Диссертация (1137409)
Текст из файла
Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего профессионального образования Национальный исследовательскийуниверситет «Высшая школа экономики»На правах рукописиМахлин Игорь ЮрьевичКвазиклассические формулы для характеровпредставлений аффинных алгебр01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чиселДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительд. ф.-м.
н., проф.Фейгин Борис ЛьвовичМосква – 20162Оглавление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . .101.1.Формула Каца–Вейля и функции Холла–Литтлвуда . . . . . . . .101.2.Характеры алгебры gl и многогранники Гельфанда–Цетлина . .111.3.Комбинаторная формула для многочленов Холла–Литтлвуда . .131.4.Подпространства Фейгина–Стояновского и мономиальные базисы 141.5.Валюации и теорема Бриона . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .18. . . . . . . . . . .222.1.Взвешенная теорема Бриона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.2.Результаты для финитного случая . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.3.Комбинаторная формула для аффинных функций Холла–ЛиттВведениеГлава 1.Глава 2.Предварительные сведенияФормулировки основных результатовлвуда . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26Применение теоремы Бриона в аффинном случае . . . . . . . . .29. . . . . . . . . . . . . . . .343.1.Доказательство взвешенной теоремы Бриона . . . . . . . . . . . .343.2.Вырождения многогранников .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .363.3.Обобщенные многогранники Гельфанда–Цетлина . . . . . . . . .413.4.Доказательство леммы 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55. . . . . . . . . . .624.1.Доказательство для финитного случая .
. . . . . . . . . . . . . .624.2.Теорема типа Бриона для Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .664.3.Соответствие между гранями в Π и подграфами решетки . . . .744.4.Доказательство теоремы 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .972.4.Глава 3.Глава 4.Комбинаторные инструментыДоказательства основных результатовСписок литературыПриложение А.Иллюстрации к разделу 4.3. . . . . . . . . . . . . 1003ВведениеАктуальность и степень разработанности темы исследования.Неприводимые характеры являются одним из центральных объектов изучения теориипредставлений алгебр Ли. Классической формулой для характера неприводимого представления полупростой алгебры Ли является формула Вейля. Есть множество различных способов вывода этой формулы, в том числе традиционныеалгебраические способы. Мы, однако, обратимся сейчас к способу геометрическому.Пусть — комплексная полупростая алгебра Ли, = / — соответствующее ей многообразие флагов.
Для целочисленного доминантного веса на можно определить эквивариантное линейное расслоение ℒ . При этом окажется, что пространство глобальных сечений расслоения ℒ есть в точностисоответствующее неприводимое представление , а старшие когомологии у ℒнулевые (теорема Бореля–Вейля–Ботта). Это позволяет получить формулу дляхарактера char , выписав эквивариантную голоморфную формулу Лефшеца.Полученная таким образом формула совпадет с формулой Вейля для характераи будет иметь вид суммы по неподвижным точкам в .
При этом вклад каждойточки будет определяться локальными свойствами расслоения в этой точке ℒ .Такой подход, состоящий в разложении некоторой глобальной сущностив сумму ее локальных аппроксимаций в неподвижных точках, иногда называют «квазиклассическим» — термин физического происхождения. Эта работаво многом посвящена тому наблюдению, что своего рода квазиклассическийподход можно применить и к другому не менее важному для нас классу формул для характеров — комбинаторным формулам. Обсудим вкратце этот классформул.Комбинаторная формула представляет характер в виде суммы по некоторому комбинаторному множеству — дискретному набору объектов с заданнымисвойствами.
Как правило, при этом в представлении указывается базис, элемен4ты которого нумеруется тем же комбинаторным множеством, откуда сразу жевытекает формула для характера. Архетипичный пример здесь — это базисГельфанда–Цетлина в представлении алгебры gl (C), построенный в классической работе [1]. Этот базис нумеруется таблицами Гельфанда–Цетлина или эквивалентными им полустандартными таблицами Юнга и дает комбинаторнуюформулу для характера неприводимого конечномерного gl -модуля (многочлена Шура).
