Диссертация (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 13

Таким образом, имея диаграмму сечений ∙ : → Sect(X, F), со­ответствующая декартова диаграмма (1.3.2 ) из Предложения 1.3.11 принимает следующуюформу:(lim ∙ )()←−?-lim (∙ ())←−?(lim ∙ )(∖1) - lim (∙ (∖1)).←−←−В случае, когда все — фибрантные сигаловы сечения, отображение справа — предел три­виальных фибраций, а потому тривиальная фибрация. И, таким образом, то же самое вернопро отображение слева. Тогда можно воспользоваться индукцией и доказать третье утвер­ждение.

Наконец, заметим, что если (по индукции с тривиальной базой) мы знаем, что ниж­няя горизонтальная стрелка — слабая эквивалентность, то то же самое верно про верхнююгоризонтальную стрелку.69В таком случае, как четвёртое, так и пятое утверждения следуют из вышеописанногоаргумента. Чтобы получить произведения, нужно применить аргумент к набору фибрантныхпроизводных сечений. Чтобы получить обратные образы, заметим, что → ← можнозаменить, с точностью до слабой эквивалентности, на диаграмму фибраций ′ → ′ ← ′между фибрантными объектами, чьё расслоённое произведение даёт ×h .70Глава 4РезольвентыПусть дан функтор : D → C и модельное опрасслоение E → C, тогда мы имееминдуцированный функтор обратного образа F* : PSect(C, E) = Sect(C, E) → Sect(D, E) =PSect(D, E) на категориях предсечений.

Этот функтор сохраняет слабые эквивалентности ипроизводные сечения. А потому мы получаем функторhF* : Ho DSect(C, E) → Ho DSect(D, E)на локализованных категориях.В данной главе мы покажем, что для определённого класса функторов , обратныйобраз hF* строго полон, а его естественный образ легко охарактеризовать.Определение 4.0.1.

Для функтора : D → C и c[] = 0 → ... → of C, обозначим черезD(c[] ) категорию,∙ объекты которой — пары из d[] = 0 → ... → и коммутативной диаграммы 0-∼=?0-... -...∼=...?- ,в которой вертикальные стрелки — изоморфизмы,∙ морфизмы которой даются коммутативными диаграммами0-...-...??′0-...-′так что для 0 ≤ ≤ , квадрат ∼=- ′∼=?=- ?коммутативен.Категории D(0 → ... → ) представляют собой обобщение понятия существенного (илиизо-) слоя функтора, см. Соглашение 1.1.13.71Определение 4.0.2.1. Функтор : D → C называется резольвентой, если для каждого c[] ∈ C, категорияD(c[] ) стягиваема (то есть, имеет стягиваемый нерв).2. Функтор : D → C — правая резольвента, если∙ для каждого ∈ C над [0] ∈ Δ, категория D() стягиваема, и∙ для каждого : ′ → в C над [1] ∈ Δ и ∈ D(), подкатегория (, ) ⊂ D(′ →), даваемая (строгим) слоем функтора D(′ → ) → D() над , стягиваема.3.

Функтор : D → C — левая резольвента, если∙ для каждого ∈ C над [0] ∈ Δ, категория D() стягиваема, и∙ для каждого : ′ → в C над [1] ∈ Δ и ∈ D(), подкатегория (′ , ) ⊂ D(′ →) даваемая (строгим) слоем функтора D(′ → ) → D(′ ) над ′ , стягиваема.Лемма 4.0.3. Пусть : D → C — левая или правая резольвента, тогда — также ирезольвента.Доказательство.

