Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 14

(В частно­сти, любая вершина многогранника ℓ1 является вершиной многогранника Π1 .)Это позволяет считать функцию 1 определенной на гранях многогранника ℓ1 .Все вершины вида 1 с = являются вершинами многогранника ℓ1 .1Касательный конус к ℓ1 в такой вершине есть в точности ,ℓ. Более того, лю­бая вершина многогранника ℓ1 , являющаяся существенной вершиной Π1 есть1 для некоторого = . Это следует из того, что если 1 ∈ ℓ1 , то граф Δ1вкладывается в Δ , откуда, как было показано выше, следует, что = .Применим теперь к ℓ1 и 1 взвешенную теорему Бриона, а затем приме­95ним специализацию :)︁)︁(︁(︁ )︁)︁ ∑︁ (︁(︁11 1 ℓ, .= 1 ℓ =Здесь мы воспользовались тем, что вклад несущественной вершины 1 много­1гранника Π , являющейся вершиной многогранника ℓ1 , занулится при приме­нении .

Это в точности равенство (4.11) для вершины 1 и выбранного ℓ.ℓ является вырождением многогранника ℓ1 , пусть — соответствую­щее отображение между множествами граней. Учитывая предыдущий абзац,из леммы 3.8 выводим(︀(︀ ′ ℓ)︀)︀=∑︁(︁− 1 )︁(︁ 1(︁1,ℓ)︁)︁, =где, по определению, для грани многогранника ℓ :∑︁′ ( ) =(−1)dim −dim 1 ().∈ −1 ( )Остается лишь показать, что для любого выполнено′ ( ) = [ℓ1 ] ! .

. . [ℓ() ] !( ).(4.19)В самом деле, существует естественная биекция (изометрия)ℓ1: Γℓ1(︀11 , . . . , 1ℓ1)︀× . . . × Γℓ()(︁()()1 , . . . , ℓ())︁→ ℓ1 .Более того, для грани многогранника ℓ1 имеем()1 () =∏︁Γℓ (1 , . . . , ℓ )( ),=1где = ℓ1 (1 × . . . × () ).Вспомним, что Γℓ ( , .

. . , ) является вырождением Γℓ (1 , . . . , ℓ ), пусть соответствующее отображение. Ясно, что для = ℓ1 (1 × . . . × () ) (гранив ℓ1 ) выполняется() = ℓ (1 (1 ) × . . . × () (() )).96Значит, равенство (4.19) для грани = ℓ (1 × . . . × () ) можно получить,перемножив между собой тождества, предоставляемые леммой 3.18 для вырож­дений и граней соответственно.Нами доказана теорема 2.10 из которой, посредством теоремы 2.9, следуеттеорема 2.6 — комбинаторная формула для аффинных функций Холла–Литтл­вуда. При специализации = 0 получаем теорему 2.8.

Отметим, что использо­ванные нами в этом разделе факты из [12] доказываются там без использова­ния комбинаторной формулы для аффинного неприводимого характера (теоре­ма 1.10).97Список литературы1. Гельфанд И. М., Цетлин М. Л. Конечномерные представления группы уни­модулярных матриц // Доклады Академии наук. 1950. Т. 71. С. 1017–1020.2.

Molev A. Weight bases of Gelfand-Tsetlin type for representations of classicalLie algebras // J. Phys. A. 2000. Vol. 33. P. 4143–4168.3. Littelmann P. Cones, crystals, and patterns // Transform. Groups. 1998. Vol. 3.P. 145–179.4. Berenstein A., Zelevinsky A.

Tensor product multiplicities, canonical bases andtotally positive varieties // Invent. Math. 2001. Vol. 143. P. 77–128.5. Feigin E., Fourier G., Littelmann P. PBW filtration and bases for irreduciblemodules in type // Transformation Groups. 2011. Vol. 16. P. 71–89.6. Feigin E., Fourier G., Littelmann P.

PBW filtration and bases for symplecticLie algebras // Int. Math. Res. Not. 2011. Vol. 24. P. 5760–5784.7. Macdonald I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. 2nd edition. NewYork: Oxford University Press, 1995.8. Стояновский А. В., Фейгин Б. Л. Функциональные модели представленийалгебр токов и полубесконечные клетки Шуберта // Функц. анализ и егоприл. 1994. Т.

28. С. 68–90.9. Feigin B., Stoyanovsky A. Quasi-particles models for the representations of Liealgebras and geometry of flag manifold. 1993. URL: http://arxiv.org/abs/hep-th/9308079.(1)10. Primc M. Vertex operator construction of standard modules for // PacificJ. Math. 1994. Vol.

162. P. 143–187.11. Feigin B., Jimbo M., Loktev S. et al. Bosonic formulas for (k,l)-admissible par­titions // Ramanujan J. 2003. Vol. 7. P. 485–517.12. Feigin B., Jimbo M., Loktev S. et al. Addendum to “Bosonic Formulas for (k,l)-Admissible Partitions” // Ramanujan J. 2003. Vol. 7. P.

