Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра)

Национальный Исследовательский УниверситетВысшая Школа ЭкономикиНа правах рукописиБальзин Эдуард РафитовичРасслоения Гротендикаи Гомотопическая Алгебра01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чиселДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительд.ф.-м.н., профессор РАНД.

Б. КалединМосква – 20162АннотацияДанная диссертация посвящена изучению семейств категорий, оснащённых гомотопическойструктурой. Диссертация состоит из трёх основных результатов:1. Обобщение модельной структуры Риди, построенное в данной работе для сечений семействакатегорий, индексированного категорией Риди. В отличие от предыдущих работ (например,статьи Симпсона-Хиршховица), требования, налагаемые нами на семейство, минимальны, апотому наш результат применим в ситуациях, когда функторы перехода в семействе нелиней­ны.2. Расширение формализма Сигала для гомотопических алгебраических структур на произволь­ные моноидальные категории, с применением операторных категорий в смысле Барвика. Нашподход основан на описании моноидальных структур как расслоений Гротендика, и мы вво­дим понятие производных сечений этих расслоений, используя симплициальные замены Бус­фильда-Кана.

Наш первый результат касательно модельных структур даёт нам средства дляработы с производными сечениями.3. Доказательство результата типа “гомотопический спуск”, который даёт достаточные условиядля того, чтобы функтор обратного образа между категориями производных сечений являлсяэквивалентностью категорий.

Мы доказываем этот результат для функторов, которые удовле­творяют условиям типа “Теорема А Квиллена”, и которые мы называем разрешениями. Одинпример такого функтора-разрешения даётся функтором из категории планарных маркирован­ных деревьев Концевича-Сойбельмана в стратифицированный фундаментальный группоидпространства Рана 2-диска. Применение результата гомологического спуска в этом случае да­ёт новое доказательство гипотезы Делиня, что даёт, таким образом, альтернативу подходам,использующим формализм операд.3ОглавлениеВведение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Актуальность темы исследования, степень разработанности . . . . . . . . . . . . . .5Цели и задачи диссертации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11Основные результаты диссертации, выносимые на защиту . . . . .

. . . . . . . . . .11Научная новизна, теоретическая и практическая значимость . . . . . . . . . . . . .19Методология и методы исследования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19Апробация результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20Содержание диссертации . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21Глава 1.Расслоения Гротендика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231.1.Декартовы морфизмы, предрасслоения, сечения . . . . . . . . . . . . . . . . .231.2.Операции и конструкции . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .261.3.Пределы и сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291.3.1.Базовые результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291.3.2.Локально нётеровы категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31Факторизационные системы и полурасслоения . . . . . . . . . . . . . . .

. . .371.4.1.Индексирование факторизационными категориями . . . . . . . . . . .391.4.2.Полурасслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401.4.3.Пределы и сопряжённые функторы для сечений . . . . . . . . . . . . .43Модельные структуры Риди . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .512.1.Модельные категории и локализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .512.2.Полурасслоения над категориями Риди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .522.2.1.Модельные полурасслоения . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .522.2.2.Случай “прямой” категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .542.2.3.Окончание доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592.3.1.Над категорией симплексов . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .60Производные сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623.1.Симплициальные замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623.2.Категория производных сечений . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .651.4.Глава 2.2.3.Глава 3.43.2.1.Предсечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653.2.2.Производные сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66Резольвенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .70Π-замены и башни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .734.1.1.Категория Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .734.1.2.Π-индексированные категории . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .744.1.3.K-замены и башни функторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .804.2.Прямой образ и эквивалентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .864.3.Резольвенты факторизационных категорий . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .92Глава 4.4.1.Глава 5.5.1.Сигаловы алгебры и гипотеза Делиня . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Операторные категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1.1.Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 1015.1.2.Классификаторы алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2.C-категории и производные алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.Резольвенты операторных категорий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.4.Планарные деревья . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.5.5.4.1.Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4.2.Деревья как резольвента B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Бимодульное опрасслоение . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 112Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175ВведениеАктуальность темы исследования, степень разработанностиE -операды и факторизационные алгебрыФормализм операд [34] появился как способ описывать алгебраическую структуру кратных пространств петель. Операдой O в категории топологических пространств Top на­зывается симметрическая последовательность пространств {O()}∈N , где каждое O() ∈ Topследует воспринимать как пространство операций с входами и одним выходом.

