Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 11

По индукции получаем искомуюфакторизацию.Следствие 2.2.14. Отображение : → — тривиальная кофибрация Риди, тогда итолько тогда, когдаL ∐︁() → ()L — тривиальная кофибрация для всякого ∈ R.Доказательство. Рассмотрим тривиальную кофибрацию Риди : → и разложим её∐︁ℎкак → → , гдеL () → () — тривиальная кофибрация. Тогда можно видеть,L что — ретракт .Всё вышесказанное доказывает существование модельной структуры Риди на Sect(R, E)для прямой категории R.2.2.3. Окончание доказательстваВернёмся к случаю, когда R — произвольная категория Риди.Лемма 2.2.15. Отображение → —∙ тривиальная кофибрация Риди тогда и только тогда, когда для всякого ∈ R, отоб­∐︁ражение L () → () — тривиальная кофибрация,L ∙ тривиальная фибрация Риди тогда и только тогда, когда для всякого ∈ R, отобра­∏︁жение () → ()M — тривиальная фибрация.M Доказательство.

Для первой части, заметим что → — кофибрация Риди в том итолько в том случае, если это верно в категории Sect(R+ , E). То же самое касается слабыхэквивалентностей. А потому применим Следствие 2.2.14. Доказательство второй части утвер­ждения двойственно.58Предложение 2.2.16. Предположим, что дана диаграмма сечений-??-где : → — кофибрация Риди, а : → — фибрация Риди.

Тогда если вдобавок или — слабая эквивалентность, то существует подъём → .Доказательство. По индукции можно предположить, что подъём был построен для ∈ Rстепени меньше, чем . Для объекта степени , можно нарисовать следующую диаграмму∐︁- ()- ()()L L -?()- ()∏︁?-M - ().M Точно так же, как и в классическом случае, подъём в среднем квадрате этой диаграммы,(который есть в случае, если или — слабая эквивалентность) задаёт искомое отображение → на объектах степени .Предложение 2.2.17. Пусть → — отображение в Sect(R, E). Тогда его можно фак­торизовать как → → , где — кофибрация Риди, а — фибрация Риди, так что или — слабая эквивалентность.Доказательство.

Снова предположим, что () → () → () есть для объектов ∈ Rстепени меньше, чем . Для степени , диаграммаL - () - M ??L -?() - M ,существующая в силу предположения индукции, даёт нам следующее отображение:∐︁∏︁L () → ()M .L M Факторизуя его в E() какL ∐︁() → () → ()L ∏︁M ,M вместе с отображениями L → () и () → M , мы получаем искомое продолжениефакторизации на объекты степени .Таким образом, мы доказали существование модельной структуры Риди на Sect(R, E).59Лемма 2.2.18. Пусть → — кофибрация или фибрация Риди. Тогда для всякого ∈ R,отображение () → () — кофибрация или фибрация.Доказательство.

Прямое следствие Леммы 2.2.11.2.3. ПриложенияПредложение 2.3.1. Пусть (R, R− , R+ ) — категория Риди, и E → R, F → R — два мо­дельных полурасслоения. Пусть : E → F — функтор над R, такой что1. для каждого ∈ R, функтор : E() → F() допускает левый сопряжённый , и( , ) — квилленова пара.2. ограничение |R− : E|R− → F|R− — декартов морфизм предрасслоений,3.

для каждого морфизма : → in R+ , обозначим через F! и E! функторы переходавдоль в соответствующих полурасслоениях; допустим теперь, что морфизм заменыбазы, F! → E! , — изоморфизм.Тогда мы имеем индуцированную квилленову пару : Sect(R, F) Sect(R, E) : между модельными категориями сечений.Доказательство. Попробуем построить , положив () = (()) для ∈ Sect(R, F).Видим, что для всякого : → в R− , мы имеем коммутативный квадратE() - F()*E6*F6E() - F()а потому имеем также индуцированный морфизм замены базы *F → *E .

Им можновоспользоваться, чтобы получить (()) → *E (()) как (()) → (* F()) →*E (()).Рассматривая ситуацию на морфизмах, для : → в R+ , можно видеть, что стрелкиуказывают в противоположном направлении. Наше условие (3) позволяет обойти эту пробле­му. Потому мы имеем левый сопряжённый . То, что ⊣ — квилленова пара, следует изтого, что все функторы вида сохраняют пределы, фибрации и тривиальные фибрации, апотому хорошо взаимодействуют со структурой Риди.602.3.1. Над категорией симплексовВ нижеследующем частично упорядоченные множества (ЧУМы) отождествляются с ма­лыми категориями, которые имеют максимум один морфизм между каждой парой объектов.Определение 2.3.2. Обозначим через Δ полную подкатегорию Cat, состоящую из непу­стых конечных ЧУМ.

Обозначим через [] категорию[] = 0 → 1 → 2 → ... → с ровно одним морфизмом → когда ≤ . Подкатегория Δ, образуемая [] для ≥0 — скелет [33], так что каждый ∈ Δ единственно изоморфен некоторому []. Группаавтоморфизмов состоит из одного элемента. По этим причинам мы часто будем описыватьконструкции над Δ только для объектов вида [].Лемма 2.3.3. Всякий морфизм в Δ можно факторизовать как сюръекцию, за которой сле­дует инъекция (в смысле, применимом к ЧУМ). Сюрьекции и инъекции формируют фак­торизационную систему (Δ , Δ ) на Δ которая, вместе с естественным выбором степени[] = , превращает Δ в категорию Риди.Доказательство. Очевидно.Следствие 2.3.4.

