Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 4

Заметим что D(B, )эквивалентна категории (, ) — производной категории локально постоянных пучков на. Можно тогда доказать, что * строго полон, и что его образ состоит из тех функторовI → DVect которые локально постоянны, в том смысле, что они отправляют в квази-изо­морфизмы все отображения в категории I. Мы также видим, что D(I, ) — относительнопростой объект для изучения: эта категория эквивалентна категории модулей над конечно­мерной алгеброй, порождённой I. В частности, достаточно просто строить объекты D(I, ),которые, окажись они локально постоянными, дают примеры представлений группы .Мы бы хотели доказать обобщение этого результата в нелинейном контексте модель­ных опрасслоений. Любое модельное опрасслоение E → C можно перетащить назад вдольфунктора : D → C, что даёт модельное опрасслоение * E → D.

Мы также имееместественно индуцированный функтор F* : PSect(C, E) → PSect(D, E), который сохраня­ет производные сечения и слабые эквивалентности между ними, что индуцирует функторhF* : Ho DSect(C, E) → Ho DSect(D, * E).Напомним, что для изучения алгебр, нам также нужно рассмотреть подмножество Sотображений в C, и работать с теми сечениями, которые локально постоянны вдоль S. Обыч­ное сечение : C → E является S-локально постоянным, если отправляет морфизмы измножества S в опдекартовы морфизмы E, то есть, образ : → из S под действием есть () → ! () для некоторого подходящего выбора функтора перехода ! .

Подобноеже определение можно сделать для производных сечений. А именно, производное сечение : C → E является S-локально постоянным если для любого отображения C, индуцирован­ного вложением интервала на правый конец,(0 → ... → → ... → ) −→ ( → ... → ),так что вдобавок −1 → принадлежат к S для 1 ≤ ≤ , соответствующий образ(0 → ... → → ...

→ ) −→ ( → ... → )17является слабой эквивалентностью E( ). Это определение, в частности, означает, что длялюбого отображения : 0 → 1 in S, обе стрелки в ассоциированной диаграмме(0 → 1 )! (0 )(1 ).являются слабыми эквивалентностями.Обозначим через Ho DSectS (C, E) категорию S-локально постоянных производных се­чений. Имея функтор : D → C, обозначим через * S подмножество стрелок D, кото­рые отправляет в S.

Функтор hF* можно естественно ограничить, индуцировав hF* :Ho DSectS (C, E) → Ho DSect * S (D, * E).Теорема 4.2.11. Пусть E → C — модельное опрасслоение, S — подмножество мор­физмов в C, и : D → C — резольвента. Тогда hF* : Ho DSectS (C, E) → Ho DSect * S (D, E)является эквивалентностью категорий.Сей результат является своего рожа “швейцарским ножом”: он позволяет переходить отодной категории, Ho DSectS (C, E), к другой, Ho DSect * S (D, E), так что обе категории представ­ляют одну и ту же сущность, и этот факт можно использовать для доказательства большогоколичества более сложных утверждений.Наша стратегия доказательства Теоремы 4.2.11 состоит в конструкции функтора пря­мого образа hF! : Ho PSect(D, * E) → Ho PSect(C, E).

В общей ситуации, этот функтор несохраняет производные сечения, пусть и можно нарисовать определённые диаграммы-доми­ки, которые указывают на то, что hF! ведёт себя как левый сопряжённый к hF* . Тем неменее, если — резольвента, то hF! ограничивается до функтора hF! : Ho DSect * S (D, E) →Ho DSectS (C, E), который, как можно проверить, является эквивалентностью категорий, об­ратной к hF* .

В этом смысле, наш подход близок по своей философии к Костелло [14], кото­рый строит производную эквивалентность посредством явного представления пары функто­ров с естественными преобразованиями, которые становятся изоморфизмами после локали­зации. Функтор hF! вычисляется явным образом, что позволяет проверить сохранение всехнеобходимых условий на предсечения. Его конструкция, пусть и куда менее ad hoc по срав­нению с [14], всё же, весьма замысловата. Она включает в себя манипуляции с диаграммамив C и D, даваемыми конечными частично упорядоченными множествами с начальным иконечным элементами, а также прямой образ вдоль опрасслоения над C, слои которого —симплициальные замены категорий D(0 → ...

→ ). Читатель может обратиться к Главе 4за всеми необходимыми деталями.18Гипотеза ДелиняПрименим же теперь полученный результат для того, чтобы доказать гипотезу Делиняв рамках подхода производных сечений. Для начала, определим операторные категории B иT.Операторная категория B получается из стратифицированного фундаментального груп­поида Π(()) [43] пространства Рана [7] () двумерного диска . Можно сказать,1что B является “утолщением” категории Γ, так что вместо симметрических групп, B ()есть группа || крашеных кос.

