Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 6

Для такого конус ∘ будет конусом, содержащим аффинную пря­мую. Следовательно, применив валюацию к (3.1), мы получим утверждениелеммы с точностью до переноса на ′ .40Нам достаточно показать, что для каждой верши­Доказательство леммы 3.6.ны ′ многогранника ′ имеет место равенство(′ ) =∑︁( + ( ′ − )). вершина ()= ′Это равенство, однако, получится, если к равенству из предложения 3.7применить валюацию ℐ .Сразу же перейдем к обобщению леммы 3.6 на взвешенный случай. Пустьдана целостная R-алгебра и отображение : ℱ → .Лемма 3.8.Определим ′ : ℱ ′ → по правилу′ ( ′ ) =∑︁′(−1)dim −dim ( ). ∈ −1 ( ′ )Тогда имеет место равенство′ ( ) =′∑︁ ( + () − ).

вершина (Грани конуса + () − находятся в очевидной биекции с гранями конуса , соответствующую систему весов мы для краткости также будем обозначать.)Для доказательства мы воспользуемся следующим фактом.Теорема 3.9(Взаимность Стэнли, [21, теорема 7.3]). Пусть — выпуклыймногогранный рациональный конус размерности , минимальная грань которо­го содержит начало координат. Тогда[−] ≈ (−1) [Int ].(− — конус симметричный относительно начала координат.)41Доказательство леммы 3.8.Опять же, нам достаточно показать, что для каж­дой вершины ′ многогранника ′ имеет место равенство∑︁′ (′ ) = ( + ( ′ − )).(3.2) вершина ()= ′Рассмотрим у грань такую, что ( ) содержит ′ .

Следуя предложе­нию 3.5, рассмотрим вырождение в ( ). Применим к этому вырождению ивершине ′ грани ( ) предложение 3.7:[( ),′ ] ≈∑︁[, + ( ′ − )]. вершина ()= ′Теперь применим ко всем конусам в этом равенстве перенос на − ′ , а затемотражение относительно начала координат и теорему 3.9, получим:(−1)dim ( ) [Int(( ),′ − ′ )] ≈ (−1)dim ∑︁[Int(, − )].

вершина ()= ′Применив обратный перенос на ′ и валюацию ℐ , получим, наконец,(−1)dim −dim ( ) (Int(( ),′ )) =∑︁ (Int(, + ( ′ − ))) .(3.3) вершина ()= ′Теперь заметим, что ( ) содержит ′ тогда и только тогда, когда у найдется вершина с () = ′ . Это следует из того, что сюръективно отоб­ражает множество вершин грани в множество вершин грани ( ).

Отсюдавыводим, что, просуммировав равенства (3.3) с коэффициентами ( ) по всем с ′ ∈ ( ), мы действительно получим равенство (3.2). (В соответствии сразложениями вида (2.1) для конуса ′ ,′ и системы весов ′ и всех конусов, + ( ′ − ) с () = ′ и, соответственно, систем весов .)3.3. Обобщенные многогранники Гельфанда–ЦетлинаЭтот и следующий разделы посвящены обсуждению свойств семействамногогранников, обобщающего многогранники Гельфанда–Цетлина.42Бесконечную квадратную решетку рассмотрим в качестве графа ℛ, вер­шины которого — узлы решетки, а ребра — соединяющие их отрезки.

Решеткуи граф мы будем представлять себе повернутыми на 45∘ , то есть так чтобыотрезки образовывали углы в ±45∘ с горизонталью.Вершины графа ℛ мы занумеруем парами целых чисел так же, как и эле­менты бесконечных таблиц ГЦ. А именно, множество вершин (, ·) образуютряд — множество вершин, расположенных на данной горизонтальной прямой.Внутри каждого ряда второе число возрастает слева направо, причем так, что­бы непосредственно над вершиной (, ) располагались вершины ( − 1, ) и( − 1, + 1).Подграф Γ ⊂ ℛ будем называть ординарным, если он обладает следующи­ми свойствами.1.

