, { }∈ ), где ← —морфизм в и : () → ′ — семейство отображений в C.Естественный функторC ≀ → , (, { }∈ ) ↦→ , — опрасслоение. Слой над — произведение C из || копий C. Имеем функтор тавтологического вложения : C → C ≀ с() = (1, {}) для одноэлементного множества 1.Лемма 4.3.2. Для всякого модельного опрасслоения : E → C, его сплетённое произведение ≀ : E ≀ → C ≀ — модельное опрасслоение, чьё ограничение вдоль : C → C ≀ изоморфно .Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
