Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 7

Для того, чтобы в этом убедиться, рассмотримребро многогранника Γ (1 , . . . , ℓΓ ). Пусть — образующая ребра . Согласнопредложению 3.10, подграф Δ содержит ровно одну компоненту связности, невключающую вершин из ряда Γ . Тогда у все координаты вне этой компонен­47ты равны 0, а внутри этой компонент одинаковы и равны ±1 (в зависимости отвыбора направления ребра). Пусть — верхний ряд, содержащий вершины изэтой компоненты (вершина компоненты в нем ровно одна), тогда переменная содержится в ( ) в ненулевой степени. После этого остается воспользоватьсяпредложением 3.2.Теперь сформулируем утверждение, которое окажется ключом к доказа­тельству части b) теоремы 2.10.Теорема 3.11.Пусть Γ — ординарный подграф такой, что для некоторого ≥ Γ число вершин этого подграфа в ряду + 1 больше, чем в ряду .

ТогдаΓ (1 , . . . , ℓΓ ) = 0 для любой невозрастающей последовательности целых чисел1 ≥ . . . ≥ ℓΓ .Для доказательства этого утверждения нам понадобится тождество, свя­зывающее между собой особый случай, в котором все одинаковы, с общимслучаем, в котором они попарно различны. Заметим, что Γ (, . . . , ) — этовсегда конус, вершину такого конуса мы будем обозначать Γ ().Лемма 3.12.Пусть 1 , . . . , — вершины многогранника Γ (1 , . . .

, ℓΓ ), где1 > . . . > ℓΓ — целые числа. Тогда выполнено тождество[ℓΓ ] !Γ (,...,) (Γ (, . . . , )) =∑︁Γ ()− Γ (1 ,...,ℓΓ ) ( )=1(слагаемое в правой части есть целоточечная свертка образа конуса припереносе на Γ () − , а множитель в левой части — -факториал).Эта лемма получается как результат применения леммы 3.8 к вырожде­нию Γ (1 , . . . , ℓΓ ) в Γ (, . . . , ). Доказательству этой леммы и ее обобщения(которое неоднократно понадобится нам и далее) будет посвящен следующийраздел.Доказательство теоремы 3.11.Мы будем доказывать утверждение теоремыиндукцией по числу вершин в Γ, последовательно разбирая три случая.48Случай 1.Ни один ряд не содержит более двух вершин графа Γ.Этот случай включает в себя базу индукции. К сожалению, разбор этогослучая — наиболее вычислительная часть этой работы, хотя применяемый намиподход достаточно прямолинеен.Во-первых, если для некоторого > Γ граф Γ содержит одну вершину вряду и две вершины в ряду + 1, то можно сразу воспользоваться предполо­жением индукции.

Для этого выберем наименьшее такое и рассмотрим графΓ′ , получающийся из Γ удалением всех вершин в рядах выше . Рассмотримтеперь сечение ′ () многогранника Γ (1 , . . . , ℓΓ ), для точки которого все ко­ординаты в рядах и выше равны фиксированному числу . С одной стороны,система весов Γ (1 , .

. . , ℓΓ ) индуцирует систему весов ′1 на гранях сечения′ (). С другой, это сечение получается переносом из многогранника (конуса)Γ′ () на некоторый целочисленный вектор ′ , что задает систему весов ′2 .Легко проверить, что системы ′1 и ′2 совпадают.Однако, пользуясь предположением индукции для графа Γ′ , мы получаем(︀)︀(︀)︀′ ′1 (′ ()) = ′2 (′ ()) = Γ′ () = 0.Из определения целоточечной свертки как суммы ряда (теорема 1.6), следу­ет, что раз для каждого сечения ′ () выполняется ′1 (′ ()) = 0, то и(︀)︀Γ (1 , . . .

, ℓΓ ) = 0.Таким образом мы можем работать в предположении, что Γ содержит од­ну вершину в ряду Γ и две вершины в ряду Γ + 1. Рисунок 2 — пример такогографа. Кроме того, мы можем считать, что 1 = 0, ибо любое Γ () получает­ся из Γ (0) домножением на моном (многогранники получаются друг из другапереносом). Мы вычислим Γ (0), разбивая Γ (0) на сечения, получаемые фик­сированием двух координат в ряду Γ + 1. Пусть Γ′ получается из Γ удалениемвершины в верхнем ряду, тогдаΓ (0) =∑︁1 ≥0,2 ≤01 ,2 Γ′ (1 , 2 ),(3.5)49где1 ,2⎧⎪⎪2⎪(1−)при 1 > 0 > 2 ,⎪⎪⎨= (1 − ) при 1 > 0 = 2 or 1 = 0 > 2 ,⎪⎪⎪⎪⎪⎩(1 − 2 ) при 1 = 2 = 0.Равенство (3.5) следует из того, что сечение, у точки которого координаты вряду Γ + 1 равны 1 и 2 , есть в точности Γ′ (1 , 2 ).

