Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 3

Для 1 ≤ ≤ − 1 выполнено ()1 + . . . + () ≤ 1 + . . . + .2. Для любого ≥ выполнено ()−+1 + . . . + ≤ (сумма последо­вательных членов).Теорема 1.3([10, 12]). Векторы {0 , ∈ Ξ} образуют базис пространства .Далее, следуя статье [12], покажем, как этот базис можно продолжить докомбинаторного базиса во всем пространстве .Определим вес = 1 + .

. . + −1 . Этому весу соответствует элемент группы Вейля , действующий по правилу(︂ = + (, ) −)︂1(, )(, ) + (, ) .2Аналогично подалгебре = 0 для ≥ 0 определим подалгебру ,порожденную () для всех 1 ≤ ≤ − 1 и ≤ . Кроме того, заметим,что весовое подпространство веса имеет размерность 1, фиксируем в немвектор .Моному из ( ) можно сопоставить последовательность (() , >−( − 1)) полностью аналогично моному из алгебры ( ). Определим мно­жество Ξ мономов из ( ), для которых () удовлетворяет аналогичнымдвум неравенствам.1. Для 1 ≤ ≤ − 1 выполнено ()−(−1)+1 + . .

. + ()−(−1)+ ≤1 + . . . + .2. Для любого ≥ выполнено ()−(−1)+−+1 + . . . + −(−1)+ ≤ .Теорема 1.4( ) .([10, 12]). Векторы { , ∈ Ξ } образуют базис пространства17Рассмотрим также моном ∈ ( ) для которого ( ) = mod при−( − 1) < ≤ −( − 1)( − 1) и ( ) = 0 при > −( − 1)( − 1). То­гда вектор кратен −1 , будем считать, что = −1 . Отсюда следует,что построенные базисы в пространствах (0 )0 , (1 )1 , . . . образуют возрас­тающую последовательность множеств. Таким образом, взяв их объединение,мы получаем базис во всем пространстве , воспользовавшись следующей тео­ремой.Теорема 1.5([10, 12]).

Последовательность пространств(0 )0 ⊂ (1 )1 ⊂ . . .исчерпывает пространство .Более того, нетрудно видеть, что построенный базис в параметризуетсямножеством Π бесконечныx в обе стороны последовательностей целых чисел = ( , ∈ Z), удовлетворяющими трем требованиям.i) = 0 при ≫ 0.ii) = mod при ≪ 0.iii) ≥ 0 и −+1 + −+2 + . . . + ≤ (сумма подряд идущих членов)для любого .В самом деле, рассмотрим последовательность ∈ Π и выберем такое, что = mod при ≤ −( − 1).

Тогда в Ξ найдется моном , длякоторого последовательность () получается из отбрасыванием членов сномерами меньшими −( − 1) + 1. Тогда базисный вектор, соответствующий, есть = и не зависит от выбора в силу равенства = −1 .Рассмотренные в этом разделе базисы можно назвать мономиальными по­тому, что каждый их элемент получается под действием монома от весовыхподпространств в алгебре Ли.18Сразу же дадим явную формулу для веса вектора , которая следуетнепосредственно из определений. Введем 0 ∈ Π такое, что 0 = 0 при > 0 и0 = ( mod ) при ≤ 0.

Координаты веса − выражаются через почленнуюразность − 0 . Действительно, корни (−1 , . . . , −−1 , −) образуют базис впространстве весов уровня 0, выпишем координаты веса − в этом базисе:координата, отвечающая − равна∑︁ (︁(−1)+ −0(−1)+)︁,(1.8)∈Zв то время как координата, отвечающая − равна∑︁ ⌈︂∈Z⌉︂( − 0 ).−1(1.9)Например, 0 = , то есть 0 = 0 .Мы получаем комбинаторную формулу для характера представления :char = ∑︁ .(1.10)∈ΠУже сейчас можно заметить, что построенный базис в занумерован по­следовательностями целых чисел, удовлетворяющих некоторым линейным нера­венствам.