Вдобавокдолжны быть заданы отображения композиции O() × O() → O( + − 1) уважающиедействие симметрической группы, ассоциативные и с единицами. Важный набор примеровоперад даётся так называемыми операдами маленьких -дисков E , для которых E ()— с точностью до гомотопии, конфигурационное пространство точек в -диске. Любое-кратное пространство петель является алгеброй над E , другими словами, заданы отоб­ражения E () × → удовлетворяющие определённым условиям.Вместо категории топологических пространств можно рассмотреть произвольную сим­метрическую моноидальную категорию M с моноидальным произведением, обозначенным ⊗.Определения операды и алгебры над ней легко обобщить: как в отображениях композицииO() ⊗ O() → O( + − 1), так и в отображениях структуры O-алгебры, O() ⊗ ⊗ → ,нужно вставить моноидальное произведение ⊗ вместо ×.

В Top естественно рассматриватьоперады и алгебры над ними с точностью до гомотопической эквивалентности. Если мыработаем в моноидальной категории M с заданной гомотопической структурой (например,M может быть моноидальной модельной категорией [24]), можно также изучать операды вM с точностью до слабой эквивалентности в смысле категорной теории гомотопий [15]. Сэтой точки зрения, в качестве операды в Top обычно обозначаемой как E∞ можно взять лю­бую операду O такую что O() стягиваемо со свободным действием симметрической группы[9, 11, 38].Конкретный пример категории, отличной от Top даётся DVect , категорией цепныхкомплексов над полем .

Взяв сингулярный цепной комплекс каждого из пространств E (),составляющих операду -дисков, мы получим операду в DVect , обозначаемую нами E .Алгебры над операдами E изучались с большим интересом в последние годы. ПримеромE2 -алгебры является когомологический комплекс Хохшильда ∙ () для -алгебры , ко­торый появляется во многих областях математики, например в контексте топологическихквантовых теорий поля [14].

Проблема существования структуры E2 -алгебры на ∙ ()6также известна как гипотеза Делиня, и чёткая её формулировка даётся с точностью до квази­изоморфизма: существует операда O в DVect , квази-изоморфная E2 , которая действует на ∙ (). Доказательства этого результата (см., например, [8, 32, 39]) состоят из большогоколичества работы по конструированию явной версии O, её действия на ∙ (), и цепочкиквази-изоморфизмов, соединяющих O с E2 .Громоздкость доказательств гипотезы Делиня и формализма операд вообще происходитиз того факта, что две операды могут быть очень разных сложности и размера, и при этомописывать эквивалентные структуры. Однако, существует другой подход к E -алгебрам, и,более общо, к структурам, связанным с конфигурационными пространствами, который ос­нован на машинерии факторизационных алгебр, оригинально введённых в [7].

Факториза­ционная алгебра A над пространством состоит из, грубо говоря, DVect -предпучка Aна для каждой степени ∈ N, вместе с дополнительной структурой. Во-первых, даныотображения видаΔ* A −→ A1(i)между ограничением Δ* A of A на самую малую диагональ Δ : → и A1 . Вовторых, если обозначить через : ⊂ дополнение {( ) ∈ | ̸= } до всехдиагоналей, то должны быть заданы отображения* A −→ A1 ... A1(ii)между ограничением A на и -кратным внешним произведением A1 [7], от которыхтребуется, чтобы они были квази-изоморфизмами. В случае, когда это -диск, можнодоказать [31], что E -алгебры отвечают тем факторизационным алгебрам на , которыеконструктивны, что означает что каждый предпучок A локально постоянен на стратах длястандартной стратификации .Можно утверждать, что понятие факторизационной алгебры более естественно и кано­нично в сравнении с понятием алгебры над операдой. Разница между двумя подходами осо­бенно заметна в малой размерности, например, в размерности 2.

В этом случае можно заме­нить 2-диск и его степени на их стратифицированные [43] фундаментальные группои­ды Π1 ( ), и рассмотреть, вместо конструктивных пучков, функторы Π1 ( ) → DVect .Таким образом, можно работать с куда меньшим набором данных, чем с парой, состоящееиз операды O, квазиизоморфной E2 , и O-алгебры. Это приводит к вопросу о том, существуетли общий “алгебро-гомотопический” формализм, который не имеет проблем неканонично­сти, связанных с выбором операды, и естественно воспроизводит подход факторизационныхалгебр к разного рода алгебраическим структурам.7Подход Сигала и операторные категорииВ контексте пространств петель, подобный подход действительно существует и оченьполезен на практике. В [37] Грэм Сигал ввёл понятие Γ-пространства.