Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 12

Если же — не вершина, то у нее есть непустая внутренность той же размерности.Выберем ∈ из внутренности . Любые две вершины (1 , 1 ) и (2 , 2 )графа Δ , являющиеся смежными в ℛ, удовлетворяют 1 ,1 () = 2 ,2 () тогдаи только тогда, когда они также являются смежными в Δ .Выберем вершину грани и будем считать, что Δ ⊂ Δ . Предложе­ния 4.13 и 4.12 показывают, что ровно () компонент графа Δ имеют верши­ны в сколь угодно высоких рядах. Если (, ) вершина одной из таких компонент,81то , () = , ().

Таким образом, из предыдущего абзаца видно, что у нас ров­но |{компоненты графа Δ }| − () степеней свободы при выборе координат, ().Мы завершим этот раздел, показав (как и было обещано), что(,ℓ ) ̸= 1.Рассмотрим вершину многогранника и ребро , содержащее . Можносчитать, что Δ — подграф в Δ . Согласно предложению 4.19 граф Δ содержит() + 1 связных компонент, из которых всего одна не содержит вершин всколь угодно высоких рядах. Обозначим эту компоненту Γ ⊂ Δ . Пусть ,ℓ —образующая ребра с + ,ℓ ∈ .Предложение 4.20.Во введенных обозначениях числа, (,ℓ ) = , ( + ,ℓ ) − , (),где (, ) пробегает все вершины графа Δ , описываются следующим образом.Если (, ) лежит вне Γ , то , (,ℓ ) = 0. Для всех же вершин (, ) компонентыΓ значения , (,ℓ ) одинаковы и равны либо −1, либо 1.Доказательство.Предложение 4.13 показывает, что для точки ребра ивершины (, ) не из Γ действительно имеет место , () = , ().

Более того,по определению, все координаты , () точки ∈ , для которых (, ) вершинаΓ , обязаны быть одинаковыми. Взяв = и = +,ℓ получаем утверждениепредложения.Предложение 4.21.Для любой вершины многогранника Π и образующей,ℓ выполняется (,ℓ ) ̸= 1.Доказательство.Пусть — соответствующее ребро.(,ℓ ) = ((+,ℓ )− ).82Этот моном можно вычислить при помощи предложений 4.16 и 4.17. Точнееговоря, видно, что возможны три случая.1.

Γ конечна и не содержит вершин в рядах с ≡ 0 mod (−1). Из предло­жений 4.20 и 4.16 получаем, что в ненулевой степени входит переменная0 mod (−1) , где 0 самый высокий ряд, содержащий вершины из Γ .2. Γ конечна и содержит хотя бы одну вершину в ряду ≡ 0 mod (−1). Изконечности Γ и предложения 4.20 следует, что для вершин (, ) графаΔ с ≫ 0 выполняется , (,ℓ ) = , ( + ,ℓ , ) = 0. Отсюда, в силукомментария после предложения 4.17, все значения , (, ) равны нулю.Теперь из предложений 4.20 и 4.17 получаем, что deg (,ℓ ) ̸= 0.3. Γ бесконечна. Это означает, что при ≫ 0 у Γ лишь одна вершина в ряду. Предложение 4.16 (с учетом, опять же, предложения 4.20) показывает,что тогда сумма степеней вхождения всех равна 1.4.4.

Доказательство теоремы 2.10В этом разделе мы наконец скомбинируем технику, разработанную в гла­ве 3, с предложениями из предыдущего раздела для доказательства анонсиро­ванной комбинаторной формулы для аффинных функций Холла–Литтлвуда.Для этого каждый касательный конус мы представим в виде индуктивногопредела последовательности обобщенных многогранников Гельфанда–Цетлина,что сделает возможным вычисление вклада посредством предельного пере­хода.Вершина многогранника Π будет фиксирована на протяжении всего раз­дела. Пусть Γ1 , .