Докажем утверждение для правой резольвенты. По индукции, предпо­ложим, что мы доказали свойство резольвенты для каждого c′[] с 0 ≤ < . Тогда дляобъекта c[] = 0 → 1 → ... → мы имеем ассоциированный функтор D(0 → 1 → ... → ) → D(1 → ... → ). Это — опрасслоение над стягиваемой категорией, со слоями, эквива­лентными (, ) для ∈ D(1 ). По теореме А Квиллена имеем, что D(c[] ) в таком случаестягиваема.Лемма 4.0.4. Если : D → C — предрасслоение со стягиваемыми слоями, то — праваярезольвента.Двойственно, если : D → C — предопрасслоение со стягиваемыми слоями, то —левая резольвента.Доказательство. Легко видеть, что слои функтора D(′ → ) → D() имеют конечныеобъекты когда — предрасслоение. Теорема А Квиллена снова даёт нужный нам результат.Доказательство второй половины леммы аналогично.Лемма 4.0.5. Если : D C : — сопряжённая пара и правый сопряжённый строго по­лон,то тогда — резольвента.

В частности, эквивалентность категорий — резольвента.72Доказательство. Каждая категория D(0 → ... → ) допускает конечный объект, давае­мый 0 → ... → (заметим, что (0 ) → ... → ( ) изоморфно 0 → ... → ).Определение 4.0.6. Морфизм c[] → c′[] категории C называется анти-сигаловым, еслиего образ в Δ, [] → [], — вложение [] как последние + 1 элементов [].Анти-сигаловы отображения с очевидностью сохраняют концы, так что имея произволь­ное опрасслоение E → C, его симплициальное расширение постоянно вдоль анти-сигаловыхотображений, E(c[] ) ∼= E(c′[] ).Определение 4.0.7.

Подкатегория S категории C изо-полна, или просто изо-подкатегория,если она содержит все изоморфизмы C.Определение 4.0.8. Пусть S — изо-полная подкатегория C, и E → C — модельное опрас­слоение. Производное сечение ∈ DSect(C, E) называется S-локально постоянным, еслидля всякого анти-сигалова морфизма : c[] → c′[] , такого что отображения −1 → ,1 ≤ ≤ − принадлежат S, образ () — слабая эквивалентность.В частности, если : 0 → 1 — морфизм в S, обе стрелки в диаграмме ! (0 ) ←−(0 → 1 ) −→ (1 ) — слабые эквивалентности.Обозначим через DSectS (C, E) полную подкатегорию DSect(C, E), состоящую из S - ло­кально постоянных производных сечений.

Любое производное сечение, которое изоморфнов гомотопической категории предсечений S-локально постоянному производному сечению,само является S-локально постоянным.Имея изо-полную подкатегорию S категории C, содержащую все изоморфизмы C, мыможем определить * S как минимальную изо-подкатегорию D, которая отображается в S.Как и ранее, мы обозначим через DSect( * S) (D, E) полную подкатегорию * S-локально посто­янных производных сечений. В частности, скажем, чтоОпределение 4.0.9.

Производное сечение ∈ DSect(D, E) -локально постоянно, еслионо * (C)-локально постоянно, где * (C) — подкатегория всех морфизмов D, отправ­ляемых функтором в изоморфизмы C.Наш основной результат, Теорема 4.2.11, заключается в следующем.Теорема 4.0.10. Пусть : D → C — разрешение, S ⊂ C — изо-подкатегория, и E →C — модельное опрасслоение. Тогда функтор обратного образа F* факторизуется через73 * S-локально постоянные сечения на D, и функторhF* : Ho DSectS (C, E) → Ho DSect * S (D, E)— эквивалентность категорий.4.1.

Π-замены и башни4.1.1. Категория ΠОпределение 4.1.1. Π, по определению, — категория конечных частично упорядоченныхмножеств с начальным и конечным элементами. Мы будем рассматривать Π как полнуюподкатегорию Cat. Обозначим через : Δ → Π каноническое вложение.Категория Π не является категорией Риди.Лемма 4.1.2. Категория Π имеет факторизационную систему (Π , Π ), где Π — подкате­гория сюръекций, а Π — подкатегория инъекций.

