Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 9

Далее мы не будем писать←−ограничение рядом с ∙ .Поскольку категория ∖L имеет начальный объект,∖LLlim∖L (lim∖L∙ ) ∼∙ )( → ) ∼∙ )(),= (lim= (lim←−←−←−←−наша формула — просто иной способ записи предела в Sect(L , E).Пусть : → — морфизм из R. Тогда нам нужно построить () : () → ().Структура полурасслоения на E → C означает, что нужно построить E()-отображение! () → () для некоторого опдекартового морфизма () → ! (). Отметим, что для вся­кого L -морфизма : → ′ , факторизационная система на C даёт единственную диаграммувида(1.4.3 )- ′′С вертикальными стрелками в L и горизонтальными стрелками в R.

В смысле подка­??тегорий, можно сказать, что имеем индуцированный функтор : ∖L → ∖L , ( : → ′ ) ↦→ ( : → ′ ).Как обычно, по всякому функтору : ∖L → M, мы имеем естественное отображениемежду пределами lim∖L → lim∖L * . Таким образом, чтобы построить отображение 1←−←−в1! lim∖L (lim∖L∙ ) −→ lim∖L (lim∖L∙ )←−←−←−←−мы можем, что эквивалентно, попробовать построить 2 в2! lim∖L * (lim∖L∙ ) −→ lim∖L (lim∖L∙ ).←−←−←−←−Вместо этого, пользуясь универсальным свойством пределов, мы можем попробовать постро­ить 3 в3lim∖L ! * (lim∖L∙ ) −→ lim∖L (lim∖L∙ ).←−←−←−←−Теперь можно сбросить lim∖L и попробовать построить морфизм функторов 4←−4! * (lim∖L∙ ) −→ (lim∖L ∙ ).←−←−Используя обозначения диаграммы (1.4.3 ), вычисленное на : → ′ , отображение 4 далобы нам4 ()! * (lim∖L∙ )( → ′ ) −→ * (lim∖L∙ )( → ′ ).←−←−45Вспоминая об отображении замены базы (Предложение 1.4.13) ! * → * ! и равенствах(lim∖L∙ )( → ′ ) = (limL )(′ )←−←− ∙(и того же самого для , ′ ), мы видим, что вместо 4 можно попробовать построить отобра­жения5 ()* ! (limL )(′ ) −→ * (limL )(′ )←− ∙←− ∙или что даже проще, ! (limL )(′ ) → (limL )(′ ).

Если рассмотреть внимательно объект←− ∙←− ∙! (limL )(′ ), то можно заметить естественные отображения←− ∙! (limL )(′ ) → ! (′ ) → (′ )←− ∙с первой стрелкой — значением ! на проекции из предела, и второй стрелкой, которая про­исходит из структуры сечения . Собирая эти отображения вместе, получаем 5 () длякаждого : → ′ , и, как следствие, 4 , 3 , 2 и 1 .Это определяет () : lim ∙ () → lim ∙ () для R-отображений категории C. Факто­←−←−ризационная структура на C и длительная проверка позволяют убедиться, что ↦→ () —действительно сечение E → C, которое имеет нужное универсальное свойство.Напомним, что факторизационный функтор замкнут справа (Определение 1.4.4) еслидля любого морфизма → (′ ) существует факторизация () −→ (′′ ) −→ (′ )с : ′′ → ′ в R ′ ⊂ C′ .

Отсюда следует, что, для всякого морфизма : 1 → 2 в R, имеетсяследующая диаграмма1 ∖L ′L ′11 ∖L62 ∖L ′6L22 ∖Lс функторами L ′ , L , даваемыми факторизацией морфизмов. Необходимо проявить неко­торую аккуратность с обратными образами E → C. Обозначив через 1 : 1 ∖L → C,2 : 2 ∖L → C очевидные проекции, имеем, что факторизации1?1-2- ?2(1.4.4 )которые определяют L как сопоставление ↦→ , приводят к тому, что есть естественноеотображение : 1 L → 2 с компонентами, даваемыми морфизмами типа в диаграммевыше, которые принадлежат к R.46Лемма 1.4.18. (Ср.