. . , Γ() — компоненты связности графа Δ . Для всех вершин83(, ), лежащих внутри одной компоненты Γ , числа , () одинаковы, пусть ониравны .Возьмем число такое, что при ≥ у Δ ровно одна вершина в ряду, а при ≤ − у компоненты Γ ровно ℓ вершин в ряду . Такое найдетсяблагодаря предложениям 4.12 и 4.14.Для ℓ ≥ обозначим ℓ сечение конуса , состоящее из точек ∈ со следующими двумя свойствами.1. При ≤ −ℓ для всех вершин (, ) графа Δ выполняется , () = , ().2. При ≥ ℓ все координаты , () такие, что (, ) — вершина Δ , равныдруг другу.Важное замечание: ℓ — конечномерная грань конуса .

В самом деле, ℓ поопределению является пересечением и всех гиперплоскостей ∋ и ∋ кроме конечного числа. Таким образом, мы рассматриваем исчерпание конуса его конечномерными гранями отличное, однако, от исчерпания конусами ,ℓиз доказательства леммы 4.8.Далее, в силу предложения 3.2 о знаменателе и предложения 4.21 рацио­нальная функция ( (ℓ )) корректно определена и имеет вид дроби, в знаме­нателе которой стоит произведение сомножителей вида 1 − , где — моном.Следовательно, она может быть разложена в ряд по , лежащий в кольце S,обозначим этот ряд ℓ .Лемма 4.22.Последовательность рядов (ℓ ) покоэффициентно сходится к ря­ду .Доказательство.Мы считаем, что ( (ℓ )) — дробь, в знаменателе которойстоит произведение множителей 1 − ( ) по всем образующим ребер конусаℓ .

Ясно, что последовательность этих знаменателей покоэффициентно сходит­ся к(1 − (,1 ))(1 − (,2 )) . . .84Остается показать, что числители покоэффициентно сходятся к ( ).Это делается в полной аналогии с доказательством леммы 4.8. Единствен­ное отличие: в последнем абзаце нужно применить описание образующих изпредложения 4.20 вместо взятого из предложения 4.6.Теперь рассмотрим граф Δ,ℓ , являющийся индуцированным подграфом вΔ , получаемым удалением всех рядов с номерами меньшими −ℓ и большимиℓ.

Граф Δ,ℓ состоит из () связных компонент, каждая из которых являетсяординарным подграфом. Для этих компонент будем использовать обозначениеΓℓ ⊂ Γ .Существует естественная биекция (изометрия)ℓ : Γℓ1 (1 , . . . , 1 ) × . . . × Γℓ() (() , . . . , () ) → ℓ .(Каждый множитель справа является конусом с вершиной Γℓ ( ).) Координата, (ℓ (1 × . . .

× () ))(4.7)есть просто соответствующая координата того , для которого (, ) ∈ Γℓ . При < −ℓ координата (4.7) совпадает с , (), а все координаты, для которых ≥ ℓ,равны между собой. В силу предложения 4.9 это отображение действительноявляется биекцией. Также существует и аналогичная биекция ℓ с образом ℓ .Для целой точки ∈ , согласно предложениям 4.16 и 4.17, степени вхож­дения переменных 1 , . . . , −1 , в моном (− ) выражаются через степени−1вхождения в моном (ℓ()−ℓ−1 ()). В самом деле, эти степени вхожденияпеременных есть разности сумм координат точки ℓ−1 () − ℓ−1 () в соседнихрядах, но у этой точки все координаты в ряду −ℓ равны 0, откуда следует, чточерез эти степени можно выразить сумму координат в любом из рядов.

Остает­ся заметить, что числа , (, ) равны единственной координате вида ℓ, (, ),то есть сумме координат в ряду ℓ.Иначе говоря, существует специализация Ψℓ (зависящая от ), заменяющаякаждое на моном от 1 , . . . , −1 , , со следующим свойством. Для любого85набора целых точек { ∈ Γℓ ( , . . . , )} имеет место равенство⎛() ℓ (1 ×...×() ) = ( )Ψℓ ⎝∏︁(︁)︁⎞(︁ −Γℓ ( ) )︁⎠.(4.8)=1Нетрудно дать и явное описание специализации Ψℓ , таковое нам, однако, непонадобится.Из предложения 4.18 и ℓ ≥ следует, что для любой грани конуса ℓ = ℓ (1 × .

