Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 8

. . , ℓΓ )вклад (Γ (1 ,...,ℓΓ ) ( )) нулевой.В силу предложения 3.10, число связных компонент в Δ есть число раз­личных . Обозначим связные компоненты 1 , . . . , с условием, что со­держит вершины из верхнего ряда с номерами с ℓ по . Из предложения 3.3мы получаем разложение∏︁ (Γ (1 ,...,ℓΓ ) ( )) = (ℓ , . . . , ).=1Опять, объясняется это тем, что является прямым произведением конусов (ℓ , . . . , ) и для любой грани =Γ (1 , .

. . , ℓΓ ) =∏︀∏︁=1 конуса выполняется (ℓ , . . . , )( ).=1Однако, раз Γ в каком-то ряду содержит больше вершин, чем в преды­дущем, то же должно быть верно для хотя бы одной из компонент . Такимобразом, предположение индукции показывает, что хотя бы один из сомножи­телей (ℓ , .

. . , ) равен нулю.Случай 3.Имеет место 1 = ℓΓ (и мы вне случая 1).Рассмотрим любой набор целых чисел ′1 > . . . > ′ℓΓ и пусть 1 , . . . , —вершины многогранника Γ (′1 , . . . , ′ℓΓ ). Лемма 3.12 показывает, чтоΓ (1 , . . . , ℓΓ ) =1[ℓΓ ] !(︃ ∑︁)︃Γ (1 )− Γ (′1 ,...,′ℓ ) ( ) .Γ=1То, что каждое из слагаемых в правой части равно нулю, было показано приразборе случая 2.553.4. Доказательство леммы 3.12В этом разделе мы докажем некоторое естественное обобщение этой лем­мы.Пусть дан ординарный граф Γ, строго убывающая последовательность це­лых чисел 1 , . .

. , ℓΓ и последовательность целых чисел ′1 , . . . , ′ℓΓ убывающая,но не строго (то есть хотя бы два ′ совпадают). Пусть — число различных′ , причем -ое по величине из этих значений встречается ℓ раз.Обозначим 1 , . . . , вершины многогранника Γ (1 , . . . , ℓΓ ). Тогда упо­мянутое обобщение леммы 3.12 выглядит следующим образом.Лемма 3.16.[ℓ1 ] ! . . . [ℓ ] !Γ (′1 ,...,′ℓ ) Γ (′1 , . . . , ′ℓΓ )Γ(︀)︀=∑︁( )− Γ (1 ,...,ℓΓ ) ( ).=1Это утверждение легко сводится к некоторому комбинаторному факту,доказательству которого и посвящена большая часть раздела.Предложение 3.17.Многогранник Γ (′1 , .

. . , ′ℓΓ ) является вырождением мно­гогранника Γ (1 , . . . , ℓΓ ).Доказательство.В самом деле, рассмотрим грань многогранника Γ (1 , . . . , ℓΓ ).Покажем, что существует минимальный подграф Δ′ ⊂ Γ, содержащий Δ и приэтом имеющий вид Δ ′ для некоторой грани ′ многогранника Γ (′1 , . . . , ′ℓΓ ).Для построения Δ′ вспомним отношение порядка на компонентах графаΔ , индуцированное отношением ⪰ (это отношение мы также обозначим ⪰).Выберем некоторое ′ и среди компонент графа Δ выделим те, которые содер­жат вершину из ряда Γ , соответствующую одному из чисел ′ равных ′ . Рас­смотрим «выпуклую оболочку» выделенного набора компонент относительнопорядка ⪰, то есть все компоненты, заключенные между двумя выделенными.Ясно, что помимо выделенных в «выпуклой оболочке» больше не будет ком­понент, пересекающих ряд Γ .

Сольем все компоненты в «выпуклой оболочке»56в один индуцированный подграф графа Γ. Проведя эту процедуру последова­тельно для всех различных значений ′ мы получим искомый граф Δ′ = Δ ′ .Тот факт, что Δ ⊂ Δ ′ дает вложение перенесенных касательных кону­сов ′ ⊂ , откуда ∘ ⊂ ∘ ′ . Нам остается показать, что носители (то естьобъединения конусов) вееров (Γ (1 , . . . , ℓΓ )) и (Γ (′1 , . . . , ′ℓΓ )) совпа­дают. Мы покажем, что оба этих носителя равны (Γ (, . .