При этом система весовна Γ′ (1 , 2 ) индуцированная с Γ (0) получается из Γ′ (1 , 2 ) домножением на1 ,2 .Для того, чтобы равенству (3.5) придать строгий смысл нужно опять жевспомнить, что целоточечная свертка определялась как сумма ряда. Ниже мыпокажем, что у всех функций Γ′ (1 , 2 ) вместе с Γ (0) есть общий конечныйзнаменатель, из определения следует, что при домножении на него (3.5) превра­тится в тождество между формальными рядами Лорана.Теперь для некоторой пары 1 > 2 рассмотрим вершины многогранникаΓ′ (1 , 2 ).

Для такой вершины пусть граф Δ состоит из компонент Γ1 иΓ2 . Тогда касательный конус есть произведение Γ1 (1 ) × Γ2 (2 ). Для того,чтобы вершина была простой необходимо, чтобы оба конуса Γ1 (1 ) и Γ2 (2 )были симплициальными, то есть число их гиперграней было равно их размерно­сти. Это возможно только если обе компоненты Γ1 и Γ2 ациклические, то естьявляются графами-путями.Пусть — наименьшее число такое, что Γ содержит две вершины из ряда − 1, но одну из ряда . Нетрудно видеть, что среди подграфов Δ есть ровнодва, обе компоненты связности которых — графы-пути. В самом деле, еслиподграф Δ имеет такой вид, то для каждого из рядов с ℓΓ + 1 по − 1 двевершины в этом ряду должны лежать в разных компонентах, а все вершиныв рядах и ниже должны лежать в одной компоненте.

Таким образом, всеопределяется тем, в какой из двух компонент лежит вершина из ряда . Нарисунке 5 изображены эти два подграфа для примера на рисунке 2.50Δ1Δ2Рис. 5.Обозначим 1 и 2 соответствующие две вершины многогранника Γ′ (1 , 2 ).Подграфы Δ1 и Δ2 различаются тем, что в первом вершина в ряду соединенас соседом слева сверху, а во втором — с соседом справа сверху.Предложение 3.13.Рассмотрим вершину многогранника Γ′ (1 , 2 ) отлич­ную от 1 и 2 , то есть не являющуюся простой.

Из предположения индукцииследует, что (Γ′ (1 ,2 ) ( )) = 0.Доказательство.Пусть, опять же, Γ1 и Γ2 — компоненты связности графа Δ .Как уже было сказано, = Γ1 (1 ) × Γ2 (2 ).Более того, рассмотрим грань 1 конуса Γ1 (1 ) и грань 2 конуса Γ2 (2 ). Тогда1 × 2 — грань конуса и Γ′ (1 , 2 )(1 × 2 ) = Γ1 (1 )(1 )Γ2 (2 )(2 ). Отсюда,воспользовавшись предложением 3.3, выводим, что (Γ′ (1 ,2 ) ( )) = Γ1 (1 )Γ2 (2 ).(3.6)Тот факт, что одна из этих компонент не является графом-путем и содержитцикл означает, что она для некоторого содержит одну вершину в ряду и двевершины в ряду + 1.

Следовательно, по предположению индукции один измножителей в правой части (3.6) равен нулю.51Взвешенная теорема Бриона, примененная к многограннику Γ′ (1 , 2 ), та­ким образом, даетΓ′ (1 , 2 ) = (Γ′ (1 ,2 ) (1 )) + (Γ′ (1 ,2 ) (2 )).Два слагаемых в правой части можно вычислить явно при помощи предложе­ния (3.4), что мы и сделаем.Оба конуса 1 и 2 являются симплициальными и унимодулярными, чтоможно установить посмотрев на образующие их ребер.

Пусть Γ — самый ниж­ний ряд, содержащий вершины из Γ, тогда множество этих образующих удовле­творяет следующему описанию.Предложение 3.14.Координаты такой образующей принимают всего два раз­ных значения: 0 и либо −1, либо 1. При этом образующие можно поделить натакие два множества. Для любого ∈ [Γ + 2, − 1] есть ровно одна образую­щая, содержащая по одной ненулевой координате в каждом ряду из промежутка[, −1], и всеми остальными координатами равными 0. Кроме того, для любого ∈ [Γ + 2, Γ ] есть ровно одна образующая, содержащая по одной ненулевойкоординате в каждом ряду из промежутка [, Γ ], и всеми остальными коорди­натами равными 0.Доказательство.В соответствии с предложением 3.10, для любого ребра од­ного из конусов 1 и 2 подграф Δ получается из, соответственно, Δ1 илиΔ2 удалением одного ребра. Тогда у Δ действительно ровно одна из трех ком­понент не будет содержать вершин в ряду Γ + 1.