Также в этом контексте стоит упомянуть обобщения базисов Гельфанда–Цетлина на другие типы (см. [2]), струнные базисы ([3, 4]) и мономиальные базисы Фейгина–Фурье–Литтелманна–Винберга для типов и ([5, 6]).Практически во всех этих примерах оказывается, что рассматриваемыекомбинаторные объекты являются массивами целых чисел, удовлетворяющихнабору линейных неравенств.
Это позволяет представить комбинаторное множество в виде множества целых точек в некотором выпуклом многограннике,архетипичный пример, опять же — многогранники Гельфанда–Цетлина. Приэтом вклад каждой целой точки в формулу для характера оказывается определенной экспонентой этой точки. Здесь и появляется упомянутый нами квазиклассический подход — теорема Бриона из теории решеточных многогранников.Она представляет сумму экспонент целых точек многогранника в виде суммыпо его вершинам. При этом вклад каждой вершины определяется касательнымконусом к многограннику в этой вершине, то есть, опять же, локальной аппроксимацией многогранника.Обсудим теперь, каким образом этот сюжет обобщается в двух направлениях.
Сперва перейдем от неприводимых характеров к многочленам Холла–Литтлвуда, а затем от полупростых алгебр к аффинным.Многочлены Холла–Литтлвуда также нумеруются целочисленными доминантными весами и являются однопараметрическими деформациями неприводимых характеров. Они определяются при помощи несложного видоизменения формулы Вейля для характера c введением дополнительной переменной .Классические многочлены Холла–Литтлвуда соответствуют типу и изначаль5но появились в теории абелевых -групп. Они обладают целым списком свойств,относящихся к разным областям математики, многие из которых обсуждаютсяв книге [7].Для произвольного финитного типа эти многочлены можно получить втом же геометрическом квазиклассическом контексте, что и неприводимые характеры.
Для этого нужно рассмотреть на многообразии флагов подкрученный пучок дифференциальных форм Ω* ⊗ ℒ . Этот пучок в общем случае ужене будет ациклическим и поэтому применение эквивариантной голоморфнойформулы Лефшеца даст так называемую эквивариантную эйлерову характеристику:∑︁(−1) char( (, Ω ⊗ ℒ )).,≥0Эта эйлерова характеристика и будет многочленом Холла–Литтлвуда. (Строгоговоря, в случае особого веса данная эйлерова характеристика будет равнамногочлену Холла–Литтлвуда с точностью до множителя — многочлена от .Для избавления от этого множителя можно вместо рассмотреть соответствующее параболическое многообразие флагов.)В типе для многочленов Холла–Литтлвуда известна комбинаторная формула, восходящая к [7].
Как и формула Гельфанда–Цетлина, она следует изправила ветвления для этих многочленов и описывается следующим образом.Параметризующее множество опять же состоит из таблиц Гельфанда–Цетлина,а соответствующее таблице слагаемое есть произведение экспоненты из формулы Гельфанда–Цетлина и некоторого многочлена от переменной , так называемого -веса. Таким образом, многочлен Холла–Литтлвуда типа также можетбыть представлен в виде суммы экспонент целых точек в многограннике, но наэтот раз взвешенной.Перейдем к обсуждению аффинных алгебр Ли. Как и для любой симметризуемой алгебры Каца–Муди, характер интегрируемого неприводимого представления такой алгебры можно записать при помощи формулы Каца–Вейля,6обобщающей формулу Вейля для финитного случая.̂︀ (C).