. . × () ),где — грань конуса Γℓ ( , . . . , ), выполнено равенство()( ) =∏︁(4.9)Γℓ ( , . . . , )( ).=1Комбинируя (4.8) и (4.9) и применяя предложение 3.3 получаем, наконец,⎛()⎞∏︁ (︀ −(︀ (︀ )︀)︀)︀ ℓ = ( )Ψℓ ⎝ Γℓ ( ) Γℓ ( , . . . , )⎠ .(4.10)=1Определим теперь выделенное подмножество вершин из теоремы 2.10. Вер­шины из этого подмножества мы снова будем называть «существенными».

Вер­шина многогранника Π не является существенной, если и только если в графеΔ есть компонента связности со следующим свойством. Для некоторого у больше вершин в ряду + 1, чем в ряду . (Например, в приложении А вершина является существенной, а вершина — нет.)В силу, опять же, того, что ℓ ≥ , для любой несущественной вершины одна из компонент Γℓ содержит больше вершин в некотором ряду, чем на рядвыше. Скомбинировав (4.10) с теоремой 3.11, получаем(︀ (︀ )︀)︀ ℓ = 0.(4.11)Из леммы 4.22 вытекает теперь часть b) теоремы 2.10.Перейдем к вычислению вклада существенной вершины . Сперва обсудимслучай регулярного , то есть такого, для которого все ненулевые. В этом86случае у Δ ровно компонент связности, при ≪ 0 каждая из них содержитровно одну вершину в ряду (предложение 4.12).

Таким образом, вершина является несущественной тогда и только тогда, когда хотя бы одна компонентаграфа Δ содержит более одной вершины в некотором ряду.Предложение 4.23.Для регулярного вершина многогранника Π являет­ся несущественной тогда и только тогда, когда для некоторого ℓ выполняетсяодновременно и ℓ = 0 и ℓ+−1 ̸= 0.Доказательство.Если несущественна, то в некоторой компоненте графа Δлежит всего одна вершина (−1, ) из ряда −1 и ровно две вершины (, −1) и(, ) из ряда .

Это, в частности, означает, что +(−1)(−1) = 0, но +(−1) ̸=0, откуда следует, что «только тогда».В обратную сторону, если ℓ = 0 и ℓ+−1 ̸= 0, то в Δ найдется вершина( (ℓ), (ℓ)), которая соединена с соседом справа сверху. Вершина ( (ℓ + −1), (ℓ + − 1)) при этом со своим соседом справа сверху не соединена.

Отсюдаследует, что ( (ℓ+−1), (ℓ+−1)) соединена с соседом слева сверху (предло­жение 4.10). Этот сосед слева сверху тогда есть ( (ℓ − 1), (ℓ − 1)), он же соседсправа сверху вершины ( (ℓ), (ℓ)). Таким образом, соответствующая компо­нента содержит две вершины из ряда (ℓ), откуда следует несущественностьвершины .Мы видим, что существенные вершины многогранника Π задаются беско­нечными в обе стороны последовательностями = ( ) с ∈ {0, 1}, удовлетво­ряющими следующим требованиям.1. ℓ = 0 при ℓ ≫ 0.2. ℓ = 1 при ℓ ≪ 0.3.

Если ℓ = 0, то и ℓ+−1 = 0.87Такие бинарные последовательности мы будем называть «хорошими». Вершина , соответствующая такой последовательности, однозначно определяется сле­дующим образом: если ℓ = 0, то ∈ ℓ , а если ℓ = 1, то ∈ ℓ . Такая точкаявляется вершиной в силу предложения 4.4. Более того, построенное соответ­ствие взаимно однозначно.Предложение 4.24.Различным хорошим последовательностям 1 , 2 соответ­ствуют различные существенные вершины 1 , 2 (в случае регулярного веса).Доказательство.Покажем, что существенная вершина не может содержать­ся одновременно и в ℓ и в ℓ ни для какого ℓ.