Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 12

Действие на диаграммах в C вида ←− ( → ′ ) −→ ′ ,Wгде левая стрелка сигалова, даёт диаграмму () ← ( → ′ ) → (′ ), где левая стрелка— слабая эквивалентность. На уровне Ho M, эта диаграмма даёт отображение () → (′ ),которое можно обозначить через ( ). Применяя к объектом более высокой длины даётзатем когерентности для “слабого функтора” .Для произвольной гомотопической категории M, подобные диаграммы необязательнокорректно описывают все морфизмы в Ho M. На деле нам приходится сделать несколькодополнительных предположений насчёт M, таких как существование модельной структуры.Определение 3.1.6.

Для опрасслоения E → C, его симплициальное расширение — рассло­ение E → C, являющееся обратным образом транспонированного расслоения (Определение1.2.1) E⊤ → Cop вдоль C : C → Cop .Отметим, что E не является симплициальной заменой E или E⊤ . В частности, слойE → C над объектом c[] эквивалентен E( ). В случае, когда E → C происходит из функтораE : C → Cat, расслоение E → C происходит из функтораCopopC- CE Catрассматриваемого как контравариантного функтора на C.64Лемма 3.1.7.

Пусть E → C — опрасслоение. Тогда E → C — нормализованное расслоениеСигала в смысле Определения 2.3.9.Имея пару функторов 1 , 2 : → C и естественное преобразование : 1 → 2 созначениями in AC , мы получаем, что индуцированное декартово отображение расслоений(Лемма 1.2.2)* : 2* E → 1* Eявляется эквивалентностью.Можно также взять обратный образ E → C на C с помощью функтора ℎC : C → C.Связь между этим обратным образом и расслоением E → C следующая:Предложение 3.1.8.

Пусть : E → C — опрасслоение, тогда имеем морфизм : ℎ*C E → Eкоммутирующий с функторами в C, который посылает опдекартовы морфизмы ℎ*C E в де­картовы морфизмы E и универсален, то есть, для любого другого функтора : ℎ*C E → Eнад C с подобным свойством существует факторизация через с точностью до есте­ственного изоморфизма.Доказательство. Рассмотрим категорию X, определённую следующим образом.∙ Объект X — пара (c[] , ), где c[] = 0 → ... → — объект C и : → — опдекартовоотображение в E, накрывающее композицию 0 → in C (i.e. () = 0 → ),∙ Морфизм (c[] , : → ) → (c′[] , : ′ → ′ ) состоит из отображения c → c′ в C иотображения : → ′ , накрывающего индуцированное отображение 0 → ′0 .Можно проверить, что функтор X → C — опрасслоение, и что сопоставление (c, : →∼) ↦→ (c, ) задаёт эквивалентность над C опрасслоений X → ℎ*C E.С другой стороны, рассмотрим сопоставление (c, : → ) ↦→ (c, ).

Мы утверждаем,что это определяет функтор ¯ : X → E коммутирующий с проекциями в C. Пусть (, ) :(c, : → ) → (c′ , : ′ → ′ ) — отображение. В частности, имеем следующее отображениев E:-′?(3.1.1 )?′.Предположим сначала, что отображение послойно. Тогда в силу опдекартового свойствасуществует отображение ′ : → ′ , которое дополняет диаграмму (3.1.1 ) до коммутативного65′квадрата. Вспоминая описание стрелок в Определении 1.2.1, определим ¯(, ) = (, → ′ ← ′ ); другими словами, мы рассматриваем ′ как послойное отображение в E⊤ .Далее, если опдекартово, найдём опдекартово отображение : ′ → в E, накрываю­щее ′ → (которое индуцировано с : c → c′ ). Композиция и обе проектируютсявдоль E → C в отображение 0 → = 0 → ′0 → ′ → , поэтому существует послойныйизоморфизм ∼= .

Это даёт то, что диаграмма (3.1.1 ) может быть дополнена до-′′??′.′где все стрелки опдекартовы в E. Положим, опять же, ¯(, ) = (, → ← ′ ), рассмат­ривая ′ как декартово отображение в E⊤ . Любой другой случай (, ) можно разрешить,факторизуя отображение нужным образом.∼Обращая эквивалентность X → ℎ*C E и компонируя с ¯, мы получаем требуемый функтор : ℎ*C E → E, и можно использовать его явную форму для проверки универсального свойства.3.2.

Категория производных сечений3.2.1. ПредсеченияОпределение 3.2.1. Имея опрасслоение E → C, его категорией of предсечений называетсякатегорияPSect(C, E) := SectC (C, E).сечений симплициального расширения E → C.Чтобы связать Sect(C, E) с PSect(C, E), вспомним про существование функторов ℎC и из Леммы 3.1.4 и Предложения 3.1.8. Функтор ℎC индуцирует функтор обратного образаℎ*C : Sect(C, E) → Sect(C, ℎ*C E).Предложение 3.2.2. Сопоставление ↦→ ∘ (ℎ*C ) задаёт строго полный функтор :Sect(C, E) → PSect(C, E). Его существенный образ состоит из предсечений, которые от­правляют сигаловы отображения SC в декартовы морфизмы E.Доказательство.

Заметим, что для каждого сигалова отображения : c[] → c[] , отоб­∼ражение в ℎ*C E опдекартово над если и только если это изоморфизм → в E(0 ). С66одной стороны, функтор посылает такие отображения в декартовы морфизмы в E; с дру­гой стороны, сечение-обратный образ ℎ*C : C → ℎ*C E посылает сигаловы отображения SC втождественные отображения в E. Остальные детали очевидны.12Замечание 3.2.3.

