Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 5

Эти ряды стоит рассматривать какрезультат применения специализации к «взвешенной целоточечной свертке»касательного конуса . Приведем аналог взвешенной теоремы Бриона для Π.Теорема 2.9.В S имеем∑︁( (Π)) = . вершина ΠТеорема 2.6 принимает вид(2.11) = ( (Π))и следует из аналога теоремы 2.3 ниже.Теорема 2.10.В множестве вершин многогранника Π выделяется подмноже­ство, занумерованное орбитой , со следующими свойствами.a) Если вершина принадлежит выделенному подмножеству и соответству­ет ∈ , то(︂− − (1 − )∑︁1∈Φ+(︂)︂ =∏︀ ()=(1 − − ) ∏︀∈Φ+)︂.33b) Для всех остальных вершин имеет место = 0.( () — ряд Пуанкаре стабилизатора, см. раздел 1.1.)Аналогично финитному случаю, теорема 2.8 следует из теоремы 2.10.34Глава 3Комбинаторные инструменты3.1. Доказательство взвешенной теоремы БрионаДокажем теорему 2.1 в обозначениях разделов 1.5 и 2.1.

Наиболее есте­ственно это делается при помощи следующей версии теоремы Бриона для от­крытых многогранников.Теорема 3.1([21, теоремы 7.4 и 13.8a]). Для замкнутого выпуклого рациональ­ного многогранника имеем(Int ) =∑︁(Int ). вершина (Здесь мы ввели обозначение (Int ) = ℐ([Int ]).)Применим к равенству (2.1) валюацию ℐ . Сле­Доказательство теоремы 2.1.ва мы получим ( ), а справа∑︁( )(Int ). ∈ℱРаспишем каждое слагаемое в этой сумме в соответствии с теоремой 3.1, полу­чим:∑︁ ∈ℱ( )∑︁(Int , ) = вершина =∑︁∑︁ вершина ∈ ∈ℱ( )(Int , ) =∑︁ (, ).

вершина В последнем переходе использованы равенства вида (2.1) для многогранников, .В этом же разделе мы докажем несколько свойств взвешенных целоточеч­ных сверток, которые понадобятся нам в дальнейшем. Начнем с такого простого35замечания. Из определения валюации ℐ следует, что ряд (Int ) внутри неко­торой открытой области абсолютно сходится к функции (Int ).Предложение 3.2.Функцию ( ) можно привести к знаменателю равномупроизведению сомножителей 1 − по всем образующим ребер многогранни­ка . (Образующей ребра мы называем минимальный целочисленной вектор,сонаправленный ребру.)Доказательство.Пусть, для начала, — конус и ≡ 1, то есть мы находимсяв невзвешенном случае. Для этого случая утверждение предложения доказано,например, в [24, глава 3]. Для произвольного рационального многогранника и ≡ 1 утверждение немедленно вытекает из теоремы Бриона и утверждениядля конусов.

Перейдем к взвешенному случаю.Для грани выберем рациональную точку ∈ Int и рассмотрим мно­гогранник ′ , получающийся из при помощи гомотетии с центром в и ра­циональным коэффициентом меньше единицы. При этом потребуем, чтобы ′содержал все целые точки, лежащие в Int . С одной стороны, ( ′ ) = (Int )и, следовательно, ( ′ ) = (Int ).С другой стороны, ( ) =∑︁( )(Int ) = ∈ℱ∑︁( )( ′ ).

∈ℱПоследняя же сумма приводится к требуемому знаменателю в силу уже рас­смотренного невзвешенного случая.Предложение 3.3.Рассмотрим в R два рациональных многогранника: ,содержащийся в линейной оболочке первых ℓ базисных векторов, и , содержа­щийся в линейной оболочке последних − ℓ. Пусть нам так же даны системывесов : ℱ → и : ℱ → . Тогда на гранях многогранника × можнорассмотреть систему весов × .

В этих обозначениях имеет место× ( × ) = ( ) ().36Доказательство.Рассмотрим у грань , у грань ℎ. Тогда (Int( × ℎ)) =(Int ) × (Int ℎ), откуда (Int( × ℎ)) = (Int )(Int ℎ). Просуммировавданные равенства по всем парам и ℎ с коэффициентами ( )(ℎ), получимтребуемое.Предложение 3.4.Пусть — целочисленный симплициальный унимодуляр­ный конус с вершиной и ребрами 1 , . . . , , образованными векторами 1 , . . . , .Пусть также 1 , . . . , ∈ и система весов : ℱ → задана правилом( ) =∏︁(1 + ). ⊂Тогда имеет место равенство () =Доказательство.(1 + 1 1 ) .

. . (1 + ).(1 − 1 ) . . . (1 − )Например, это предложение можно получить, проверив егодля одномерных конусов, а затем −1 раз применив предыдущее предложениео произведениях многогранников.3.2. Вырождения многогранниковВ этом разделе мы введем понятие вырождения многогранника и покажемкак оно взаимодействует с теоремой Бриона.

Это понятие будет важно для наспо следующей причине: многогранник Гельфанда–Цетлина, заданный особым(нерегулярным) весом, является вырождением многогранника, соответствую­щего регулярному весу. Более того, в аффинном сценарии аналогичный фактимеет место для многогранников Π.Пусть — замкнутый выпуклый многогранник в пространстве размерно­сти .

