Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 8

Факторизационные системы и полурасслоенияОпределение 1.4.1. Факторизационной системой на категории C называется пара подка­тегорий L , R ⊂ C, содержащая все изоморфизмы C, такая что всякий морфизм : → ′ вC может быть разложен (“факторизован”) как : −→ ′′ −→ ′(1.4.1 )38где ∈ Mor L и ∈ Mor R. Факторизация, к тому же, должна быть единственной с точно­стью до единственного изоморфизма.В данной работе, факторизационной категорией мы будем называть тройку (C, L , R),состоящую из категории вместе с факторизационной системой (L , R).Мы будем зачастую писать C вместо (C, L , R), когда факторизационная система яснаиз контекста.

В силу условий на изоморфизмы, подкатегории L и R содержат все объектыC. Мы часто будем называть L левым классом морфизмов, а R — правым классом.Определение 1.4.2. Факторизационным функтором : (C′ , L ′ , R ′ ) → (C, L , R) называ­ется функтор C′ → C, такой что (L ′ ) ⊂ L и (R ′ ) ⊂ R. Мы иногда будем обозначатьиндуцированные функторы через : L ′ → L и : R ′ → R.Определение 1.4.3. Категория Риди R — факторизационная категория (R, R− , R+ ) вместес функцией степени : R → N, принимающей значения в натуральных числах, так что∙ необратимые морфизмы R− понижают значение ,∙ необратимые морфизмы R+ повышают значение ,∙ для каждого ∈ R, множество автоморфизмов () состоит .Наше определение категории Риди несколько отличается от традиционно даваемых влитературе [20, 24, 36].

В дальнейшем мы не будем упоминать функцию степени явнымобразом.Определение 1.4.4. Пусть : (C′ , L ′ , R ′ ) → (C, L , R) — факторизационный функтор.Назовём замкнутым справа, если для любого C-отображения вида → (′ ), его (L , R)- факторизация принимает вид () −→ (′′ ) −→ (′ )где : ′′ → ′ принадлежит R ′ . Двойственно, замкнут слева, если для любого C - отобра­жения вида (′ ) → , его (L , R)-факторизация имеет вид () (′ ) −→ (′′ ) −→ где : ′ → ′′ принадлежит L ′ .Очевидно, если : C′ → C замкнут справа, то op : C′op → Cop замкнут слева.391.4.1. Индексирование факторизационными категориямиПусть C — малая категория.Определение 1.4.5. C-индексированной категорией называется (малое) дискретное опрас­слоение Гротендика X → Cop .

Морфизмом C-индексированных категорий X → Y называетсяопдекартов морфизм между опрасслоениями над Cop .Обозначим через Cat(C) категорию C-индексированных категорий.Пусть теперь C — факторизационная категория, с факторизационной структурой (G , D).Лемма 1.4.6. Для всякой C-индексированной категории : X → Cop , существует един­ственная факторизационная система (LX , RX ) на X, такая что становится факториза­ционным функтором (X, LX , RX ) → (Cop , D op , G op ).

Более того, всякий морфизм C - индек­сированных категорий также становится факторизационным функтором.Доказательство. LX := −1 (D op ) и RX := −1 (G op ).Определение 1.4.7. Назовём пару (LX , RX ) факторизационной системой, канонически ин­дуцированной с (C, G , D).Определение 1.4.8. Пусть : C′ → C — функтор.

-переиндексацией C-индексированнойкатегории : XC → Cop называется обратный образ вдоль op . Другими словами, это леваявертикальная стрелка в декартовом квадратеXC′X-′XCopC′op - Cop .Лемма 1.4.9. Пусть : (C′ , G ′ , D ′ ) → (C, G , D) — факторизационный функтор, и X → Cop??— C-индексированная категория. Тогда функтор X : XC′ → XC , индуцированный операциейпереиндексации, является факторизационным функтором (XC′ , LXC′ , RXC′ ) → (XC , LXC , RXC )между двумя канонически индуцированными факторизационными системами.Доказательство. Очевидно.Предложение 1.4.10.

(Наследование для индексированных категорий) Пусть : (C′ , G ′ , D ′ ) → (C, G , D)— факторизационный функтор. Тогда, для каждой C-индексированной категории X, мыимеем следующее:401. Если D op — нётерова категория (Определение 1.3.5), тогда такова же и индуцирован­ная категория LXC . Также имеется двойственный результат для правых классов.2. Если таков, что индуцированный функтор — D ′op → D op замкнутое вложениенётеровых категорий (Определение 1.3.12), тогда индуцированный функтор LXC′ →LXC имеет то же свойство.3. Если op : C′op → Cop замкнут справа (Определение 1.4.4), то таков же и X : XC′ →XC .

Двойственное утверждение верно для левой замкнутости.4. Если (C, G , D) — категория Риди, то такова же и (XC , LXC , RXC ).Доказательство. Очевидная проверка.1.4.2. ПолурасслоенияОпределение 1.4.11. Пусть (C, L , R) — факторизационная категория. Функтор : E →C называется полурасслоением над C если он — изорасслоение, и выполнены следующиеусловия.1. Для любого : → ′ в L и с ( ) = ′ существует декартов (Определение 1.1.1)подъём : ′ → морфизма .2.

