Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 9

Согласно описанию графа (), отсюда сле­дует, что каждая координата любой точки в () равна , то есть () = Γ ().Обратно, если нарушается первое из условий, то компонента графа Δ ,содержащая вершину ( + 1, − 1), не содержит вершин из ряда Γ и большеотносительно порядка ⪰ любой компоненты, содержащей вершину из ряда Γ .Отсюда следует, что эта компонента будет связной компонентой в Δ() , то есть() ̸= Γ ().

Случай нарушения второго условия рассматривается так же сточностью до замены «больше» на «меньше».Доказательство предложения 3.19. — граф, расположенный в двух рядах.Каждая вершина в нижнем ряду либо соединена с одной или обеими вершина­ми, находящимися непосредственно над ней, либо является изолированной.

Тот61факт, что ∈ −1 ( ), означает наличие следующих двух ограничений. Еслиу самой левой вершины в нижнем ряду нет соседа слева сверху (он не входитв граф), то она обязательно соединена со своим соседом справа сверху. Сим­метрично, если самая правая вершина в нижнем ряду не имеет соседа справасверху, то она обязательно соединена со своим соседом слева сверху. (Здесьмы используем предложение 3.20). Приведем по примеру для каждого из трехслучаев в определении (3.12). = 1, = 0 = 1, = 1 = 0, = 1Рис.

7.Нетрудно видеть, что в каждом из трех случаев число возможных равно3ℓΓ −1 .Обозначим⎧⎪⎪⎪Σ−⎪ℓ⎪⎨ Γ∑︁( ) = Σ0ℓΓ⎪⎪∈⎪⎪⎪⎩Σ+ℓΓпри ℓΓ′ = ℓΓ − 1,при ℓΓ′ = ℓΓ ,при ℓΓ′ = ℓΓ + 1.Предложение напрямую следует из рекуррентных соотношений−−0Σ−ℓ+1 = −(1 − )Σℓ + Σℓ + Σℓ ,−0Σ0ℓ+1 = −(1 − )Σ−ℓ + (1 − )Σℓ + Σℓ ,00+Σ+ℓ+1 = −(1 − )Σℓ + (1 − )Σℓ + Σℓ .Мы завершили рассмотрение случая 2 и, тем самым, доказательство шагаиндукции.62Глава 4Доказательства основных результатов4.1. Доказательство для финитного случаяВ этом разделе мы докажем теорему 2.3 при помощи результатов из преды­дущей главы.

Как было сказано, теорема 2.2 получается в качестве частногослучая.Мы будем пользоваться обозначениями разделов 1.2, 1.3 и 2.2: — цело­численный доминантный gl -вес, — соответствующий многогранник Гель­фанда–Цетлина, целой точке ∈ соответствует вес и дана системавесов : ℱ → Z[].Как мы уже упоминали на странице 43, многогранник естественнымобразом отождествляется с (1 , . . . , ). Более того, для целой точки ∈ = (1 , . . . , ) мы имеем ( ) = ( )|0 =1 (специализация опреде­лена на странице 24).

Далее, согласно определениям системы весов и (1 , . . . , ) совпадают. Таким образом, (1 , . . . , ; ) = ( ( )) = (1 , . . . , )|0 =1(см. (2.4)).Теперь можно определить выделенное подмножество вершин, фигурирую­щее в теореме 2.3. К нему относятся те вершины (многогранника (1 , . . . , )),для которых не существует такой компоненты графа Δ и такого ряда > 0,что содержит больше вершин в ряду , чем в ряду − 1. Будем называть вер­шины из этого множества «существенными», а остальные «несущественными».Пусть разбиение (1 , .

. . , ) имеет тип ℓ1 , . . . , ℓ , то есть -ая по величинечасть встречается ℓ раз. Тогда для любой вершины в графе Δ ровно ком­понент связности, выберем и обозначим компоненты Γ1 , . . . , Γ . Мы видим,63что = Γ1 (1 , . . . , ℓ1 ) × Γ2 (ℓ1 +1 , . . . , ℓ1 +ℓ2 ) × . . .и, следовательно, ( (1 ,..., ) ( )) = Γ1 (1 , .