В этом случае можОстановим свое внимание на типе ˜ и алгебрах slно определить соответствующее (бесконечномерное) многообразие флагов изаданное целочисленным доминантным весом линейное расслоение ℒ . Будетиметь место аналог теоремы Бореля–Вейля–Ботта: это расслоение вновь будетациклическим и нулевые когомологии будут представлять из себя интегрируемое неприводимое представление . Далее, выписав соответствующую версиюэквивариантной голоморфной формулы Лефшеца, мы получим формулу длянеприводимого характера в виде суммы по неподвижным точкам, которая совпадет с формулой Каца–Вейля.
Этот сценарий обсуждается в [8].̂︀ (C)Более того, для интегрируемого неприводимого характера алгебры slбыла также получена комбинаторная формула. Это сделано в цикле работ различных авторов, к которому можно отнести статьи [8–12].
Эта формула тожезадается комбинаторным базисом, элементы которого параметризуются целыми точками в некотором многограннике, правда, уже бесконечномерном. Вкладточки при этом тоже равен определенной ее экспоненте.Наконец, для целочисленного доминантного веса симметризуемой алгебры Каца–Муди можно определить функцию Холла–Литтлвуда, аналогичнымобразом продеформировав формулу Каца–Вейля. (Слово «функция» используется вместо слова «многочлен» по причине бесконечности этих выражений.)Обратимся опять же к типу ˜. В этом случае функции Холла–Литтлвуда играют роль в теории представлений двойной аффинной алгебры Гекке ([13]), атакже в геометрии упомянутых аффинных многообразий флагов.
В последнемконтексте они появляются вполне аналогично финитному случаю: как эквивариантные эйлеровы характеристики подкрученных пучков дифференциальныхформ на аффинных многообразиях флагов. Это обсуждается, в частности, вработе [14].Цели и задачи диссертационной работы:Метод получения формулдля характеров при помощи теоремы Бриона в литературе освещен слабо. Из7известных автору работ к нему можно отнести разве что статью [15], где рассматриваются некоторые финитизации упомянутых бесконечномерных многогранников, появляющихся в комбинаторной формуле для аффинного неприводимого характера. Там проверяется некоторая версия теоремы Бриона для этихмногогранников и упоминаются близкие к самой теореме Бриона идеи Пухликова и Хованского.Одна из основных целей этой работы — это восполнить этот пробел.
Первый шаг должен заключаться в том, чтобы применить теорему Бриона к многогранникам Гельфанда–Цетлина и установить, какая формула для характера получается таким образом. В отношении финитного случая стоит такжецель найти обобщение (взвешенную версию) теоремы Бриона, которую можнобыло бы применить к комбинаторной формуле для классических многочленовХолла–Литтлвуда, и исследовать результат этого применения.Кроме того, планируется сформулировать аналог теоремы Бриона длябесконечномерного многогранника, параметризующего базис в неприводимом̂︀ (C)-модуле, и, опять же, получить таким образом формулу для характера.slВторая основная цель и центральное нововведение этой работы: получениекомбинаторной формулы для аффинных функций Холла–Литтлвуда типа ˜.При этом желательно, чтобы новая формула тоже имела вид суммы по целымточкам того или иного многогранника и доказывалась при помощи формулытипа Бриона для этого многогранника.Научная новизна.Результаты диссертации являются новыми, основныерезультаты заключаются в следующем.∙ Установлено, что при применении теоремы Бриона к многограннику Гельфанда–Цетлина и надлежащей специализации вклады большей части вершин зануляются, а вклады оставшихся вершин дают слагаемые в формулеВейля для характера.∙ Найдено обобщение теоремы Бриона, в котором экспоненты точек сумми8руются с весами, зависящими от минимальной грани, содержащей точку.∙ Обобщение теоремы Бриона применено к комбинаторной формуле длямногочленов Холла–Литтлвуда и показано, что снова вклады большей части вершин зануляются, а вклады оставшихся дают слагаемые в стандартной формуле для многочлена Холла–Литтлвуда.∙ Доказана формула типа Бриона для многогранника из комбинаторнойформулы для неприводимого аффинного характера.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