Рассмотрим объект c[] = 0 −→ 1 −→ ... −→ категории C. Тогда ∈ (C, E) отправляется в предсечение () такое что ()(c[] ) ∼= ( ...1 )! (0 ), где( ...1 )! : E(0 ) → E( ) = E(c[] ) — функтор перехода вдоль композиции .Определение 3.2.4. Модельным опрасслоением E → C называется опрасслоение, такое чтокаждый слой E() — модельная категория, и функторы перехода сохраняют фибрации ислабые эквивалентности. Что то же самое, имея диаграмму--??с горизонтальными опдекартовыми стрелками и вертикальными послойными стрелками, ес­ли → — фибрация (соответственно, слабая эквивалентность) тогда то же верно про → .Следствие 3.2.5.

Пусть E → C — модельное опрасслоение, тогда E → C — нормализован­ное модельное сигалово расслоение над Δ-индексированной категорией C. Следовательно,категория PSect(C, E) = Sect(C, E) имеет модельную структуру Риди из Теоремы 2.2.5.Доказательство. Очевидно.Обозначим через Ho PSect(C, E) соответствующую локализацию.3.2.2.

Производные сеченияОпределение 3.2.6. Пусть F → D — предрасслоение, такое что каждый слой F() имеетслабые эквивалентности (содержащие все изоморфизмы F()). Морфизм : → в Fназывается слабо декартовым, если его можно факторизовать как:→→где → — слабая эквивалентность в F(), и → декартов.Определение 3.2.7. Пусть F → X — модельное сигалово предрасслоение над Δ - индек­сированной категорией X. Сечение : X → F называется сигаловым, если оно отправляет67SX в слабо декартовы отображения F.

Обозначим через SectS (X, F) полную подкатегориюSect(X, F), состоящую из сигаловых сечений.Лемма 3.2.8. Пусть → ′ — слабая эквивалентность в Sect(X, F). Тогда если одно изсечений , ′ сигалово, то второе — тоже.Доказательство. Посредством применения свойства “три-за-два” и факта, что функторыперехода сохраняют слабые эквивалентности.Обозначим через Ho SectS (X, F) ⊂ Ho Sect(X, F) подкатегорию сигаловых сечений. Это— полная подкатегория Ho Sect(X, F), которая совпадает с локализацией SectS (X, F) вдольпослойных слабых эквивалентностей.Возвращаясь к нашему примеру,Определение 3.2.9.

Пусть E → C — модельное опрасслоение. Предсечение : C → E назы­вается производным сечением, если отправляет сигаловы морфизмы C в слабо декартовыморфизмы E.Обозначим через DSect(C, E) полную подкатегорию PSect(C, E), состоящую из произ­водных сечений. Мы также обозначим через Ho DSect(C, E) соответствующую подкатегориюHo PSect(C, E).Рассмотрим объект → ′ of C. Производное сечение даёт нам диаграмму в E(′ )( → ′ )W(3.2.1 )-! ()(′ )где () → ! () — опдекартов морфизм E, накрывающий (ср. Определение 1.2.1). Ле­вая стрелка в этой диаграмме (3.2.1 ) — слабая эквивалентность. Диаграммы, получаемыеиз объектов c[] ∈ C общего вида, можно рассматривать как соотношения гомотопическойкогерентности для композиций стрелок, получаемых из (3.2.1 ) обращением левой стрелки.Предложение 3.2.10. Пусть F → X — модельное предрасслоение Сигала над Δ - индекси­рованной категорией X. Тогда1.

если ∈ SectS (X, F), то всякая (ко)фибрантная замена — также сигалово сечение,2. если ∈ SectS (X, F) фибрантно и : → — отображение в SX , то индуциро­ванное отображение () → * () — тривиальная фибрация между фибрантнымиобъектами,683. если ∙ : → SectS (X, F) — диаграмма фибрантных сигаловых сечений, то её (него­мотопический) предел — фибрантное сигалово сечение,4. если { }∈ — семейство сигаловых сечений, то их гомотопическое произведение×h∈ также сигалово сечение, и более того, для каждого ∈ X, естественное отоб­ражение (×h∈ )() → ×h∈ ( ()) — слабая эквивалентность.5. если → ← — диаграмма в SectS (X, F), то гомотопическое расслоённое про­изведение ×h — тоже сигалово сечение, и для каждого ∈ X, естественноеотображение ( ×h )() → () ×h () () — слабая эквивалентность.Доказательство.

Первое утверждение — прямое следствие Леммы 3.2.8.Для второго утверждения, мы знаем, что фибрантность означает, что () фибрант­но для каждого ∈ X степени 0. Вообще говоря, мы знаем, что () → M — фибрация.Точно так же, как и для симплициальных объектов в модельной категории, можно доказать,что для всякого → , накрывающего инъекцию [] ←˒ [] в Δ, отображение M → ()— фибрация. Отсюда следует то, что () фибрантно и всякое сигалово отображение → отправляется в () → (), которое является фибрацией и слабой эквивалентностью.Чтобы продолжить, воспользуемся Предложением 1.3.11 для вычисления пределов, ивдобавок, сделаем это в сигаловой факторизационной системе на X. Заметим, что для ∈ Xнад [] ∈ Δ, мэтчинг-категория S () в сигаловой факторизационной системе эквивалент­на [ − 1]. для сечения , мэтчинг-объект в сигаловой факторизационной системе, M S ,равен, в таком случае, (∖1), где → ∖1 — сигалово отображение, которое накрываетвложение [] ←˒ [ − 1].