Такое множество последовательностей естественно рассматривать вкачестве множества целых точек в соответствующем счетномерном «многогран­нике» (который мы определим в следующей главе). Более того, видно, что ха­рактер пространства опять же представляется в виде суммы определенных экс­понент этих целых точек, наподобие сумм, рассматриваемых в теореме Бриона.1.5. Валюации и теорема БрионаРассмотрим конечномерное вещественное пространство ≃ R , для егоподмножества обозначим [ ] его характеристическую функцию, равную 1 вточках и 0 вне .

Рассмотрим также множество замкнутых выпуклых ра­циональных (не обязательно ограниченных) многогранников в , то есть пере­сечений конечных наборов полупространств, заданных нестрогими линейными19неравенствами с целыми коэффициентами. Вещественное линейное простран­ство, порожденное характеристическими функциями всех таких многогранни­ков обозначим ( ).Валюациейбудем называть любое линейное отображениеиз ( ).Фиксируем в базис и решетку целых точек Z ⊂ R . Выберем набориз переменных 1 , . . .

, , для целой точки определим ее формальную экс­поненту = 11 . . . . Для любого подмножества ⊂ R определена егопроизводящая функция( ) =∑︁ ,∈ ∩Zформальный ряд Лорана от переменных 1 , . . . , . Отображение : [ ] ↦→( ), очевидно, продолжается до валюации±1 : ( ) → R[[±11 , . . . , ]].Далее, пусть ⊂ — подпространство, порожденное функциями [ ] длявсех , содержащих в себе аффинную прямую. Для , ∈ будем писать ≈ если − ∈ .

Наиболее существенной для нас будет валюация,определяемая следующей теоремой.Теорема 1.6([21, теорема 13.8a]). Существует валюацияℐ : ( ) → R(1 , . . . , )такая, что для любого замкнутого выпуклого рационального многогранника ⊂ имеют место:1. при [ ] ̸≈ 0 ряд ( ) абсолютно сходится к рациональной функции ℐ([ ])при 1 , . . . , принимающих значения внутри некоторой открытой обла­сти;2. при [ ] ≈ 0 выполняется ℐ([ ]) = 0.20Для многогранника мы будем также использовать обозначение ( ) =ℐ([ ]). В англоязычной литературе полученная таким образом по многогран­нику рациональная функция называется “integer point transform”, мы же будеминогда использовать термин «целоточечная свертка ».В качестве примера приведем явное выражение для функции (), ко­гда — целочисленный симплициальный унимодулярный конус, то есть ко­нус с целой вершиной и целыми же образующими 1 , .

. . , такими, что|1 , . . . , | = ±1. Выражение это выглядит так:() =.(1 − 1 ) . . . (1 − )В этой формуле можно узнать формулу для произведение сумм бесконечныхгеометрических прогрессий — ряд () имеет вид именно такого произведения.Далее, выберем многогранник . В каждой его вершине можно рассмот­реть касательный конус = { + ( − ), ∈ , ≥ 0}.(Обозначение мы будем использовать в общей ситуации, если многогран­ник ясен из контекста. В противном случае мы будем писать , .) ТеоремаБриона — это следующее тождество в поле рациональных функций.Теорема 1.7([22, 23]).( ) =∑︁( ). вершина В книгах [21, глава 13] и [24, глава 9] можно найти весьма удачные обсуж­дения этого важнейшего для нас результата.В завершение раздела определим еще одну валюацию, которая понадобит­ся нам в дальнейшем.

Выбор базиса задает в скалярное произведение. По­лярно двойственным к многогранником называется ∘ = {|∀ ∈ : (, ) ≤ 1}.21Теорема 1.8([21, теорема 5.3]). Отображение : [ ] ↦→ [ ∘ ] продолжается довалюации : ( ) → ( ).22Глава 2Формулировки основных результатов2.1. Взвешенная теорема БрионаПриводимый здесь результат нетрудно выводится из теоремы 1.7 и, во мно­гом, является инструментом для доказательства (некоторых из) результатов ни­же. Этот инструмент, однако же, ключевой и в литературе, по всей видимости,не встречается.