. . , ℓ1 )Γ2 (ℓ1 +1 , . . . , ℓ1 +ℓ2 ) . . .(4.1)в силу предложения 3.3.Для любой несущественной вершины имеемПредложение 4.1. ( (1 ,..., ) ( )) = 0.Доказательство.Это непосредственно вытекает из равенства (4.1) и теоре­мы 3.11.Перейдем к рассмотрению существенных вершин, сперва обсудим случайрегулярного веса .В этом случае для существенной вершины граф Δ состоит из компо­нент графов-путей. Поскольку в каждом ряду таблицы ГЦ на одну вершинуменьше, чем в предыдущем, все эти графов-путей начинаются в ряду 0, ив каждом из рядов заканчивается по одному графу-пути.

Таким образом,множество значений, встречающихся в ряду + 1 таблицы ГЦ получается измножества значений, встречающихся в ряду , удалением одного элемента. Этотэлемент есть координата веса , то есть −1 (+1) для некоторой перестановки ∈ (мы прибавляем единицу, чтобы попасть в отрезок [1, ]). Так опреде­ляется соответствие между существенными вершинами и перестановками.Предложение 4.2.В введенных обозначениях выполняются равенства = () и(︃ ( ( )) = ∏︁ (1 − / )<Доказательство.(1 − / ))︃.Первое равенство следует непосредственно из определенийперестановки и веса .64Найдем описание образующих конуса .

Согласно предложению 3.10, каж­дое ребро конуса получается из графа Δ удалением одного ребра. Координатысоответствующей образующей равны 0 вне единственной компоненты, не содер­жащий вершин из ряда 0, и одинаковы и равны ±1 внутри нее в зависимостиот направления удаленного ребра. В итоге получаем такое описание.Для каждой пары 1 ≤ ≤ ≤ − 1 существует ровно одно ребро, обра­зующая которого имеет по одной ненулевой координате в каждом из рядов, . .

. , и не имеет других ненулевых координат. Ненулевые координаты этоговектора равны 1 если −1 () < −1 ( + 1) и −1 иначе. В первом случае полу­чаем ( ) = +1 / , а во втором ( ) = /+1 . В обоих случаях моном вправой части равен(︁)︁ max(−1 (),−1 (+1)) /min(−1 (),−1 (+1)) ..Далее, для грани конуса граф Δ получается из графа Δ удалениемdim ребер. Отсюда получаем ( ) = (1 − )dim .Мы видим, что конус симплициален и унимодулярен и, посредствомпредложения 3.4, получаем требуемое равенство.Заметим теперь, что для несущественной вершины конус не являетсясимплициальным, так как число его гиперграней равно числу ребер в графе Δ .Таким образом, нами доказана теорема 2.3 для случая регулярного веса (рядПуанкаре стабилизатора () = 1).Случай особого сводится к случаю регулярного. В самом деле, пусть 1— любой регулярный целочисленный доминантный вес.

тогда является вы­рождением многогранника 1 . Это вырождение (11 , . . . , 1 ) в (1 , . . . , ),которое рассматривается в разделе 3.4.Обозначим соответствующее вырождению отображение. Рассмотрим ∈ , каждая координата соответствующей простой вершины 1 многогранника1 равна одному из чисел 1 . То, что Δ1 ⊂ Δ(1 ) , означает что координаты65вершины (1 ) получаются из координаты вершины 1 заменой каждого 1 на .

Отсюда следует, что мы имеем (1 1 ) = (1 2 ) тогда и только тогда, когда1 = 2 .Отметим также тот широкоизвестный факт (см., например, [7]), что () = [ℓ1 ] ! . . . [ℓ ] !.Утверждение теоремы 2.3 для особого веса теперь следует из ее утверждениядля регулярного веса 1 и леммы 3.16.Структура доказательства теоремы 2.10, которому посвящены дальнейшиеразделы, будет по существу такой же как у вышеизложенного рассуждения.Однако построение различных предельных переходов, вызванных бесконечно­мерностью рассматриваемых многогранников, потребует значительных допол­нительных усилий.В завершение этой части покажем, каким образом, применяя лемму 3.18,можно вывести любопытное тождество. Сохраняя обозначения, применим лем­му 3.18 к вырождению (11 , .