(В этом разделе для нас будет существенно, что не является точкой.)Распространим определение касательного конуса на грани высшей размер­ности. Для этого у выберем грань и в ней внутреннюю точку ∈ Int .37Тогда касательный конус в — это = , = { + ( − ), ∈ , ≥ 0}.При dim > 0 этот конус не будет иметь вершин, его минимальная грань будетаффинной оболочкой грани .

Введем также конус = , = − , где произвольная точка в . Легко видеть, что конус не зависит от выбора исодержит начало координат в своей минимальной грани.Теперь дадим определение нормального веера многогранника. Нормаль­ный веер ( ) многогранника — это набор {∘ , ∈ ℱ }.

Для грани размерности многогранник ∘ будет конусом размерности − , его мини­мальная грань будет пространством размерности − dim , содержащим на­чало координат. Более того, если грань содержит грань ℎ, то конус ∘ будетгранью конуса ℎ∘ . То, что эти конусы образуют веер, означает, что их наборзамкнут относительно взятия грани и непустое пересечение двух из них являет­ся гранью для обоих. Подробнее про понятие веера и нормального веера можнопрочитать, например, в учебнике по торической геометрии [25].Мы будем говорить, что многогранник ′ являетсявырождениеммного­гранника , если веер ( ) образует подразбиение веера ( ′ ), то есть⋃︁∈ ( )=⋃︁′ ′ ∈ ( ′ )и для любого конуса ∈ ( ) найдется конус ′ ∈ ( ′ ) с ⊂ ′ .

Сразуотметим, что ′ может при этом иметь размерность меньшую размерности ,как и будет в большинстве рассматриваемых нами случаев.Дадим неформальное пояснение. Аналогично понятиям вырождений дру­гих структур, вырождения многогранников можно было бы определить следую­щим образом. Для многогранника рассмотрим его непрерывную деформацию () с (0) = такую, что для любого ∈ [0, 1) многогранник () сильнокомбинаторно эквивалентен , то есть имеет такой же нормальный веер. (Дру­гими словами, многогранники сильно комбинаторно эквивалентны, если между38множествами их граней есть биекция, сохраняющая отношение включения ипереводящая каждую грань в параллельную ей.) Тогда многогранник (1) —вырождение многогранника .В такой ситуации при переходе к = 1 некоторые грани «склеиваются»между собой и соответствующие им элементы нормального веера объединяют­ся.

Однако полное доказательство эквивалентности этих определений потребо­вало бы определенного количества технической возни. Нам же эта эквивалент­ность не потребуется, а выбранное определение удобнее для наших целей, хотьи, пожалуй, менее естественно.Пусть даны многогранник и его вырождение ′ .

Для каждой грани ⊂ можно рассмотреть минимальный конус ∘ ′ ∈ ( ′ ), для которого∘ ⊂ ∘ ′ . Соответственно, ′ — максимальная грань, для которой выполне­но последнее включение, обозначим ее ( ). Очевидно, что отображение :ℱ → ℱ ′ сюръективно, не увеличивает размерность грани и уважает отноше­ние включения. Сразу же докажем еще одно свойство отображения .Предложение 3.5.Для грани многогранника грань ( ) является вырож­дением .

При этом ограничение на ℱ задает соответствующее отображениедля этого вырождения.Доказательство.Рассмотрим грань ℎ ∈ ℱ , конус , будет касательнымк ,ℎ в его грани ,ℎ . Согласно общим свойствам полярной двойственности∘∘(см. [25, глава 1]) отсюда следует, что ,ℎ— это касательный конус к ,ℎв∘его грани ,. Значит, для построения веера ( ) нужно взять все конусы в∘ ( ), содержащие ,, и у каждого из них взять касательный конус в грани∘,.

Аналогично описывается и конус (( )).∘Отсюда следует, что для грани ℎ ∈ ℱ конус (),(ℎ) будет минимальным∘. Кроме того, для грани ℎ′ ∈ ℱ( )конусом веера (( )), содержащим ,ℎ∘∘∘∘конус (),ℎ′ будет объединением всех конусов ,ℎ с ℎ ∈ ℱ и ,ℎ ⊂ ′ ,ℎ′ .Из этих двух фактов вытекает предложение.39Мы теперь готовы представить лемму, описывающую взаимоотношениемеджду вырождениями и теоремой Бриона.

Предположим, что многогранники и ′ рациональны.Лемма 3.6.В введенных выше обозначениях имеет место равенство∑︁( ′ ) =( + () − ). вершина (В правой части рассматривается образ конуса при переносе на () − то есть с вершиной в точке () — вершине многогранника ′ . Мы позволимсебе такое злоупотребление обозначениями.)Дадим еще одно неформальное пояснение. В терминах упомянутой непре­рывной деформации () грань ( ) является предельным положением грани . Таким образом, лемма утверждает, что для выражения функции ( ′ ) мож­но пренебречь изменением комбинаторной структуры при переходе к = 1 изаписать теорему Бриона для предельных положений вершин и перенесенныхкасательных конусов к .Для доказательства леммы на понадобится такое утверждение.Предложение 3.7.Для вершины ′ многогранника ′ выполнено равенство∑︁[′ ] ≈[ + ( ′ − )] вершина ()= ′(равенство по модулю многогранников, содержащих аффинные прямые).Доказательство.Согласно определению имеем[∘′ ] =∑︁[∘ ] + ,(3.1) вершина ()= ′где — линейная комбинация функций вида [], где — конус размерностименьше .