Предложение 1.2.2) Пусть : E → C — полурасслоение над (C, L , R)и , : D → C — два функтора со значениями в L , и : → — естественное преобра­зование с компонентами в R. Тогда1. оба функтора * E → D и * E → D — предрасслоения,2. сопоставление (, , () = ()) ↦→ ( ()! , ) обладает свойством, что ( ()! ) =(), и задаёт морфизм предрасслоений ! : * E → * E над D,3. имеется индуцированный функтор ! : Sect(D, * E) → Sect(D, * E) на категорияхсечений. Более того, для каждого ∈ Sect(C, E), имеется естественное (по ) отоб­ражение ! * → * .4. Пусть : D′ → D — функтор, и предположим, что имеются правые сопряжённые,* : Sect(D, * E) Sect(D′ , * E) : * ,* : Sect(D, * E) Sect(D′ , * E) : *к функторам ограничения * , * .

Тогда имеем естественное отображение! * −→ * !′где !′ : Sect(D′ , * * E) → Sect(D′ , * * E) — функтор, индуцированный в предыдущемпункте.Доказательство. Первое утверждение очевидно. Для второго, осталось доказать, что ↦→ ()! — действительно морфизм предрасслоений. Имея отображения : → ′ , можносформировать следующий квадрат′ (′)′ ()- ?(1.4.5 )?Используя послойно-декартову факторизацию на * E, остаётся проверить, что происходит сдекартовыми отображениями * → , ( ) = ′ . Мы видим, что функтор замены базыдля диаграммы выше даёт отображение ()! * −→ * (′ )! где неявно мы выбрали декартов морфизм * (′ )! → (′ )! .

Таким образом, получаемкомпозицию ()! * −→ * (′ )! → * (′ )! → (′ )! 47нужную для конструирования морфизма * E → * E.Функтор ! из третьего утверждения попросту индуцируется посткомпозицией с функто­ром из второго утверждения. Существование естественного семейства отображений ! * →* доказывается так же, как и в Лемме 1.2.2: на объекте ∈ D, ()! ( ()) → (())даётся структурой сечения вдоль R-морфизма () : () → ().Для четвёртого утверждения, рассмотрим диаграммуSect(D, * E)*Sect(D′ , * E)!′!?Sect(D, * E)*?Sect(D′ , * E)и заметим, что она коммутативна с точностью до изоморфизма. А потому искомое отобра­жение! * −→ * !′даётся обычным аргументом о замене базы.Заметим, что ! переводит декартовы отображения в декартовы в том случае, когдаморфизм замены базы в диаграмме (1.4.5 ) является изоморфизмом.Докажем теперь утверждение про сопряжённые функторы, которое подобно тому, чтомы имели про пределы.

А именно, пусть E → C — полурасслоение, и факторизационныйфунктор : D → C замкнут справа. Мы хотим вынести заключение о существовании правогосопряжённого к функтору обратного образа * : Sect(C, E) → Sect(C, E) из предположениясуществования правого сопряжённого к L* : Sect(L , E) → Sect(L ′ , E).Определение 1.4.19. В вышеописанной ситуации, будем говорить, что функтор обратногообраза L* допускает поточечный правый сопряжённый, если1. функтор L* : Sect(L , E) → Sect(L ′ , E) допускает правый сопряжённый L ,* ,2. для каждого ∈ L , функтор обратного образа * : Sect(∖L , E) → Sect(∖L ′ , E) вдольиндуцированного функтора : ∖L ′ → ∖L допускает правый сопряжённый ,* , иболее того, естественное отображение замены базы * L ,* → ,* ′* , происходящее издиаграммыL′′6∖L ′является изоморфизмом.L -L6∖L ,48Проще говоря, это означает, что ,* ′* можно вычислять как L ,* , ограниченныйна комма-категорию.Предложение 1.4.20.

Пусть : C′ → C — замкнутый справа факторизационный функ­тор, а E → C — послойно полное полурасслоение над C. Допустим, что функтор L* :Sect(L , E) → Sect(L ′ , E) допускает поточечный правый сопряжённый L ,* . Тогда функтор * : Sect(C, E) → Sect(C, E) допускает правый сопряжённый * , такой что естественнаядиаграмма замены базыSect(D, E)?Sect(L , E)′* ⇒L,*Sect(C, E)?Sect(L , E),(с вертикальными морфизмами, даваемыми ограничениями), коммутативна с точностьюдо изоморфизма.Доказательство.