. . , 1 ) в (0, . . . , 0) (то есть в точку) и един­ственной грани последнего:∑︁(4.2)(−1)dim ( ) = [] !. грань 1Теперь рассмотрим вырождение (11 , . . . , 1 ) в (1 , . . . , ) и соот­ветствующее отображение . Если теперь для всех ∈ ℱ в правой частиравенства (4.2) сумму слагаемых с ( ) = переписать с помощью леммы 3.18для вырождения и грани , то получится такое утверждение.Теорема 4.3.∑︁ грань (−1)dim ( ) =(︂ℓ1 , .

. . , ℓ )︂,где ℓ1 , . . . , ℓ тип разбиения (1 , . . . , ), а в правой части стоит -мультиномиальный коэффициент.66(Как уже было отмечено, когда сам является регулярным, в правой частимы получаем просто [] !, что придает тождеству особенно простой вид.)4.2. Теорема типа Бриона для ΠВ этом и двух последующих раздела будут использоваться обозначения̂︀ -вес, Π = Π —из разделов 1.4, 2.3 и 2.4: — целочисленный доминантный slсоответствующий счетномерный многогранник, для целых точек которого опре­делены веса и многочлены () ∈ Z[]. Также были определены специализа­ция , счетномерное пространство ⊃ Π, перенесенные на − 0 многогранники пространство Π ⊂ и кольцо характеров S.В этом разделе будет исследована структура многогранников Π и Π, опре­делены вклады вершин и затем доказана теорема 2.9.Непустое подмножество ⊂ Π будем называть его гранью в том случае,если оно имеет вид пересечения Π и некоторого набора пространств вида = {| = 0} ∩ и = {| () = } ∩ .Размерность грани — размерность ее аффинной оболочки.

Грани образуют ре­шетку относительно включения, минимальные элементы этой решетки будемназывать вершинами многогранника.Предложение 4.4.Вершины есть в точности те точки ∈ Π, которые со­держатся хотя бы в одном из пространств и для любого . В частности,вершина имеет размерность 0.Доказательство.Каждая такая точка образует вершину по той причине, чтопространства вида и , содержащие ее, имеют всего одну точку пересечения.Пусть теперь для ∈ Π и некоторого 0 не выполнено ни ∈ 0 , ни ∈ 0 . Укажем точку ′ , для которой множество содержащих ее пространств67вида и будет больше, чем для точки . Наличие такой ′ покажет, что не может содержаться ни в какой вершине, откуда последует предложение.Точка ′ строится следующим образом: положим ′ = при < 0 , поло­жим 0 = 0, положим ′ = 0 при > 0 и = 0 и, наконец, потребуем (′ ) = для всех остальных .

Очевидно, что если ∈ , то и ′ ∈ . Покажем, что,если ∈ , то и ′ ∈ . Если > 0 или < 0 , то это очевидно. Если же = 0 и > 0 , то тогда обязательно − = 0 и −1 () = , и утверждениеследует по индукции. То, что для любого имеют место ′ ≥ 0 и (′ ) ≤ (тоесть ′ ∈ Π) также тривиально показывается по индукции. Остается заметить,что ′ ∈ 0 , а ̸∈ 0 .Теперь для точки ∈ вспомним определение (2.5) бесконечной таблицыГЦ (, ()), данное на странице 26.

Равенство , () = −1, () равносильно ∈ +(−1) , а , () = −1,+1 () равносильно ∈ +(−1) . Таким образом,-вес () зависит только от минимальной грани в Π, содержащей . Каждаяточка многогранника содержится в какой-либо конечномерной грани, другимисловами, для любой точки минимальная содержащая ее грань конечномерна.Ясно, что и для каждой конечномерной грани можно взять точку такую,что — минимальная содержащая грань. Положив ( ) = () получимотображение : ℱΠ → Z[]из множества конечномерных граней многогранника Π.В каждой вершине многогранника Π опять же есть касательный конускΠ = { + ( − ), ∈ Π, ≥ 0}и касательной конус к каждой грани , содержащей , = { + ( − ), ∈ , ≥ 0}.Для каждого ребра (одномерной грани) , содержащей определим его68образующую как минимальный целочисленный вектор (лежащий в ) такой,что + ∈ .