Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 2

Обозначим через Γкатегорию конечных множеств и их отображений, а через Γ+ категорию конечных множестви частично заданных отображений: морфизмом → в Γ+ является отображение множеств, → определённое на подмножестве ⊂ . Тогда Γ-пространство определяется какфункторΓ+-Topв категорию топологических пространств, который удовлетворяет условиям Сигала, описан­ным ниже. Зафиксируем одноэлементное множество 1.

Тогда для любого множества иэлемента ∈ мы имеем соответствующее частично определённое отображение : → 1,заданное на подмножестве {}. Условия сигала заключаются в том, что, для каждого ∈ Γ* ,индуцированное отображение∏︀()∈( )-(1)(iii)является гомотопической эквивалентностью топологических пространств.Для каждого ∈ Γ+ есть ещё одно отображение в 1, : → 1, определённое на всёммножестве . Мы можем рассмотреть диаграмму следующего вида()∈( )(1)( )(iv)-∏︀(1).Выбирая гомотопический обратный к левому отображению, мы получаем, неканонически,операцию умножения : (1) → (1) in Top. Можно проверить, что в гомотопическойкатегории Ho Top, тип, соответствующий (1), оснащён структурой коммутативного монои­да.Следует заметить, однако, что Γ-пространство несёт в себе значительно больше ин­формации, нежели чем структура гомотопического моноида на (1).

В своей работе Сигал,точно так же как Мэй в случае с операдами, использовал Γ-пространства для описания бес­конечнократных пространств петель и машины распетливания. С современной точки зрения,Γ-пространство является правильным описанием гомотопически когерентно коммутативногомоноида в топологических пространствах.

В частности, Γ-пространства описывают тот жекласс структур, что и E∞ -алгебры в Top.Вместо Γ можно рассмотреть другие категории, например, категорию O конечных полно­стью упорядоченных множеств. Можно затем похожим образом определить категорию O+ , с8отображениями → ′ даваемыми морфизмами → ′ , где ⊂ — вложение интервала.Модифицируя определения надлежащим образом, можно моделировать ассоциативные мо­ноиды (без коммутативности) как функторы O+ → Top со специальными условиями. Явныепримеры таких функторов можно получать из обычных пространств петель. Более общо,можно рассмотреть, вместо Γ и O, операторную категорию C в смысле [6]: с точностью донекоторых условий конечности, в C, по определению, существует конечный объект 1 и выде­ленный класс “допустимых” мономорфизмов, которые получаются как композиции обратныхобразов отображений 1 → для ∈ C (требуется, чтобы эти обратные образы существова­ли).

С помощью допустимых мономорфизмов можно ввести понятие частично определённыхотображений и построить категории C+ (которые в основном тексте мы обозначаем AC ). Вработе [6] показано, что существуют операторные категории O , такие что -кратные про­странства петель — примеры E -алгебр — могут быть описаны как сигалоподобные объекты(O )+ → Top. С другой стороны, вместо Top можно рассмотреть любую другую гомотопиче­скую категорию, то есть, категорию M с подкатегорией слабых эквивалентностей W, такуючто M имеет (гомотопические) произведения, и определить объекты Сигала как функторыC+ → M, такие что отображения, подобные описанным в диаграмме (iii), являются слабымиэквивалентностями.Подход Сигала контрастирует с операдным в том, что умножения : (1) → (1)для Γ-пространства не заданы канонически и вместо этого строятся с помощью свойств, в то время как задать модель O для E∞ -операды в Top и алгебру над ней значит за­дать большое количество разных структур.

В частности, для ||-элементного множества не требуется, чтобы () было равно или даже эквивалентно O(||) × (1) . Информацияо свойствах умножения в формализме Сигала кодируется, таким образом, целиком и пол­ностью категорией Γ, так что для выбора остаётся куда меньше свободы. Можно было бынадеяться, что в некоторых ситуациях было бы намного проще построить и работать с сига­ловыми структурами, нежели чем с операдами. Более того, имеется значительное сходствомежду Γ-пространствами Сигала и факторизационными алгебрами: для факторизационнойалгебры A, отображения вида (i) и (ii) дают, после перехода к слоям, диаграммы, в точностиподобные (iv).Тем не менее, если мы попробуем продолжить формализм Сигала в недекартовы моно­идальные категории, например в категорию цепных комплексов, то мы немедленно попадёмв тупиковую ситуацию.

Чтобы получить отображения вида (iii) в подходе Γ-пространств, мыиспользовали универсальное свойство декартового произведения ×, которое отсутствует длятензорного произведения ⊗ в DVect .9Язык расслоений ГротендикаЕсть способ справиться, а точнее, уйти от этой проблемы. Весьма известное наблюде­ние [31, 37, 41] говорит нам о том, что всякая симметрическая моноидальная категория Mявляется слабо коммутативным моноидом в категории всех категорий, а значит, её можноописать, с точностью до эквивалентности, как Γ-категорию . То есть, — функтор из Γ+в категории, такой что (1) ∼= M, и что отображения (iii), () −→∏︁ (1),являются эквивалентностями категорий. Для того чтобы не выбирать эквивалентность меж­ду M и (1), необходимо либо работать с псевдофункторами из Γ+ в категории, либо, чтоэквивалентно, с опрасслоениями Гротендика [19, 42] над Γ+ : каждое из понятий описываетслабое ковариантное Γ+ -индексированное семейство категорий.Для того чтобы [31] непосредственно получить опрасслоение Гротендика из симметри­ческой моноидальной категории M с моноидальным произведением ⊗, определим M⊗ каккатегорию∙ с объектами (, { }∈ ) где ∈ Γ+ и каждый является объектом M.∙ с морфизмами (, { }∈ ) → (, { }∈ ) состоящими из частично определённого отоб­ражения : → , и для каждого ∈ , морфизма ⊗∈ −1 () → .

