Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 2

При этом показыва­ется, что вклады части вершин нулевые, а вклад остальных — слагаемыев формуле Каца–Вейля для характера.∙ Целым точкам в том же многограннике приписываются веса (многочленыот ) и формулируется комбинаторная формула для функций Холла–Литт­лвуда типа ˜ в виде суммы экспонент точек с приписанными им весами.∙ Для все того же многогранника и построенной системы весов доказыва­ется версия найденного обобщения теоремы Бриона и при помощи неедоказывается найденная комбинаторная формула.Теоретическая и практическая значимость.Результаты диссертацииносят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшегоизучения теории представлений алгебр Ли, геометрии многообразий флагов, атакже комбинаторики выпуклых многогранников и алгебраической комбинато­рики.Апробация результатов.Основные результаты диссертации докладыва­лись на следующих конференциях и семинарах:∙ «Пятая летняя школа-конференция по алгебрам Ли, алгебраическим груп­пам и теории инвариантов», июнь 2015, Самара.∙ “25-th British Combinatorial Conference”, июль 2015, Уорикский универси­тет.9∙ На семинаре «Выпуклая и алгебраическая геометрия» в НИУ ВШЭ (неод­нократно).Публикации.Материалы диссертации опубликованы в 3 печатных рабо­тах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах [16, 17] и 1 препринт [18].Личный вклад автора.Работа [17] подготовлена в соавторстве с Б.

Л. Фей­гиным. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту,отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, 4глав с 17 разделами, библиографии и 1 приложения. Общий объем диссертации102 страницы. Библиография включает 27 наименований.Благодарности.Автор глубоко благодарен своему научному руководи­телю Борису Фейгину, без которого написание этой работы было бы во всехотношениях невозможно. Автор также хочет выразить благодарность МихаилуБерштейну, Валентине Кириченко, Александру Постникову, Евгению Фейгинуи Павлу Этингофу за полезные обсуждения и поддержку.10Глава 1Предварительные сведения1.1.

Формула Каца–Вейля и функции Холла–ЛиттлвудаРассмотрим произвольную симметризуемую алгебру Каца–Муди (см. [19]).Пусть g — такая алгебра с картановской подалгеброй h. Далее, пусть Φ ⊂ h* —ее система корней с подмножеством Φ+ положительных корней и кратностью корня ∈ Φ. Кроме того, введем группу Вейля с функцией длины ℓ.Наконец, пусть ∈ h* — целочисленный доминантный вес алгебры g, а —соответствующее неприводимое представление.Формула Каца–Вейля для характера представления имеет следующийвид.Теорема 1.1.⎛char =∑︁⎞⎜ ⎝ ∏︀∈⎟⎠.(1 − − )(1.1)∈Φ+Правую часть равенства удобно понимать как элемент кольца R харак­теров, носитель которых содержится в объединении конечного набора нижнихмножеств стандартного порядка на h* .Соответствующая же функция Холла–Литтлвуда есть =1 ()(︃∑︁∈)︃∏︁ (︂ 1 − − )︂ .−1−+(1.2)∈ΦЗдесь () — ряд Пуанкаре стабилизатора ⊂ , то есть () =∑︁ℓ()∈(в частности, () = 1 для регулярного ).В (1.2) правая часть — элемент кольца R = R ⊗ Z[].

То, что правая частьопределения корректно задает элемент кольца R показано, например, в [20].11Вообще говоря, определение можно дать исключительно в терминах си­стемы корней без упоминания алгебр Ли, делая функции Холла–Литтлвудаобъектом чисто комбинаторным. Однако же язык алгебр Каца–Муди и их пред­ставлений крайне естественен при работе с этими объектами.Мы видим, кроме того, что при специализации = 0 функция обраща­ется в char то есть является однопараметрической деформацией неприводи­мого характера.1.2.

Характеры алгебры gl и многогранникиГельфанда–ЦетлинаРассмотрим алгебру Ли gl (C), состоящую из комплексных × -матриц.В картановской подалгебре диагональных матриц рассмотрим базис из матрич­ных единиц. Двойственный базис является базисом в решетке корней, с этимбазисом мы и будем работать.Целочисленные доминантные веса — это тогда в точности те, координатыкоторых образуют невозрастающую последовательность целых чисел.

Каждыйтакой вес задает конечномерное неприводимое представление .Базис Гельфанда–Цетлина в параметризуется так называемыми табли­цами Гельфанда–Цетлина (ГЦ). Каждая таблица есть числовой треугольник{, } с 0 ≤ ≤ − 1 и 1 ≤ ≤ − . Верхний ряд треугольника есть про­сто 0, = . Остальные же элементы таблицы — произвольные целые числа,удовлетворяющие неравенствам, ≥ +1, ≥ ,+1 .Визуализируются эти таблицы, как правило, следующим образом:(1.3)120,10,2...1,10,......1,−1...−1,1Другими словами, каждое число не больше своего соседа слева сверху и неменьше своего соседа справа сверху кроме, конечно же, чисел в ряду 0 (ряд — множество чисел вида ,· ).Обозначим множество таблиц ГЦ через GT .