Естественный функтор B → Γ позволяет нам взять опрассло­⊗ение DVect⊗ → Γ+ и индуцировать новое опрасслоение DVect → B+ . Производные сече­ния полученного опрасслоения отвечают факторизационным алгебрам на двумерном дискев смысле [7].Объект категории T — планарное дерево с корнем, частью вершин, отмеченных конеч­ным множеством, так что неотмеченные вершины (кроме корня) стабильны, то есть, имеютвалентность не менее трёх. Подобные деревья уже были рассмотрены в [27]. Отображениедвух планарных маркированных деревьев (, ) → ( ′ , ′ ) даётся отображением конечныхмножеств → ′ , и отображением определённого вида между клеточными комплексами,| | → | ′ |, связанными с деревьями.

Есть ещё одна категория T̃, чьи объекты те же, чтои в категории T, плюс вложение в двумерный диск , которое отправляет корень каждогодерева в одну и ту же отмеченную точку на границе. Забывание данных вложения индуци­рует эквивалентность категорий T̃→T,˜и забывание всего, кроме отмеченных вершин и ихвложений, даёт функтор T̃ → B. Таким образом, мы получаем функтор : T → B. Можнотогда доказать результат, уже частично набросанный в [26, 27]:Теорема 5.4.16. Функтор : T → B является резольвентой.Этот результат позволяет построить эквивалентность между категориями B и T-алгебр.Обозначим через DAlg(B, DVect ) полную подкатегорию DSect(B+ , DVect ), состоящую изпроизводных алгебр — тех производных сечений, которые локально постоянны вдоль под­множества инертных отображений B категории B+ .

Другими словами, можно потребоватьусловия нормировки ровно так же, как и в случае обычных сечений. Можно затем использо­вать функтор и получить опрасслоение DVect⊗ → T+ . Повторное применение Теоремы4.2.11 тогда позволяет доказать, что функторh* : Ho DAlg(B, DVect) → Ho DAlg(T, DVect)строго полон, и что его образ состоит из тех производных алгебр, которые * ((B+ )) -19локально постоянны, где (B+ ) обозначает подмножество изоморфизмов B+ . грубо гово­ря говоря, * ((B+ ))-локально постоянная производная T-алгебра отправляет в слабыеэквивалентности те отображения T+ , которые становятся изоморфизмами в B+ .

Таким об­разом, мы получаем воспроизведение производно-категорного результата, но в новом, неад­дитивном контексте.В отличие от B, категория T ведёт себя как комбинаторный объект и имеет конеч­ные множества морфизмов, так что строить объекты в Ho DAlg(T, DVect) относительно про­сто. Пример, описанный в диссертации, состоит в производной T-алгебре, соответствующей ∙ (, ).

Благодаря вышеописанной эквивалентности, на комплексе Хохшильда также воз­никает структура B-алгебры, что даёт доказательство гипотезы Делиня в формализме произ­водных алгебр. Несмотря на то, что гипотеза Делиня — не новый результат и служит для наскак, скорее, тестовый случай, мы склонны считать, что наша перспектива на доказательствоГипотезы имеет достоинство по сравнению с операдным подходом. Функтор : T → B име­ет явную и относительно контролируемую комбинаторику, и существование E2 -структуры на ∙ (, ) в формализме производных сечений — по большей части, формальное следствиетого факта, что является резольвентой.

Эта общая прозрачность — то, что заставляетнас верить в высокий потенциал формализма Сигала.Научная новизна, теоретическая и практическая значимостьПонятия производного сечения, полурасслоения и некоторые вспомогательные матема­тические объекты, например, нётеровы категории, являются новыми. Теоремы 2.2.5, 4.2.11,а также Теорема 5.4.16 в описанной формулировке, — новые результаты.Данная диссертация имеет теоретический характер, и может быть полезна различнымспециалистам, как со стороны гомологической и гомотопической алгебры, так и математиче­ской физики. Значимость результатов диссертации — в описании алгебраического подхода,альтернативного операдам, который позволяет дать новые, более прозрачные доказатель­ства уже известных утверждений, и исследовать структуры, неизвестные для описания вформализме операд.Методология и методы исследованияОсновной математический аппарат, применяемый в диссертации — теория модельныхкатегорий в смысле [35, 20, 24, 36].

Методы исследования — применение различных приёмов20гомотопической алгебры [12, 15, 36], с полным избежанием неявных конструкций наподобиекофибрантно-порождённых модельных структур или высших категорий.Апробация результатовРезультаты диссертации были опубликованы в следующих статьях и препринтах:1. [1] Э. Р. Бальзин, Разрешения категорий и производные сечения, Успехи математиче­ских наук 69:5 (2014), страницы 918-9202. [2] Э. Р. Бальзин, Производные сечения, факторизационные алгебры и гипотеза ДелиняМатематические заметки, 2016, том 100, выпуск 2, страницы 291–2953. [4] Edouard Balzin, Derived sections of Grothendieck fibrations and the problems of homotopi­cal algebra, http://arxiv.org/abs/1410.3387, на рецензированииРезультаты диссертации были доложены на докладах на следующих конференциях исеминарах:1.