Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 10

Пусть {, , > 0} — множество образующих ребер, содержа­щих данную вершину . Любая точка конуса получается из прибавлениемнеотрицательной линейной комбинации этих , . Мы докажем ряд свойств этихобразующих.Начнем с того замечания, что каждая координата любой точки ∈ Πлежит в отрезке [0, ], и, следовательно, любое ребро ограничено и являетсяотрезком, соединяющим две вершины.Далее, для монома Лорана от 1 , . . .

, −1 , обозначим deg степень, вкоторой входит в .Для любой вершины и ∈ Z существует лишь конечноеПредложение 4.5.число таких , что deg (, ) < . (Определение см. в (2.8), стр. 30.)Доказательство.Воспользуемся следующим наблюдением. Для любого цело­го существует лишь конечное число таких вершин , что deg ( ) < .Например, это следует из того, что сумма таких мономов по всем целым точ­кам в Π (в том числе вершинам) есть − char (формула (1.10)), однако этонетрудно проверить и исходя из комбинаторных определений.Для , обозначим отличный от конец соответствующего ребра много­гранника. Для каждого , существует такое число > 0, что + , = .Пусть ℓ — номер первой (самой левой) ненулевой координаты некоторого , ипусть эта координата равна . Тогда ℓ ( ) = ℓ () + , откуда ≤ .Однакоdeg ( ) = deg ( ) + deg (, ).Таким образом, бесконечность числа таких , , что deg (, ) < , противо­речила бы наблюдению, сделанному в начале доказательства.Предложение 4.6.Для любой вершины и образующей , все координатывектора , равны 0, 1 или −1.69Доказательство.Обозначим соответствующее ребро и его конец отличныйот .

Сперва покажем, что для всеx кроме ровно одного выполнено ⊂ или ⊂ . То, что такое хотя бы одно, очевидно из dim = 1. Пусть естьхотя бы два , для которых это не так, обозначим их 1 < 2 . Тогда существуютдва линейно независимых вектора 1 и 2 , для которых точки + 1 и + 2содержатся в Π и во всех пространствах вида и , содержащих , что даетпротиворечие. Определить 1 и 2 можно следующим образом.

Если для неко­торого ≥ 1 выполняется (, ) = 0, то (1 ) = 0, для всех же остальных положим -ую координату равной 0. Вектор 2 определяется аналогично сзаменой 1 на 2 . Требуемые свойства легко проверяются.Пусть теперь 0 таково, что не содержится ни в , ни в . Тогда перваяненулевая координата вектора − имеет номер 0 , а все последующие коор­динаты либо нулевые, либо равны минус сумме − 1 предыдущих координат.Отсюда нетрудно по индукции вывести, что все ненулевые координаты этоговектора равны между собой по модулю, а положительные и отрицательные че­редуют друг друга, что влечет за собой требуемый факт.Предложение 4.7.Рассмотрим конечномерный рациональный многогранныйконус и отображение : ℱ → для некоторой R-алгебры . Пусть1 , .

. . , — образующие конуса. Тогда выражение(1 − 1 ) . . . (1 − ) ()(4.3)является R-линейной комбинацией экспонент точек вида + 1 1 + . . . + ,где все ∈ [0, 1].Доказательство.Триангулируем набором симплициальных конусов, каж­дый из которых порожден некоторым набором векторов . Пусть — грань70одного из конусов триангуляции, мы можем считать, что она порождена векто­рами 1 , . . .

, ℓ . Выражение(1 − 1 ) . . . (1 − ℓ )(Int( ))есть в точности сумма экспонент всех целых точек полуоткрытого параллеле­пипеда{ + 1 1 + . . . + ℓ ℓ , ∈ (0, 1]}.Пусть — минимальная грань , содержащая . Мы видим, что( )(1 − 1 ) . . . (1 − )(Int( ))действительно является суммой экспонент искомого вида. Однако выражение (4.3)есть сумма вышеприведенных выражений по всем .Теперь касательный конус к Π обозначим = . Образующие конуса есть в точности то же самое множество {, }.

В нижеследующих рассужде­ниях мы будем часто переходить от рассмотрения и его атрибутов к иобратно, читателю следует не упускать из виду обозначение−и помнить, что,в определенном смысле, устроены эти конусы идентично.В любой точке ∈ мы полагаем(︂ () = )︂min ∈,и определяем формальный ряд Лорана от переменных ( ) =∑︁ () .∈ ∩Z∞Рассмотрим конус − = − с вершиной в начале координат. Ясно,что ряды Лорана, имеющие ненулевые коэффициенты только при экспонентахцелых точек из − , образуют кольцо. И − ( ) и(1 − ,1 )(1 − ,2 ) . .

.71принадлежат этому кольцу, а, значит, можно рассмотреть произведение = ( )(1 − ,1 )(1 − ,2 ) . . .Лемма 4.8.( ) — корректно определенный элемент кольца S (см. стр. 30).Доказательство.Необходимо показать, что для любого целого числа средитех мономов , которые присутствуют в с ненулевым коэффициентом, лишьконечное число удовлетворяет deg ( ) < .Для ℓ ≫ 0 пересечение,ℓ = ∩⋂︁<−ℓ ∩⋂︁>ℓесть конечномерный конус с вершиной и является гранью конуса . Такимобразом задана возрастающая последовательность граней, исчерпывающая .Каждое ребро конуса ,ℓ является также ребром конуса , фиксируем неко­торое ℓ и будем считать, что ,ℓ порожден векторами ,1 , . . . , , .Далее, обозначим,ℓ = (1 − ,1 ) .