Будем действовать так же, как и в Предложении 1.4.16. Для ∈ C и ∈ Sect(C′ , E), положим () := * () = lim∖L ,* (|∖L ′ )←−где : ∖L ′ → ∖L — функтор, индуцированный . Заметим, что () ∼= L * ().Предположим, что дано отображение : 1 → 2 . Нам нужно построить1! lim ∖L 1 1 ,* (|1 ∖L ′ ) −→ lim ∖L 2 2 ,* (|2 ∖L ′ )←− 1←− 2Поскольку замкнут справа, имеем диаграмму1 ∖L ′L ′11 ∖L62 ∖L ′6L22 ∖Lс функторами L ′ , L , даваемыми факторизацией морфизмом. Обозначив через 1 : 1 ∖L →C, 2 : 2 ∖L → C очевидные проекции, получаем, что факторизации1-2?1-(1.4.6 )?2дают, как и ранее, естественное преобразование : 1 L → 2 с компонентами, даваемыми в диаграмме выше, принадлежащими к R.49Можно попробовать построить вместо этого 2 в2*1 1 ,* (|1 ∖L ′ ) −→ lim ∖L 2 2 ,* (|2 ∖L ′ ).! lim ∖L L←− 2←− 2В свою очередь, по универсальному свойству предела, можно попробовать отыскать отобра­жение 3 в3*1 1 ,* (|1 ∖L ′ ) −→ lim ∖L 2 2 ,* (|2 ∖L ′ ).lim ∖L ! L←− 2←− 2Теперь можно забыть о lim ∖L и построить вместо этого отображение функторов 4←− 24*1 1 ,* (|1 ∖L ′ ) −→ 2 2 ,* (|2 ∖L ′ ).! LВ обозначениях диаграммы (1.4.7 ), происходящей из факторизации на C, отображение 4дало бы следующее4 ()! * 1 ,* (|1 ∖L ′ )(1 → 1 ) −→ * 2 ,* (|2 ∖L ′ )(2 → 2 ).Вспоминая о морфизме замены базы ! * → * ! , мы видим, что вместо 4 , мы можем строитьотображения5 ()! 1 ,* (|1 ∖L ′ )(1 → 1 ) −→ 2 ,* (|2 ∖L ′ )(2 → 2 ).**— обратный образЗаметим, что 1 ,* (|1 ∖L ′ )(1 → 1 ) = L1 ,* (|1 ∖L ′ )(2 → 2 ), где Lна сечениях, и мы ищем 5 в5*! L1 ,* (|1 ∖L ′ ) −→ 2 ,* (|2 ∖L ′ )с ! индуцированным из : 1 L → 2 по Лемме 1.4.18.Имеется морфизм замены базы**L1 ,* → ′2 ,* L′с компонентами, лежащими в категории Sect(2 ∖L , (1 L )* E).

Штрих над функтором ′2 ,*обозначат, что он сопряжён на сечениях предрасслоения (1 L )* E, а не 2* E. Теперь, применим! и получим′ ***! L1 ,* → ! ′2 ,* L′ → 2 ,* ! L ′′′где вторая стрелка существует вследствие пункта (4) Леммы 1.4.18, где ′ : 1′ L′ 2 — есте­ственное преобразование между очевидными проекциями 1 : 1 ∖L ′ → C′ , 2 : 2 ∖L ′ → C′ иL ′ .В итоге мы видим, что для того, чтобы получить 5 , можно, что эквивалентно, построить6 в,* 62*2 ,* !′ L′ |1 ∖L ′ −→ 2 ,* |2 ∖L ′ ,50или, убирая 2 ,* ,6*!′ L′ |1 ∖L ′ −→ |2 ∖L ′ ,Это отображение есть по пункту (3) Леммы 1.4.18, поскольку — полноценное сечениеполурасслоения.

Если рассмотреть факторизационную диаграмму, определяющую L ′ ,1 2? (1 ) ()-(1.4.7 )? (2 ),отображение 6 () отвечает ()! ( (1 )) → ( (2 )). А потому мы получаем 6 и, обращаявсю дискуссию, 1 .Следствие 1.4.21. Пусть : D → C — замкнутый справа факторизационный функтор,такой что его ограничение L : L ′ → L — замкнутое вложение нётеровых категорий.Тогда для всякого послойно полного полурасслоения E → C, имеется сопряжённая пара * :Sect(C, E) Sect(D, E) : * , и правый сопряжённый можно вычислить, ограничивая налевые части факторизационных систем.Доказательство.

Правый сопряжённый для L : L ′ → L существует благодаря Предло­жению 1.3.15 и является поточечным благодаря Предложению 1.3.16.51Глава 2Модельные структуры Риди2.1. Модельные категории и локализацияОпределение 2.1.1. Гомотопической категорией называется пара (M, W), состоящая изкатегории M и подкатегории W, называемой категорией слабых эквивалентностей.Определение модельной категории, используемое в этой работе, следующее:Определение 2.1.2.