Γ — конечный связный индуцированный подграф.2. Если и (, ) ∈ Γ (то есть (, ) является вершиной Γ) и (, + 1) ∈ Γ, тотогда и ( + 1, ) ∈ Γ.3. Пусть Γ — самый верхний ряд, содержащий вершины подграфа Γ. Тогдадля любого > Γ из (, ) ∈ Γ и (, + 1) ∈ Γ следует ( − 1, + 1) ∈ Γ.(( − 1, + 1) и ( + 1, ) — это в точности два общих соседа вершин (, ) и(, + 1).) На рисунках 1-3 приведены примеры таких подграфов.Рис.

1.Рис. 2.Рис. 3.43Можно, например, отметить, что любой ординарный подграф содержитровно одну вершину в самом своем нижнем ряду.Пусть ℓΓ — количество вершин в верхнем ряду ординарного подграфа Γ.Каждому Γ и невозрастающей последовательности целых чисел 1 , .

. . , ℓΓ мы со­поставляем конечномерный выпуклый целочисленный многогранник Γ (1 , . . . , ℓΓ )в счетномерном пространстве, координаты в котором соответствуют вершинамℛ. Рассмотрим точку в этом пространстве с координатами (, ). По опреде­лению, ∈ Γ (1 , . . . , ℓΓ ) если и только если выполнены следующие условия.1. Для всех (, ) ̸∈ Γ имеем , = 0.2. ℓΓ координат точки в ряду Γ равны 1 , . . . , ℓΓ слева направо.3. Если (, ) ∈ Γ, то −1, ≥ , при условии, что (−1, ) ∈ Γ, и , ≥ −1,+1при условии, что ( − 1, + 1) ∈ Γ. Другими словами, для любых двухсмежных вершин графа Γ выполняется соответствующее неравенство ви­да (1.3).Это определение естественным образом обобщает многогранники Гельфанда–Цет­лина, ибо последние имеют вид (1 , .

. . , ), где ⊂ ℛ — ординарный под­граф, вершины которого есть (, ) с 0 ≤ ≤ − 1 и 1 ≤ ≤ − .Полезно иметь в виду альтернативные (но равносильные) формулиров­ки определений. Введем на множестве вершин графа ℛ частичный порядок:(1 , 1 ) ⪰ (2 , 2 ) если 1 ≤ 2 и 1 + 1 ≤ 2 + 2 . Обозначим теперь подмноже­ство вершин (, ) с ≥ , снабженное индуцированным отношением порядка.Тогда ординарный подграф в ℛ — это конечный связный индуцированный под­граф, множество вершин которого образует выпуклое относительно введенногоотношения порядка подмножество в , где — верхний ряд, содержащий вер­шины подграфа.Более того, если обозначить Γ частично упорядоченное множество вер­шин ординарного подграфа Γ, то точка в многограннике Γ (1 , .

. . , ℓΓ ) — это44в точности отображение из Γ в (R, ≥), уважающее отношение порядка и пере­водящее -ую слева вершину графа Γ в ряду Γ в число .Теперь заметим, что каждая точка ∈ Γ (1 , . . . , ℓΓ ) задает подграфΔ (Γ) ⊂ Γ, вершины которого есть все вершины Γ, а ребра — те ребра Γ,для которых равны две соответствующих координаты в . Минимальная граньмногогранника Γ (1 , . . . , ℓΓ ), содержащая , определяется набором тех из нера­венств, задающих многогранник, которые в обращаются в равенства, то естьв точности подграфом Δ (Γ). Это наблюдение приводит к описанию гранеймногогранника.Предложение 3.10.Грани многогранника Γ (1 , . . . , ℓΓ ) находятся во взаим­но однозначном соответствии с подрафами в Γ, содержащими все его вершиныи обладающих тремя свойствами.1.