. . (1 − , ) (,ℓ ),где вычисляется в гранях конуса ,ℓ естественным образом. То, что произве­дение определено корректно, означает, что коэффициент при любом мономе в ,ℓ равен коэффициенту при в при ℓ ≫ 0. Мы докажем лемму,показав, что при ℓ ≫ 0 разность ,ℓ − ,ℓ−1 имеет нулевой коэффициент прилюбом с deg ( ) < .Пусть — множество тех , , для которых deg (, ) < 0 и пусть⎛ = deg ⎝⎞∏︁(, )⎠ ., ∈Покажем, что коэффициент при любом с deg ( ) < в ,ℓ − ,ℓ−1 ра­вен нулю, когда выполнено следующее.

Каждое , , являющееся образующей72ребра в ,ℓ , но не в ,ℓ−1 , удовлетворяет deg (, ) ≥ − . В силу предло­жения 4.5, это верно при ℓ ≫ 0, пусть это верно для выбранного ℓ.Из предложения 4.7 следует, что для любого , входящего в ,ℓ с нену­левым коэффициентом, вектор имеет вид + 1 ,1 + . . . + , , ∈ [0, 1].Однако если коэффициент при не равен нулю в ,ℓ −,ℓ−1 , то обязанолежать вне ,ℓ−1 , то есть для некоторого , — образующей ребра в ,ℓ но нев ,ℓ−1 — имеет место > 0.

Это вызвано тем, что ,ℓ−1 является граньюконуса ,ℓ .Фиксируем , входящее с ненулевым коэффициентом в ,ℓ −,ℓ−1 , пусть = + 1 ,1 + . . . + , , ∈ [0, 1].Мы покажем, что∑︁ ≥ 1.∈[1,],+, ̸∈,ℓ−1Доказательство тем самым будет завершено, так как deg ≥ 0 и, следователь­но,∑︁deg ( ) ≥ + ( − ) .∈[1,],+, ̸∈,ℓ−1Воспользуемся предложением 4.6. В силу того, что ∈ ,ℓ , имеем = 0при < −ℓ и > ℓ. Далее, у , — образующего ребра в ,ℓ , но не в ,ℓ−1 —координата с номером −ℓ−1 или с номером ℓ+1 является ненулевой.

Более того,из ∈ −ℓ−1 и ∈ ℓ+1 получаем следующее. Если координата вектора , сномером −ℓ − 1 ненулевая, то она равна −1 в силу неравенства −ℓ−1 ( + , ) ≤ . Аналогично, если координата номер ℓ + 1 не равна нулю, то она равна 1 всилу ( + , )ℓ+1 ≥ 0. Отсюда делаем вывод, что если∑︁∈[1,],+, ̸∈,ℓ < 1,73то либо координата точки с номером −ℓ − 1, либо ее координата с номеромℓ + 1 не является целой.Теперь мы, наконец, можем дать определение: =( ).(1 − (,1 ))(1 − (,2 )) .

. .(4.4)(В этом разделе мы будем пользоваться тем, что (, ) ̸= 1 для любых и .Доказано это будет в конце следующего раздела.) Из предложения 4.5 следует,что знаменатель действительно является обратимым элементом кольца S.Из вышеприведенного доказательства видно, что ( ) не содержит мо­номов со степенью меньшей deg ( ) + (в обозначениях доказательства).Кроме того, очевидно, знаменатель в (4.4) не содержит степеней меньших,чем . Таким образом, содержит исключительно мономы со степенью неменьшей deg ( ).Далее, рассмотрим конус ,ℓ из доказательства, пусть он порожден век­торами 1 , . . .

, . Аналогично вышесказанному, (,ℓ ) не содержит степеней , меньших deg ( ) + , а((1 − ,1 ) . . . (1 − , ))не содержит степеней меньших . Следовательно частное (,ℓ ) и произве­дения выше можно рассмотреть как ,ℓ ∈ S, также содержащий только степени не меньшие deg ( ). (Как рациональная функция это частное есть, конечноже, ( (,ℓ )).)Сделанные наблюдения позволяют нам перейти к доказательству нужнойнам версии теоремы Бриона для многогранника Π — теоремы 2.9.Доказательство теоремы 2.9.ПустьΠℓ = Π ∩⋂︁<−ℓ ∩⋂︁>ℓ .74Согласно взвешенной теореме Бриона∑︁( (Πℓ )) =,ℓ .(4.5) вершина ΠℓОчевидно, ряд от , стоящий в левой части, покоэффициентно сходится к( (Π)) при ℓ → ∞. Кроме того, для любого ряды ,ℓ покоэффициентносходятся к .Наблюдения, предшествующие доказательству, показывают, что для лю­бого целого существует лишь конечное число вершин , для которых ,ℓсодержит степени меньшие .

Следовательно, можно определить бесконеч­ную сумму∑︁ , вершина Πи выражения в правой части (4.5) покоэффициентно сходятся к этой бесконеч­ной сумме.4.3. Соответствие между гранями в Π и подграфамирешеткиВ этом разделе каждой грани многогранника Π будет сопоставлен подграфрешетки. Несмотря на то, что рассматриваемые подграфы будут бесконечными,это соответствие будет во многом схоже с соответствием между подграфами вординарном графе и гранями обобщенного многогранника Гельфанда–Цетлина.Это сходство будет использовано в следующем разделе для вычисления вкладов при помощи результатов из предыдущей главы.Граф-решетка ℛ был определен в разделе 3.3. Определим подграф Θ() ⊂ℛ для каждой точки ∈ Π.