Более того, Π — артинова категория.Функтор : (Δ, Δ , Δ ) → (Π, Π , Π ) — замкнутый слева (Определение 1.4.4) факто­ризационный функтор, и он — открытое вложение артиновых категорий 1.3.12 на правыхчастях факторизационных систем.Доказательство. То, что : Δ → Π — факторизационный функтор, очевидно. Рассмотримтеперь морфизм : ([]) → и разложим его как ([]) → ( ) → , где первое отоб­ражение — сюръекция, а второе — инъекция. Образ ( ) канонически изоморфен ([])для некоторой сюръекции : [] → [], а потому мы имеем изоморфную факторизацию()([]) → ([]) → , что говорит о том, что лево-замкнут.Для фиксированного объекта ∈ Π, любая цепь инъекций 0 → ... → → в Π,заканчивающаяся на , начнёт содержать изоморфизмы с того момента, как превыситчисло элементов , что доказывает артиновость Π .

Функтор : Δ → Π строго полон иинъективен на объектах. Более того, если имеется инъекция ˓→ [], то должно бытьполностью упорядоченным множеством, что доказывает открытость вложения.Лемма 4.1.3. Отображения, сохраняющие конечный объект, и открытые вложения ка­тегорий дают факторизационную систему на Π.Доказательство. Чтобы доказать существование, возьмём : → ′ между двумя ЧУМи обозначим через ( ( )) минимальную подкатегорию ′ , такую что ( ) ⊂ ( ( ))74и ( ( )) ⊂ ′ — открытое вложение. Тогда имеем естественную факторизацию →( ( )) → ′ , так что первый функтор сохраняет конечный объект (это верно для → ( ),дополнение до открытого вложения этот факт не меняет) а второй является открытым вло­жением.Эта факторизация единственна: если → → ′ — другая подобная факторизация ,то поскольку оба и сохраняют конечные объекты, имеем, что (1 ) = (1( ( )) ) = (1 ).Свойства открытого вложения гарантируют нам затем что и ( ( )) совпадают.Определение 4.1.4.

Сигаловой факторизационной системой (AΠ , ΣΠ ) на Π называется си­стема, левый класс которой A состоит из функторов, которые сохраняют конечный объект,а правый класс Σ — из открытых вложений.Как и в случае Δ, назовём AΠ анкерными, а ΣΠ — сигаловыми отображениями.Лемма 4.1.5.

Тождественный функтор на Π индуцирует функтор Π → AΠ . Иными сло­вами, всякая сюръекция в Π сохраняет конечные объекты.Доказательство. Сюръективные функторы сохраняют произведения, в частности, пустыепроизведения, суть конечные объекты.Лемма 4.1.6. Функтор : Δ → Π — факторизационный функтор для сигаловых фактори­зационных систем (AΔ , ΣΔ ) и (AΠ , ΣΠ ). Ограничение : ΣΔ → ΣΠ , более того, открытоевложение артиновых категорий.Доказательство. Очевидно, что ΣΠ — артинова. Функтор : ΣΔ → ΣΠ строго полон,инъективен на объектах, и очевидно, что всякое открытое вложение ˓→ ([]) происходитиз ΣΔ -отображения в Δ.Функтор , однако, не является лево-замкнутым для сигаловых систем.4.1.2.

Π-индексированные категорииИмея малую категорию C, обозначим через CΔ её симплициальную замену (Определение3.1.1). Обозначим также через Π C : Πop → Set функтор, чьё значение на ∈ Π — множествоOb Fun(, C) функторов → C.Определение 4.1.7. Имея малую категорию C, её Π-заменой называется единственная Π индексированная категорияCΠ , чей слой над ∈ Π даётся Ob Fun(, C), а морфизмы ← ′даются предкомпозицией Fun(, C) → Fun( ′ , C). (ср. Определение 3.1.1).75Пусть дан функтор : D → C, тогда его Π-заменой называется индуцированный оче­видным образом функтор FΠ : DΠ → CΠ .RКонечно, CΠ = Π C, где последнее — опфибрационная конструкция Гротендика, при­менённая к функтору Π C. Сопоставление C ↦→ CΠ задаёт функтор из Cat в категориюCat(Π) малых Π - индексированных категорий. Объект CΠ иногда будет обозначаться намикак c , где ∈ Π и c : → C — функтор, элемент Π C( ).Лемма 4.1.8.