519–530.13. Cherednik I. A New Take on Spherical, Whittaker and Bessel Functions. 2009.98URL: http://arxiv.org/abs/0904.4324.14. Fishel S., Grojnowski I., Teleman C. The strong Macdonald conjecture andHodge theory on the Loop Grassmannian // Ann. of Math. 2008. Vol. 168.P. 175–220.15. Локтев С. А., Фейгин. Б. Л. О финитизации тождеств Гордона // Функц.анализ и его прил. 2001.

Т. 35. С. 53–61.16. Махлин И. Ю. Характеры подпространств Фейгина–Стояновского и теоре­ма Бриона // Функц. анализ и его прил. 2015. Т. 49. С. 18–30.17. Feigin B., Makhlin I. A combinatorial formula for affine Hall–Littlewood func­tions via a weighted Brion theorem // Selecta Mathematica. 2016. URL:http://link.springer.com/article/10.1007/s00029-016-0223-4.18. Makhlin I. Weyl’s Formula as the Brion Theorem for Gelfand-Tsetlin Poly­topes // Working papers by Cornell University.

2014. В печати в журнале«Функциональный анализ и его приложения». URL: http://arxiv.org/abs/1409.7996.19. Carter R. Lie Algebras of Finite and Affine Type. New York: Cambridge Uni­versity Press, 2005.20. Viswanath S. Kostka-Foulkes polynomials for symmetrizable Kac-Moody alge­bras // Sém. Lothar. Combin. 2008. Vol. 58. Art. B58f.21. Barvinok A. I. Integer Points in Polyhedra. Zürich: European MathematicalSociety (EMS), 2008.22.

Brion M. Points entiers dans les polyèdres convexes // Ann. Sci. École Norm.Sup. 1988. Vol. 21. P. 653–663.23. Пухликов А. В., Хованский А. Г. Конечно-аддитивные меры виртуальныхмногогранников // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4. С. 161–185.24. Beck M., Robins S. Computing the Continuous Discretely. Springer, 2009.25. Fulton W.

Introduction to toric varieties. Princeton: Princeton University Press,1993.26. De Loera J. A., McAllister T. B. Vertices of Gelfand–Tsetlin Polytopes // Dis­99crete & Computational Geometry. 2004. Vol. 32. P. 459–470.27. Кириченко В. А., Смирнов Е. Ю., Тиморин В. А.

Исчисление Шуберта имногогранники Гельфанда–Цетлина // УМН. 2012. Т. 67. С. 89–128.100Приложение АИллюстрации к разделу 4.3Проиллюстрируем введенные понятия на примере = 2 и = (0 , 1 ) =(1, 1). Рассмотрим две вершины соответствующего многогранника Π: отвечаю­щую старшему вектору вершину 0 = = (. . . , 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, . . .) и вершину = (. .

. , 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, . . .). Для обеих вершин выписаны координаты с номе­рами от −2 до 4.Сперва обсудим вершину . Таблица (, ()) имеет такой вид:.........−10.........1.........−4−4......−4.........−2−2...−2−2−2......−100−3−200...−202...−101......−6.........Здесь показаны ряды с номерами от −3 до 3, в рядах с нечетными номерамипоказаны их элементы с номерами от −1 до 2, а в рядах с четными номерами— элементы с номерами от −1 до 1. Соответствующий фрагмент графа Θвыглядит следующим образом (рисунок 8).−6−5−4−3−21−1023Рис. 8Рис.

9101На рисунке 9 жирным выделены компоненты, образующие один из воз­можных выборов графа Δ . Вершина ( (ℓ), (ℓ)) помечена при этом числомℓ.Обратимся теперь к вершине . Такой же фрагмент таблицы (, ()) имеетвид.........−10.........1............−2−2−2......−20...−200...−202...−3−102...−202...−101............−4.........Граф Θ и возможный выбор компонент графа Δ выглядят следующимобразом (рисунки 10-11).−6−5−4−3−21−10234Рис. 10Рис. 11Сразу же отметим, что в нашем случае мы имеем () = 2 и 1 = 2 = 1.Таким образом, рисунки 9 и 11 иллюстрируют предложения 4.12 и 4.14: в каж­дом из графов Δ и Δ по две компоненты связности, причем в достаточновысоких рядах обе компоненты содержат по одной вершине, а достаточно низ­кие ряды пересекает только одна и ровно по одной вершине.102В качестве последнего примера рассмотрим ребро , соединяющее верши­ны и .

На рисунке 12 изображен фрагмент графа Θ , последний являетсяпересечением графов Θ и Θ . На рисунках 13 и 14 жирным выделены два воз­можных выбора графа Δ , на первом — удовлетворяющий условию Δ ⊂ Δ ,а на втором — условию Δ ⊂ Δ (в соответствии с рисунками 9 и 11). Тотфакт, что в обоих случаях граф Δ содержит ровно три компоненты связности,согласуется с предложением 4.19, так какdim = 3 − () = 1.На рисунке 13 вершины графа Δ помечены соответствующими координа­тами образующей конуса сонаправленной ребру .

Аналогично, на рисунке 14вершины графа Δ помечены координатами образующей конуса . Значениякоординат согласуются с предложением 4.20.0000000000000001−1−11Рис. 120−1Рис. 13Рис. 14.