Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 5

Доклад “Factorisation categories, algebras and their applications"на конференции GAGC- 2013 (январь 2013, Марсель, Франция),2. Доклад “Resolutions of categories and derived sections"на семинаре группы ATG лабора­тории Ж. А. Дьедонне (сентябрь 2014, Ницца, Франция) и по той же теме на гомото­пическом семинаре ВШЭ (октябрь 2014, Москва, Россия),3. Доклад “Categorical resolutions in the context of homotopical algebra"на конференцииGAGC - 2014, (ноябрь 2014, Марсель, Франция),4. Доклад “Segal Sections and Categorical Resolutions” на конференции “Young TopologistsMeeting 2015” (июль 2015, Лозанна, Швейцария)5. Доклад “Reedy model structures for families"на семинаре группы ATG (май 2016, Ницца,Франция),6.

Доклад “Grothendieck Fibrations and Homotopical Algebra” в лаборатории Ж. А. Дье­донне (20 июня 2016, Ницца, Франция).21Содержание диссертацииГлава 1: Расслоения Гротендика. В этой главе мы вводим категорные понятия,необходимые для нашего формализма. Во-первых, мы вводим понятие предрасслоений Гро­тендика, которое, будучи весьма известным в фольклоре, не представлено в достаточномколичестве изданных материалов. Более того, обычно рассматриваются расслоения, а непредрасслоения: наш интерес в псевдотензорных категориях требует введения всех нужныхпонятий для более общего определения предрасслоения.

Неверно, что для произвольногопредрасслоения, его категория сечений допускает пределы, даже если предрасслоение по­слойно полно. По этой причине, мы вводим специальный класс “нётеровых” категорий. Пред­расслоение F → C с полными слоями над нётеровой категорией обладает тем свойством, чтоеё категория сечений Sect(C, F) полна. Мы не встречали понятие нётеровой категории в лите­ратуре, однако есть определённые сходства между нашим подходом и понятием обобщённыхкатегорий Риди [10]. Затем мы вводим понятие полурасслоения E → D над факторизаци­онной категорией (D, L , R), и объясняем, как можно вычислять пределы и сопряжённыефункторы через ограничение на правые или левые классы факторизационной системы.

По­нятие полурасслоения также не встречается в литературе (за исключением похожего, ноотличающегося понятия амбирасслоения).Глава 2: Модельные структуры Риди. В этой главе мы изучаем полурасслоениянад категориями Риди, оснащённые модельной структурой. Мы доказываем Теорему 2.2.5 инесколько побочных результатов, необходимых в дальнейшем, рассматривая под конец главыполурасслоения над категорией Δ.Глава 3: Производные сечения. В этой главе, которая во многом перекрываетсяс введением, мы вводим, на должном уровне строгости, понятия симплициальных замен,предсечений и производных сечений модельных опрасслоений Гротендика.

Мы показываемтакже, как вложить обычные сечения в производные, и доказываем несколько результатов,которые связаны с поведением модельной структуры на предсечениях в ситуации, когда онаограничена на подкатегорию производных сечений. Эти результаты будут нужны нам длядоказательств в последующих главах.Глава 4: Резольвенты. Мы описываем понятие резольвенты и доказываем Теорему4.2.11. Многие из конструкций Главы 4 интересны сами по себе, например, категория Π ко­нечных частично упорядоченных множеств с начальным и конечным элементом, прямая ка­тегория Риди K, состоящая из инъекций в Δ (со скрученными отображениями между ними),как и различные операции, проводимые над ними. Чтобы адаптировать наши результаты для22ситуации операторных категорий, мы заканчиваем главу доказательством более продвинуто­го результата, Теоремы 4.3.12, которая относится к функторам между факторизационнымикатегориями.

Доказательство этого факта включает в себя повторное применение Теоремы4.2.11 вместе с большим количеством комбинаторики, обращающейся вокруг сплетённых про­изведений и подходящей версии нерва факторизационных категорий.Глава 5: Сигаловы алгебры и гипотеза Делиня. Вводятся понятия операторныхкатегорий, моноидальных категорий над ними, и производных алгебр. Мы изучаем резоль­венты в этой ситуации, приводя критерий, который позволяет обнаружить, когда функтормежду операторными категориями — резольвента. Мы используем этот критерий для дока­зательства Теоремы 5.4.16, утверждающей, что функтор : T → B — резольвента, и затемпоказываем, как построить сечение, отвечающее комплексу Хохшильда над категорией T.23Глава 1Расслоения Гротендика1.1.