Пусть ∈ GT соответству­ет базисный вектор с весом . В выбранном базисе вес имеет координаты∑︁( ) =−1, −∑︁(1.4), ,где , = 0.Таким образом получается известная комбинаторная формула для непри­водимых gl -характеров, то есть многочленов Шура : (1 , . . . , ) =∑︁(1.5) .∈GT(Здесь мы полагаем = 1 1 . . . . Кроме того, стоит заметить, что «много­член Шура» здесь понимается в расширенном смысле: координаты веса могутбыть отрицательными, в силу чего соответствующее является многочленомЛорана, но необязательно обычным многочленом от своих аргументов.)Теперь заметим, что каждую таблицу ГЦ можно рассмотреть как целуюточку в вещественном пространстве размерности(︀+1)︀2. При этом видно, чтомножество таблиц есть тогда в точности множество целых точек некоторогомногогранника, многогранника Гельфанда–Цетлина.По определению, многогранник Гельфанда–Цетлина есть следующий+12многогранник в пространстве R() , координаты в котором занумерованы па­рами чисел 0 ≤ ≤ − 1 и 1 ≤ ≤ − .

Он задается условиями 0, = и неравенствами (1.3). Нетрудно видеть, что это ограниченный многогранниккоразмерности как минимум .13Тогда таблицы ГЦ в самом деле образуют множество целых точек этогомногогранника и формула (1.5) сообщает о том, что многочлен Шура есть сум­ма определенных экспонент этих целых точек. Такие суммы экспонент можновычислять при помощи теоремы Бриона, которую мы сформулируем в разде­ле 1.5.1.3. Комбинаторная формула для многочленовХолла–ЛиттлвудаВоспользуемся обозначениями предыдущего раздела. Определение (1.2) то­гда принимает классический вид (1 , .

. . , ; ) =1 ()(︃∑︁ )︃∏︁ (︂ − )︂<∈ − ,(1.6)где = 1 1 . . . , а () =∑︁ℓ() .∈Строго говоря, алгебра gl не является алгеброй Каца–Муди и для того,чтобы буквально воспользоваться определением (1.2), нужно рассматривать ал­гебру sl , а не gl . Эти два случая очень похожи и легко сводятся друг к другу,однако для алгебры gl формулы получаются более естественными и работатьс ней нам будет удобнее. Формулу (1.6), таким образом, можно считать опреде­лением.В [7] дана комбинаторная формула для этих выражений. Она также имеетвид суммы по множеству GT , более того, слагаемое соответствующее таблицеГЦ есть опять же , но на этот раз с коэффициентом — многочленом от.

Определим эти коэффициенты: =−1∏︁ℓ=1(1 − ℓ )ℓ ,(1.7)14где ℓ — следующий параметр. Он равен числу пар из 1 ≤ ≤ − 1 и ∈ Zтаких, что число в ряду встречается ℓ раз, а в ряду −1 встречается ℓ−1 раз.Комбинаторная формула для многочленов Холла–Литтлвуда тогда выглядитследующим образом.Теорема 1.2. (1 , . . . , ; ) =∑︁ .∈GTМы видим, что многочлены Холла–Литтлвуда алгебры gl представляютсяв виде взвешенной суммы экспонент целых точек многогранника ГЦ. Нетруднотакже убедиться в том, что вес точки определяется минимальной гранью мно­гогранника, ее содержащей.

Обобщение теоремы Бриона, которое мы дадим вследующей главе, рассматривает именно такую ситуацию.1.4. Подпространства Фейгина–Стояновского имономиальные базисыСперва рассмотрим конечномерную алгебру Ли g = sl (C). Фиксируем раз­ложение Картана g = n− ⊕ h ⊕ n+ , а также набор простых корней 1 , .

. . , −1 ∈h* , упорядоченных стандартным образом. Для каждого положительного корня алгебры g определены образующие корневых подпространств , (с весами и − соответственно).Теперь перейдем к соответствующей аффинной алгебре Ли̂︀ (C) ≃ g ⊗ C[, −1 ] ⊕ C ⊕ C,g^ = slгде — центральный элемент, а — «оператор степени». Сразу же введем^ и ее множестваобозначения для мнимого корня , группы Вейля алгебры gположительных корней Φ+ .^ через ().Кроме того, для ∈ g будем обозначать ⊗ ∈ g15Рассматривается неприводимое интегрируемое представление алгебрыg^ со старшим весом .

Пусть вес имеет координаты(0 , . . . , −1 )при разложении по базису, состоящему из из фундаментальных весов. Другимисловами, (ℎ (0)) = для всех 1 ≤ ≤ − 1 и, кроме того,() = =−1∑︁=0( — уровень представления). Так как вес целочисленный доминантный, все — целые неотрицательные числа.Интерес представляет определенное подпространство модуля , называ­емое подпространством Фейгина–Стояновского. Для его определения рассмот­рим последовательность корней алгебры , задаваемую = 1 + .

. . + ,^, порож­с 1 ≤ ≤ − 1, и обозначим = . Рассмотрим подалгебру в gденную () для всех 1 ≤ ≤ − 1 и ≤ 0. Из соотношений [(), (ℓ)] =[, ]( + ℓ) и [ , ] = 0 следует, что подалгебра — абелева. Интересующеенас пространство есть = ( )(0 ), где 0 — старший вектор модуля .(Отметим, что изучение этих пространств было начато в работах [9] и [8]Фейгина и Стояновского.)В работах [10–12] построен мономиальный базис в . Для описания этогобазиса заметим, что мономы в ( ) соответствуют бесконечным последователь­ностям целых неотрицательных чисел с конечным носителем.

Для монома илюбых целых ≥ 0 и 1 ≤ ≤ − 1 член ()(−1)+ соответствующей после­довательности (() , ≥ 1) равен показателю степени, в которой (−) содер­жится в мономе . Другими словами, члены последовательности — это простостепени монома при упорядочивании переменных () в первую очередь по (по убыванию), а внутри каждого — по .16Теперь определим множество мономов Ξ ⊂ ( ). Оно состоит их такихмономов , что соответствующая последовательность () удовлетворяет сле­дующему набору неравенств.1.