Категория Δop — категория Риди с факторизационной системойop(Δop− , Δ+ ),состоящей из (морфизмов, противоположных) инъекциям и сюръекциям.Определение 2.3.5. Отображение : [] → [] в Δ — вложение Сигала, или попростусигалово, если это вложение [] как + 1 первых элементов [], то есть, () = для 0 ≤ ≤. В частности, ≤ .Отображение : [] → [] в Δ называется анкерным, если оно сохраняет конечныеэлементы: () = .Обозначим через A, Σ подкатегории анкерных и сигаловых отображений в Δ. легковидеть, что (A, Σ) — факторизационная система на Δ.Определение 2.3.6.

Сигалова факторизационная система на Δop состоит из пары (S , A ),где S — подкатегория сигаловых отображений, равная Σop , а A — подкатегория анкерныхотображений, равная Aop .61Лемма 2.3.7. Тождественный функтор отправляет Δop+ в A.Лемма 2.3.8. Пусть : X → Δop — Δ-индексированная категория. Тогдаop1. имеется факторизационная система (X− , X+ ), которая -проектируется в (Δop− , Δ+ ),называемая факторизационной системой Риди на X.2. имеется факторизационная система (SX , AX ), которая -проектируется в (S , A ),называемая факторизационной системой Сигала на X.3.

Тождественный функтор : X → X сохраняет морфизмы правых классов: (X+ ) ⊂AX .Доказательство. Прямое следствие Предложения 1.4.10.Определение 2.3.9. Сигаловым предрасслоением над X называется предрасслоение E → Xкоторое вдобавок — полурасслоение над сигаловой факторизационной системой. Сигаловопредрасслоение E → X называется модельным если индуцированное полурасслоение надфакторизационной системой Риди — модельное полурасслоение, и функторы перехода впредрасслоении E → X сохраняют слабые эквивалентности.Сигалово предрасслоение нормализовано если его ограничение X → A — локальнопостоянное расслоение, так что все функторы перехода — эквивалентности.Следствие 2.3.10.

Пусть E → X — модельное сигалово предрасслоение. Тогда категорияSect(X, E) модельна.Доказательство. Непосредственное применение Теоремы 2.2.5.Замечание 2.3.11. Пределы в категории Sect(X, E) можно считать в любой из двух факто­ризационных систем на X с помощью Предложения 1.4.16, поскольку E → X — полурасслое­ние над каждой из них.62Глава 3Производные сечения3.1. Симплициальные заменыОпределение 3.1.1. Пусть дана малая категория C.

Её симплициальной заменой называ­ется единственная Δ-индексированная категория C → Δop , такая что каждый слой C([])— множество Ob Fun([], C) функторов из [] в C, с морфизмами над [] ← [] даваемымипредкомпозицией Fun([], C) → Fun([], C).Практически тавтологично, чтоЛемма 3.1.2. Для C ∈ Cat, симплициальная замена C → Δop может быть получена какRопрасслоительная конструкция Гротендика C нерва C : Δop → Set ⊂ Cat.

Сопостав­ление C → C задаёт функтор из Cat в категорию Cat(Δ) Δ-индексированных категорий.Обозначение 3.1.3. Объект в C — это, фактически, последовательность 0 → ... → компонируемых морфизмов в C. Мы часто будем её обозначать как c[] или просто как c когдаиндексирующий Δ-объект не так важен. Для функтора : D → C, индуцированный функтормы будем обозначать как F : D → C :; по определению, F(0 → ... → ) = 0 → ... → ,и это коммутирует с индексирующими проекциями из D и C в Δop .Согласно Следствию 2.3.8, имеется две факторизационные системы в C. Первая система,(C− , C+ ), — это факторизационная система Риди. Вторая, (SC , AC ), — факторизационнаясистема Сигала.Лемма 3.1.4.

Существуют функторы ℎC : C → C и C : C → Cop , даваемые отображени­ями c[] ↦→ 0 или c[] ↦→ соответственно. Более того, ℎC посылает C+ и SC в тожде­ственные отображения C, и C отправляет C+ и AC в тождественные отображения C.Предложение 3.1.5. Для малой категории C, любой функтор : C → N, который от­правляет SC в изоморфизмы, факторизуется единственным с точностью до изоморфизмаобразом = ˜ ∘ ℎC для ˜ : C → N. Другими словами, C — локализация C вдоль морфизмовСигала.63Доказательство. Отметим, что функтор ℎ*C : Fun(C, N) → Fun(C, N) строго полон (см [36,Section 4.4]). Ясно, что для любого : C → N, ассоциированный функтор ℎ*C = ℎCотправляет SC в изоморфизмы.

Наоборот, пусть : C → N — функтор, который отправляетSC в изоморфизмы. Определим новый функтор ¯ : C → N. На объектах, ¯ () = (), где рассматривается как объект C нулевой длины. Рассмотрим домик ←− ( → ′ ) −→ ′ ,тогда действие на нём даёт диаграмму () ← ( → ′ ) → (′ ). Обращая левую стрелку,мы получаем стрелку ¯ ( ) : ¯ () → ¯ (′ ). Действие на объектах длины 3, → ′ → ′′ ,и на вырожденных объектах, → , обеспечивает то, что ¯ — действительно функтор, и ∼= ¯ ℎC .Предложение 3.1.5 позволяет обосновать идею о том, что, имея гомотопическую кате­горию (M, W), функтор : C → M, который посылает SC В W — подходящее ослаблениеконцепта функтора из C в M.