. , ) − Γ ())∘ , где — произвольное целое число.В самом деле, рассмотрим, например, (Γ (1 , . . . , ℓΓ )). То, что каждыйконус ∘ из этого веера содержится в (Γ (, . . . , ) − Γ ())∘ следует из Δ ⊂ΔΓ () = Γ. Теперь покажем, что объединение конусов ∘ есть (Γ (, . . . , ) −Γ ())∘ . Для этого достаточно показать, что пересечение конусов по ∈ℱΓ (1 ,...,ℓΓ ) содержится в Γ (, . . . , ) − Γ () (обратное включение мы толькочто доказали). Однако легко видеть, что любое ребро графа Γ является ребромв одном из графов , и поэтому точка, лежащая в пересечении конусов ,удовлетворяет всем неравенствам, задающим конус Γ (, .

. . , ) − Γ ().Носитель веера (Γ (′1 , . . . , ′ℓΓ )) рассматривается аналогичным обра­зом.Пусть : ℱΓ (1 ,...,ℓΓ ) → ℱΓ (′1 ,...,′ℓΓ)— сответствующее вырождению отображение. Построение графа Δ( ) — ми­нимального графа вида Δ ′ c ∈ ℱΓ (′1 ,...,′ℓ ) , содержащего Δ — описано вΓдоказательстве предложения выше.Мы видим, что, с учетом вышесказанного и леммы 3.8 о вырождениях,лемма 3.16 немедленно следует из такого тождества.Лемма 3.18.Для любой грани многогранника Γ (′1 , . .

. , ′ℓΓ ) выполняетсяравенство[ℓ1 ] ! . . . [ℓ ] !Γ (′1 , . . . , ′ℓΓ )( ) =∑︁(−1)dim −dim Γ (1 , . . . , ℓΓ )().∈ −1 ( )57Доказательство.Лемма будет доказываться индукцией по числу вершин в Γ.База индукции — случай, в котором Γ состоит из трех вершин, двух в ряду Γи одной в ряду Γ + 1. В этом случае мы имеем дело с вырождением отрезкав точку, и доказываемое тождество гласит 1 + 1 − (1 − ) = [2] ! · 1 = 1 + .Перейдем к шагу индукции, рассматривая последовательно два случая.Случай 1.Граф Δ не связен.Пусть 1 , . . . , — те связные компоненты графа Δ , которые содержатвершины из ряда Γ .

Согласно определению, вес (′1 , . . . , ′ℓΓ )( ) имеет вид про­изведения по множеству связных компонент графа Δ . Пусть — то же про­изведение, но по всем компонентам, кроме этих .Данное выше описание показывает, что любая компонента в Δ , отлич­ная от всех , является одновременно связной компонентной любого Δ с ∈ −1 ( ). Таким образом, (1 , . . . , ℓΓ )() есть произведение и сомножи­телей, отвечающих компонентам, содержащимся в одной из .Более точно, рассмотрим вырождение (1 , .

. . , ℓ ) в (, . . . , ) и обо­значим соответствующее отображение. То, что грань лежит в −1 ( ), рав­носильно тому, что для каждого 1 ≤ ≤ индуцированный подграф в Δ свершинами в вершинах графа имеет вид Δ для некоторого ∈ −1 ( ()),и, кроме того, любая компонента в Δ , отличная от всех , является одновре­менно связной компонентной в Δ .

Кроме того, в этих обозначенияхΓ (1 , . . . , ℓΓ )() = ∏︁ (1 , . . . , ℓ )( )=1и dim = dim +∑︀dim .Выпишем предположение индукции для каждого из вырождений и гра­ней (вершин) (). Из предыдущего абзаца следует, что, перемножив выпи­санные равенства и домножив обе части на (−1)dim , мы в точности получимтребуемое.58Случай 2.Граф Δ связен, то есть Δ = Γ. Это означает, что Γ (′1 , . .

. , ′ℓΓ )является конусом, все ′ равны между собой и — вершина конуса.Для краткости обозначим значение всех ′ через .Пусть Γ′ — граф, получающийся из Γ при удалении верхнего ряда. Выбе­рем грань ∈ −1 ( ) = −1 (Γ ()), пусть Δ′ — граф, получающийся из Δ приудалении вершин в ряду Γ . Граф Δ′ является подграфом в Γ′ .Поскольку все вершины верхнего ряда графа Δ лежат в разных компо­нентах связности, каждая компонента в Δ′ содержит не более двух вершин изверхнего ряда Γ′ (= Γ + 1). Зафиксируем такую невозрастающую последова­тельность ′1 , .

. . , ′ℓΓ′ , что ′ = ′+1 тогда и только тогда, когда -ая и + 1-аяслева вершины в верхнем ряду графа Δ′ находятся в одной компоненте связно­сти.Далее, пусть 1 , . . . , ℓΓ′ — строго убывающая последовательность целыхчисел. Таким образом, имеется три многогранника: Γ′ (1 , . . . , ℓΓ′ ), затемΓ′ (′1 , . . . , ′ℓΓ′ ) и, наконец, конус Γ′ (, .