Для любого : → в R и с () = существует опдекартов подъём : → ′ в.3. Для любого : → категории E такого что () разлагается как() −→ −→ ( )с ∈ R и ∈ L , мы требуем, чтобы факторизовался как : −→ ′ −→ ′ −→ (1.4.2 )где : → ′ — опдекартов морфизм над , : ′ → — декартов морфизм над , и() = .Лемма 1.4.12. Третье условие Определения 1.4.11 эквивалентно следующему: для любого : → из E, такого что () раскладывается как() −→ −→ ( )41с ∈ R и ∈ L , мы требуем чтобы : −→ ′ −→ ′ −→ где : → ′ — морфизм над , : ′ → — морфизм над , и () = .Доказательство.

Следует из универсальности (оп)декартовых стрелок.Имея полурасслоение : E → C, если : → ′ — отображение в L, тогда есть функтор * : E(′ ) → E(), естественно индуцированный декартовыми подъёмами. Если : → —отображение в R, мы таким же образом имеем ! : E() → E(), индуцированный опдекарто­выми подъёмами.Предложение 1.4.13. Пусть : E → C — полурасслоение над (C, L , R). Тогда1.

Факторизация (1.4.2) естественна и единственна с точностью до единственного изо­морфизма,2. Пустьℎ??-— коммутативная диаграмма с , ∈ L и , ℎ ∈ R. Тогда мы имеем 2-квадрат*E() E()⇒!?ℎ!?E() * E()с канонически индуцированным естественным преобразованием ! * → * ℎ! .Доказательство. Первое утверждение — следствие универсального свойства декартовыхморфизмов.Чтобы доказать второе, возьмём ∈ E(). Тогда имеем диаграмму в E * - ! * * ℎ! ℎ! 42где морфизмы с — декартовы над L , а — опдекартовы над R.

Поскольку ℎ = ,композиция * → → ℎ! накрывает → → , а потому, по пункту (3) Определения1.4.11, может быть разложена как * → ! * → * ℎ! → ℎ! и мы получаем морфизм ! * → * ℎ! , как и требовалось.Поскольку C — факторизационная категория, всякий морфизм → → с в R и вL можно дополнить до диаграммыℎ??-как в Предложении 1.4.13. Потому, свойство замены базы для функторов перехода можновыполнить, если предположить что-то из нижеперечисленного.Лемма 1.4.14. Пусть (C, L , R) — факторизационная категория, и E → C —∙ либо расслоение над C, которое также — предопрасслоение над R,∙ либо опрасслоение над C, которое также предрасслоение над L ,тогда E → C — полурасслоение.Доказательство.

В первом случае, в диаграмме * - ! * ℎ! * ℎ! как и ранее, мы получаем, что композиция * → → ℎ! пропускается через декартовоотображение * ℎ! → ℎ! (что следует из более сильного универсального свойства декарто­вых морфизмов в этом случае [42]), а потому мы получаем отображение * → * ℎ! .

Этоотображение можно, в свою очередь, пропустить через опдекартов морфизм * → ! * , имы получаем -компоненту ! * → * ℎ! естественного преобразования замены базы. Егоможно использовать для конструкции факторизации (3) Определения 1.4.11. Второй случайдоказывается двойственным образом.Можно пойти ещё дальше в ослаблении условий на E → C.43Лемма 1.4.15. Пусть дано E → C — предрасслоение над факторизационной категорией(C, L , R), — такое что ограничение E|R → R — также ещё и предопрасслоение, и та­кое что композиция декартовых подъёмов, накрывающих → → (с в R и в L )декартова. Тогда E → C — полурасслоение над (C, L , R).Доказательство.

В доказательстве леммы 1.4.14, сильное универсальное свойство былонужно как раз для морфизмов, накрывающих → → .1.4.3. Пределы и сопряжённые функторы для сеченийПредложение 1.4.16. Пусть (C, L , R) — факторизационная категория и E → C — по­лурасслоение со слоями, которые полны и допускают произвольные копроизведения. Допу­стим, что категория Sect(L , E|L ) имеет пределы. Тогда то же самое верно про Sect(C, E).Более того, функтор ограничения Sect(C, E) → Sect(L , E) сохраняет пределы.Двойственно, если E → C имеет кополные слои и послойные произведения, и такжеSect(R, E|R ) допускает копределы, то то же самое верно про Sect(C, E), и функтор ограни­чения Sect(C, E) → Sect(R, E) сохраняет копределы.Лемма 1.4.17.

Пусть ∈ C, и рассмотрим подкатегорию ∖L . Тогда функтор* : Sect(L , E) → Sect(∖L , E),индуцированный вдоль естественного функтора забывания : ∖L → L , сохраняет пре­делы.Доказательство. Функтор * допускает левый сопряжённый,! : Sect(∖L , E) → Sect(L , E),который вычисляется по формуле (! )(′ ) =∐︀L (,′ )(′ ).Для всякого объекта ∈ C, структура полурасслоения даёт нам функтор ограничения : E|∖L → E().Доказательство Предложения 1.4.16. Пусть дана диаграмма ∙ : → Sect(C, E), ∈ ↦→ ( ↦→ () ),и мы бы хотели построить её предел = lim ∙ ∈ Sect(C, E). Напишем следующее выраже­←−ние: () = lim ∙ () = lim∖L (lim∖L∙ |∖L ),←−←−←−44где lim∖L∙ |∖L — предел ∙ |∖L , вычисленный в Sect(∖L , E).