В случае, когда −1 () пусто, моноидальное произведение над этим множеством равно единичному объ­екту. Композиции тогда можно определить с помощью изоморфизмов когерентностидля произведения ⊗ : M × M → M и единичного объекта.Естественный функтор : M⊗ → Γ+ — опрасслоение Гротендика, что, повторим, озна­чает, что отображение ↦→ −1 () = M функториально в слабом, но когерентном смысле.Перед тем как продолжить, мы бы хотели высказать несколько замечаний насчёт вы­шеописанной конструкции M ↦→ M⊗ .

Во-первых, вместо симметрической моноидальной ка­тегории, можно рассматривать различные виды моноидальных структур (например, несим­метрические или с действием группы кос) и кодировать их как специальные опрасслоенияN⊗ → C+ над (−)+ -конструкциями подходящих операторных категорий C. Можно пойти виное направление в вопросе обобщения. Например, напомним, что (представимой) псевдотен­зорной категорией [7] называется категория T вместе с набором функторов ⊗ : T → T и с,для каждого набора 1 , ...

∈ N, естественными преобразованиями⊗ ∘ (⊗1 , ..., ⊗ ) → ⊗1 +...+10функторов T 1 +... → T, так что все естественно возникающие диаграммы коммутативны.Чтобы получить примеры псевдотензорных категорий, рассмотрим операду O в симметриче­ской моноидальной категории M; тогда, этим данным можно сопоставить псевдотензорнуюкатегорию, обозначенную M(O), попросту полагая ⊗ (1 , ..., ) := O() ⊗ 1 ⊗ ... ⊗ . Да­лее, имея псевдотензорную категорию T, можно попробовать ту же конструкцию, которуюмы описали выше для симметрических моноидальных категорий. При детальном рассмотре­нии обнаруживается, что лучше производить эту конструкцию над двойственной категориейop⊗Γop+ .

Результат, T → Γ+ , оказывается предрасслоением в смысле Гротендика [19].Возвращаясь к симметрическим моноидальным категориям, рассмотрим коммутатив­ный моноид ∈ M. Тогда можно задать сечение Γ+ → M⊗ опрасслоения : M⊗ → Γ+ поправилу ↦→ (, { }), так что каждый = . Сечения этого типа могут быть охарак­теризованы посредством подходящих условий нормировки: если рассмотреть отображение : → in Γ+ , значение сечения на определяется морфизмом ! () → ( ) в M ,где ! : M → M — функтор “перехода”! : (, { }∈ ) ↦→ (, { }∈ ), = ⊗∈ −1 .(v)В таком случае, сечение происходит из коммутативного моноида в M тогда и только тогда,когда для каждого инертного отображения : → , — частично определённого отображе­ния, индуцированного вложением : ˓→ , ∘ = , — соответствующее отображение! () → ( ) — изоморфизм.

Отсюда следует, что () ∼= ((1), ...(1)) естественнымобразом.Нет, однако, очевидного способа написать диаграммы для условий сигала, используяязык сечений опрасслоения M⊗ → Γ+ . Очень важно заметить, что когда M = DVect иℎ > 0, коммутативные -алгебры (которые описываются как сечения) не являются вер­ными объектами для рассмотрения и не совпадают, даже с точностью до квази-изоморфизма,с E∞ -алгебрами. Наконец, можно проверить, что операторные категории в смысле [6], отве­чающие E -структурам, не дают ничего большего, чем коммутативные или ассоциативныеалгебры в M, будучи рассмотренными в контексте категорных сечений.Вышеописанные наблюдения мотивируют [31] перейти к рассмотрению моноидальных∞-категорий, и в то время как получающийся формализм в принципе решает упомянутыепроблемы, размеры получающейся машинерии огромны.

Философским объяснением этогофакта может быть то, что замена M⊗ → Γ+ на высшекатегорный аналог означает взятиефибрантной замены внутри выбранной модели для высших категорий. Получающиеся в ре­зультате соотношения когерентности могут быть очень сложны для того, чтобы с ними ра­11ботать.Цели и задачи диссертацииДабы получить сигалово описание не меняя данных со стороны M, мы бы предпочлииметь объект, который производит диаграммы в M следующей формы:(vi)(1) ∼= ( )! ()-(1),где ( )! — функтор перехода вдоль отображения : → 1, −1 (1) = . Можно затемпотребовать, чтобы левое отображение было слабой эквивалентностью, в случае если такиеесть в M.

В большей общности, вместо M⊗ → Γ+ можно рассмотреть общие опрасслоенияГротендика E → C и задаться вопросом: есть ли способ определить объекты, такие что поотображению : → ′ в C мы бы получали диаграммы формы ! () ←− −→ (′ ) (где! : E() → E(′ ) — функтор перехода, индуцированный свойствами опрасслоения E → C).Тогда можно было бы потребовать, чтобы левая стрелка была слабой эквивалентностью, вподходящем смысле. Наконец, условия нормировки (подобные тем, что появлялись для сече­ний-алгебр выше) вдоль подмножества S отображений C можно было бы сформулировать кактребования для −→ (′ ) быть слабой эквивалентностью в случае, когда принадлежитS.Основные результаты диссертации, выносимые на защитуПроизводные сеченияВ рамках данной диссертации мы вводим производные, или Сигаловы, сечения опрас­слоений со слабыми эквивалентностями, которые воспроизводят, в частности, диаграммывида (vi).Опишем вкратце конструкцию.