. . , ) (где произвольное целое число).Второй многогранник является вырождением первого, а конус — вырожде­нием их обоих. Введем три соответствующих отображения между множествамиграней: ′ : ℱΓ′ (1 ,...,ℓ : ℱΓ′ (1 ,...,ℓ)Γ′→ ℱΓ′ (,...,) ,→ ℱΓ′ (′1 ,...,′ℓ)Γ′ : ℱΓ′ (′1 ,...,′ℓΓ′)Γ′)и→ ℱΓ′ (,...,) .Предположение индукции для вершины ′ = Γ′ () конуса Γ′ (, . . . , )гласит[ℓΓ′ ] !Γ′ (, . . .

, )( ′ ) =∑︁(−1)dim ℎ Γ′ (1 , . . . , ℓΓ′ )(ℎ).(3.7)ℎ∈( ′ )−1 ( ′ )Далее, Δ′ соответствует некоторой грани многогранника Γ′ (′1 , . . . , ′ℓΓ′ ),обозначим ее ′ (то есть Δ′ = Δ′ ). Пусть — число пар ′ = ′+1 . Предположе­59ние индукции в применении к ′ гласит(1 + ) Γ′ (′1 , . . .

, ′ℓΓ′ )( ′ ) =∑︁′(−1)dim ℎ−dim Γ′ (1 , . . . , ℓΓ′ )(ℎ).(3.8)ℎ∈−1 ( ′ )Обозначим граф, получаемый из Δ при удалении всех вершин нижеряда Γ + 1, то есть при оставлении только двух верхних рядов. Для граней1 , 2 ∈ −1 ( ) будем писать 1 ∼ 2 если и только если 1 = 2 . Грани в клас­се эквивалентности грани находятся во взаимно однозначном соответствии смножеством −1 ( ′ ). При этом грани 1 соответствует 1′ (определяемая анало­гично ′ ).Из предыдущего абзаца следует, что суммирование тождеств (3.8) по всем1 ∼ дает∑︁(1 + )′(−1)dim 1 Γ′ (′1 , .

. . , ′ℓΓ′ )(1′ ) =1′ ∈ −1 ( ′ )∑︁(−1)dim ℎ Γ′ (1 , . . . , ℓΓ′ )(ℎ). (3.9)ℎ∈( ′ )−1 ( ′ )Сумма в правой части берется по ( ′ )−1 ( ′ ) так как ′ = .Обозначим число таких вершин в ряду Γ + 1, что в Δ они не соединеныни с какой вершиной в ряду Γ . Для любого 1 ∼ имеемΓ (1 , . . . , ℓΓ )(1 ) = (1 − ) (1 − 2 ) Γ′ (′1 , . . . , ′ℓΓ′ )(1′ ).(3.10)Теперь подставим (3.7) в (3.9) и затем подставим (3.10) в результат. Сучетом того, что dim 1 = dim 1′ + , после домножения на (−1) (1 − )+получаем∑︁(−1)dim 1 Γ (1 , . . . , ℓΓ )(1 ) = (−1) (1 − )+ [ℓΓ′ ] !Γ′ (, . .

. , )( ′ ). (3.11)1 ∼Обозначим ( ) коэффициент (−1) (1 − )+ (и и определяются гра­фом ).Однако[ℓΓ ] !Γ (, . . . , )( ) = Γ [ℓΓ′ ] !Γ′ (, . . . , )( ′ ),60где⎧⎪⎪1−ℓΓ⎪при ℓΓ′ = ℓΓ − 1,⎪⎪⎨ 1−Γ = 1при ℓΓ′ = ℓΓ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎩1 − при ℓΓ′ = ℓΓ + 1.(3.12)Таким образом, суммируя тождества (3.11) при пробегающем некотороемножество представителей отношения ∼, получаем, что доказать остаетсялишь следующее.Предложение 3.19.∑︀( ) = Γ∈Сперва дадим описание прообраза −1 ( ).Предложение 3.20.Грань многогранника Γ (1 , . . . , ℓΓ ) лежит в −1 ( )тогда и только тогда, когда граф Δ обладает следующими двумя свойствами.Если вершины (, ) и ( + 1, − 1) обе являются самыми левыми в Γ всвоих рядах, то Δ содержит соединяющее их ребро.Аналогично, если вершины (, ) и ( + 1, ) обе являются самыми правымив Γ в своих рядах, то Δ содержит соединяющее из ребро.Доказательство.В случае выполнения этих условий, каждая координата лю­бой точки в лежит между 1 и ℓΓ .