По этим причинам мы включим его в данную главу.Сперва слегка обобщим контекст раздела 1.5. Рассмотрим унитальную це­лостную R-алгебру и в качестве элементов пространства ( ) будем рас­сматривать уже не вещественнозначные функции, а функции со значениями в. При этом ( ) определяется как -модуль, порожденный теми же функци­ями [ ], а валюациями называются -гомоморфизмы. Определенные валюации , ℐ и можно -линейно продолжить с ( ) на ( ) до валюаций , ℐи .Для того чтобы сформулировать обобщение теоремы 1.7 введем следую­щие объекты. Обозначим множество граней рационального выпуклого много­гранника через ℱ и рассмотрим произвольное отображение : ℱ → (такое отображение мы будем называтьсистемой весов).

Это отображение за­дает функцию : → по правилу () = ( ), где — минимальная грань,содержащая .Функция , вне продолженная нулем, принадлежит ( ). Наиболеепрозрачно это объясняется следующим образом. Для многогранника будемобозначать Int его относительнуювнутренность, то есть без всех его соб­ственных граней. (В частности, относительная внутренность точки — сама этаточка.) Согласно [21, глава 7], характеристическая функция [Int ] принадле­23жит пространству ( ).

Однако же ясно, что[] =∑︁( )[Int ].(2.1) ∈ℱВведем обозначения ( ) = () и ( ) = ℐ ().Далее, если — вершина , то существует очевидное вложение ℱ ˓→ ℱ .Отображение поэтому естественным образом определено на множестве ℱ ,и можно рассмотреть функции ( ) и ( ). Взвешенную версию теоремыБриона можно теперь сформулировать следующим образом.Теорема 2.1. ( ) =∑︀ вершина ( ).Отметим, что аналогичные определения и результаты можно сформулиро­вать и в общем случае, когда — произвольная абелева группа. Нас, однако,будет интересовать исключительно случай = C[].2.2. Результаты для финитного случаяВ этом разделе мы покажем как при помощи обычной и взвешенной теоре­мы Бриона получить комбинаторные формулы для многочленов Шура и (клас­сических) многочленов Холла–Литтлвуда соответственно. Сами эти формулыновыми не являются, новизна состоит в таком подходе к их доказательству илюбопытных деталях его реализации.

Кроме того, обсуждение этих результа­тов должно упростить восприятие доказательств новых формул для аффинногослучая.Мы будем пользоваться обозначениями из разделов 1.2-1.3: — целочис­ленный доминантный вес алгебры gl (C), а — соответствующий многогран­ник Гельфанда–Цетлина.Формальная экспонента точки вмногогранник ГЦ, есть моном от(︀+1)︀2(︀+1)︀2-мерном пространстве, содержащем-переменных.

Обозначим эти переменные, , нумеруя их в соответствии с элементами таблицы ГЦ.24Из формулы (1.4) для веса следует, что для таблицы ГЦ моном получается из монома (формальная экспонента точки) при помощи специа­лизации, ↦→⎧⎪⎨1при = 0,⎪⎩−1 +1при > 0.(2.2)В общем случае, результат применения этой замены к рациональной функции от переменных , мы будем обозначать ().Отсюда, посредством формулы (1.5), следует такая формула: (1 , . . .

, ) = (( )) = (( ))(для любого ограниченного многогранника рациональная функция ( ) сов­падает с многочленом Лорана ( )).Правая часть в этом равенстве может быть вычислена при помощи теоре­мы Бриона. Покажем, каким образом результирующее выражение оказываетсяклассической знакопеременной формулой для многочленов Шура (формулойВейля для характера представления ), то есть формулой⎛ (1 , .