Если две смежные вершины Γ лежат в одной и той же компоненте связ­ности подграфа, то они являются смежными в подграфе.2. Если (, ) и (, + 1) лежат в одной компоненте связности подграфа, тотам же лежат и ( + 1, ) и ( − 1, + 1) (вторая при условии, что > Γ ).3. -ая и -ая слева вершины в ряду Γ лежат в одной компоненте подграфатогда и только тогда, когда = .Соответствующая подграфу Δ грань состоит из точек , для которых Δ вкла­дывается в Δ (Γ).

Размерность грани есть число компонент связности в Δ, несодержащих вершин из ряда Γ .Доказательство.Чтобы показать, что для такого подграфа Δ множество то­чек с Δ ⊂ Δ (Γ) действительно образует грань, достаточно показать, что этомножество непусто.Подграф Δ ⊂ Γ отвечает трем требованиям из предложения тогда и толь­ко тогда, когда его компоненты связности разбивают Γ на выпуклые подмноже­ства в Γ . Поэтому отношение ⪰ индуцирует отношение порядка на множестве45компонент графа Δ. Соответствующую точку можно построить, взяв любоеотображение из множества компонент в (R, ≥), уважающее порядок и перево­дящее компоненту, содержащую вершины из ряда Γ , в соответствующее число .Утверждение о размерности такой грани следует из того, что при постро­ении упомянутого отображения в (R, ≥) число степеней свободы в точностиравно числу компонент, не содержащих вершин из ряда Γ .То, что любая точка в Γ (1 , .

. . , ℓΓ ) задается отображением из Γ в(R, ≥) показывает, что граф Δ (Γ) будет удовлетворять данным трем свой­ствам, а, значит, любая грань действительно имеет вид, описанный в предложе­нии.Обозначим Δ подграф, отвечающий грани многогранника Γ (1 , . . . , ℓΓ ).Подчеркнем, что любая компонента связности такого графа Δ сама по себе яв­ляется ординарным подграфом.Отметим, что комбинаторные параметризации вершин и граней (не обоб­щенных) многогранников ГЦ, схожие с предложением 3.10, можно найти, вчастности, в работах [26] и [27].Определим теперь весовую функциюΓ (1 , . .

. , ℓΓ ) : ℱΓ (1 ,...,ℓΓ ) → Z[].Значение Γ (1 , . . . , ℓΓ )( ) определяется в терминах подграфа Δ , а именно:оно равно∏︀(1 − ℓ )ℓ , где ℓ — следующий параметр. Число пар (, ), где —связная компонента графа Δ , а > Γ — целое число, такие, что содержитровно ℓ − 1 вершину в ряду − 1 и ℓ вершин в ряду .На рисунке 4 приведено по одному примеру подграфа, отвечающего грани,для каждого из рисунков 1-3 вместе с размерностью грани и значением весаΓ (1 , .

. . , ℓΓ )( ).46dim = 2(1 − )2 (1 − 2 )dim = 2(1 − )2dim = 1(1 − )(1 − 2 )(1 − 3 )Рис. 4.Для любого набора целых чисел 1 ≥ . . . ≥ ℓΓ выражениеΓ (1 ,...,ℓΓ ) (Γ (1 , . . . , ℓΓ ))(3.4)есть рациональная функция от переменных {, }, соответствующих вершинамграфа ℛ. Нас, однако, будет в первую очередь интересовать результат приме­нения замены, −→ −1 +1к выражению (3.4). Мы будем обозначать эту специализацию . Рациональ­ную функцию, получающуюся из (3.4) под действием мы будем обозначатьΓ (1 , . . .

, ℓΓ ).Определить можно и так. Для точки = (, ) с конечным числом нену­левых координат степень переменной в мономе ( ) есть сумма элементовмассива в ряду − 1 минус сумма элементов в ряду .Первое наблюдение относительно функций Γ (1 , . . . , ℓΓ ) состоит в том,что они корректно определены, то есть приведенный знаменатель выражения (3.4)не зануляется под действием .