У соответствующей образую­щей все координаты в этой компоненте равны либо 1, либо −1, в зависимостиот направления удаленного ребра. Все остальные координаты равны нулю.Для каждого из ребер графов Δ1 и Δ2 можно теперь рассмотреть получа­ющийся при удалении этого ребра граф и получить таким образом утверждениепредложения. Первое множество образующих соответствует удалению ребер изкомпоненты, не содержащей вершины из ряда , а второе множество — удале­нию ребер из другой компоненты.52Образующие из первого множества в предложении 3.14 будем обозначать1 (образующая конуса 1 ) и 2 (образующая конуса 2 ), тут ∈ [Γ + 2, − 1].Образующие из второго множества обозначим 1 и 2 , где ∈ [Γ + 2, Γ ]. Вотнекоторые из образующих, появляющихся в нашем примере, крестом помеченоудаляемое ребро.0000000001100012Γ +201Γ +2−11Γ +3 (= 1 )110−10002Γ +2Рис. 6.1Легко убедиться в том, что для ∈ [Γ + 2, − 1] выполняется ( ) =2121 ( ), а для ∈ [Γ +2, Γ ], ̸= выполняется ( ) = ( ).

Однако ( ) =2−1 −1Γ +1 , в то время как ( ) = Γ +1 .Последний вопрос, требующий обсуждения прежде чем мы приведем ито­говое вычисление — это системы весов на гранях конусов 1 и 2 .Предложение 3.15.Для грани любого из двух конусов имеет местоΓ′ (1 , 2 )( ) = (1 − )dim .Доказательство.Число компонент связности графа Δ равно dim +2, в силучего он получается из Δ1 или Δ2 удалением dim ребер. Отсюда вес (1−)dim получается непосредственно по определению Γ′ (1 , 2 ).Вышеизложенные факты в совокупности с предложением (3.4) дают ра­венства1 (Γ′ (1 ,2 ) (1 )) = ( )и1 − −1Γ +11 − −1Γ +11 − −1 Γ +1 (Γ′ (1 ,2 ) (2 )) = ( ),1 − −1 Γ +1253где⎛⎞−11⎜ ∏︁1−=⎜⎝11−= +2Γ1∏︁∈[Γ +2,Γ̸=1 − ⎟⎟.1 ⎠1−]Кроме того, из леммы 3.12 следует, чтоΓ′ (0, 0) = (Γ′ (0) )(︃11+1 − −1Γ +11− −1Γ +11 − −1 Γ +11 − −1 Γ +1+)︃ = (Γ′ (0) ).−1 −2 1 221 −2 2 1Так как (1 ) = −Γ +1 Γ +1 и ( ) = Γ +1 Γ +1 и, наконец,Γ′ (0) = 1, мы заключаем, что1∑︁1 ,2 Γ′ (1 , 2 ) =1 ≤0,2 ≥01 − −1Γ +11− −1Γ +1(︃∑︁(1 − )21 −2 2 1−Γ +1 Γ +1 +1 >0>2)︃(1 − )∑︁11−Γ +1 Γ +1 + (1 − )1 >01 − −1 Γ +11 − −1 Γ +1∑︁22−Γ +1 +2 <0(︃∑︁2(1 − )1 −2 1 2−Γ +1 Γ +1 +1 >0>2)︃(1 − )∑︁11−Γ +1 + (1 − )1 >01 − −1Γ +1−11 − Γ +1∑︁22−Γ +1 Γ +1+ 1 − 2 =2 <0(︃−1 Γ +1+−1 )(1 − −1)(1−Γ +1 Γ +1 Γ +1)︃−1−1Γ +1 Γ +1+ (1 − )+(1 − ) Γ +1−11 − Γ +1 −11 − Γ +1 Γ +1(︃ −11 − −1Γ +1 Γ +12(1 − )+−1−11 − Γ +1(1 − Γ +1 )(1 − Γ +1 −1)Γ +1)︃−1−1+1ΓΓ +1(1 − ) Γ +1+ (1 − )+ 1 − 2 = 0.−1−11 − Γ +1 1 − Γ +1 Γ +1(1 − )2Последнее равенство проверяется напрямую, например, машинно.54Случай 2.Хотя бы два различны между собой (и мы вне случая 1).Достаточно показать, что для любой вершины многогранника Γ (1 , .