Декартовы морфизмы, предрасслоения, сеченияПусть дан функтор : E → C. Для ∈ C, обозначим через E() категорию-слой −1 над . Она состоит из всех ∈ E, таких что () = и всех морфизмов → ′ , таких что( → ′ ) = .Определение 1.1.1. Морфизм : → категории E называется∙ -декартовым, или просто декартовым, если для всякого другого морфизма : ′ → с () = () существует единственный морфизм : ′ → in E(()) которыйфакторизует = ∘ .∙ -опдекартовым, или попросту опдекартовым, если для любого другого отображения : → ′ с () = () существует единственный морфизм : → ′ in E(( ))который факторизует = ∘ .Скажем, что -декартов или -опдекартов морфизм : → накрывает морфизм : → ′ , если () = .Определение 1.1.2. Функтор : E → C называется∙ предрасслоением если для каждого : → категории C и ∈ E() существуетдекартов морфизм : → , накрывающий , то есть, () = .∙ предопрасслоением если для всякого : → категории C и ∈ E() существуетопдекартов морфизм : → накрывающий , то есть, () = .Лемма 1.1.3.

Пусть : E → C — предрасслоение, тогда op : Eop → Cop — предопрасслоение.Обозначение 1.1.4. Пусть : E → C — предрасслоение, : → — морфизм в категорииC и ∈ E(), мы будем обычно обозначать выбранный декартов подъём через * → . Тоже самое будет применимо, если — предопрасслоение, и в этом случае для ∈ E(), мыбудем обозначать через → ! выбранный опдекартов подъём.24Определение 1.1.5. Пред(оп)расслоение : E → C называется малым если C и E — малыекатегории. Пред(оп)расслоение дискретно если для каждого ∈ C, категория E() не имеетнетождественных морфизмов.Все дискретные пред(оп)расслоения, которые мы будем рассматривать, являются малыми.Лемма 1.1.6.

Пусть : E → C — дискретное предрасслоение. Тогда композиция декарто­вых морфизмов E декартова. То же самое верно про дискретные предопрасслоения.Доказательство. Очевидно.Определение 1.1.7. Предрасслоение : E → C называется расслоением Гротендика есликомпозиция декартовых морфизмов декартова. Определение опрасслоения Гротендика даёт­ся двойственным образом.Замечание 1.1.8. В дальнейшем, (оп)расслоения часто будут рассматриваться как частныеслучаи пред(оп)расслоений, с дополнительными ремарками в случае необходимости. Еслине сказано обратное, всякое определение или результат для пред(оп)расслоения даёт то жесамое для (оп)расслоения.Конструкция 1.1.9. Пусть дан функтор из C со значениями в категориях, тогда можноRпроизвести опрасслоение, обозначаемое → C и называемое конструкцией ГротендикаR[42] функтора .

Объект — пара (, ) из ∈ C и ∈ (), а морфизм (, ) → (′ , ′ )состоит из : → ′ вместе с отображением : ( )() → ′ в (′ ).Двойственным образом, для контравариантного категорнозначного функтора , опреде­Rлённого на C, его конструкция Гротендика есть расслоение → C с теми же парами (, )в качестве объектов, но с отображениями, даваемыми парами : → ′ и : → ( ) ′ in ().Рассмотрим предрасслоение : E → C.

Пусть : → ′ — морфизм в C и ∈ E(′ ).Выберем декартов морфизм : * → над . Это задаёт объект * ∈ E(). По уни­версальному свойству декартовых морфизмов, сопоставление ↦→ * определяет функтор * : E(′ ) → E(), который называется функтором перехода вдоль . Заметим, что, длякаждой пары компонируемых морфизмов , , существует естественное преобразование “ко­герентности” * ∘ * → (∘ )* , которое является изоморфизмом с случае, когда — расслоениеГротендика. Для любой компонируемой тройки морфизмов , , ℎ, всякий выбор морфизмов25когерентности приводит к следующей коммутативной диаграмме: * * ℎ* - ( )* ℎ*(1.1.1 )?? * (ℎ)* - (ℎ )* .Для предопрасслоения картина получается двойственная.В литературе [19, 42] подобный выбор сопоставления ↦→ * вместе с изоморфизмамикогерентности для расслоений называется расщеплением.Определение 1.1.10.

Пусть : E → C и : E′ → C — два функтора.∙ Морфизм между и — это функтор : E → E′ коммутирующий с функторами в C,то есть, ∘ = .∙ Сечение — функтор : C → E такой что ∘ = C . Другими словами, это морфизмиз C : C → C в : E → C.Имея два морфизма , ′ : E → E′ , морфизмом между ними называется естественное преоб­разование : → ′ такое что, для каждого в категории E, накрывает () .Мы иногда будем обозначать через Lax(E, E′ ) категорию морфизмов между и , самиже функторы при этом подразумеваются ясными из контекста.

Через Sect(C, E) = Lax(C, E)мы обозначим категорию сечений функтора .Определение 1.1.11. Пусть : E → C и : E′ → C — два пред(оп)расслоения. Мор­физм : E → E′ называется декартовым, если он отправляет (оп)декартовы морфизмыE в (оп)декартовы морфизмы E′ .Обозначим через Cart(E, E′ ) полную подкатегорию Lax(E, E′ ), состоящую из декартовыхморфизмов.Согласно [42], всякое расслоение (и, аналогичным образом, опрасслоение) : E → Cможет быть, с точностью до эквивалентности, заменено на расслоение ˜ : Ẽ → C, в которомсопоставление ↦→ E() можно сделать строгим функтором посредством выбора функторовперехода вдоль морфизмов C.