Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 13

Отсюда сразу последует утвер­ждение. В самом деле, пусть найдется такое минимальное ℓ. В силу ℓ () = иℓ = 0 мы обязательно имеем ℓ− = 0 и ℓ−1 () = . Из первого согласно пред­ложению 4.23 следует, что ℓ−1 = 0, что дает противоречие с минимальностьюℓ.Далее, следуя [12], сопоставим каждой хорошей последовательности эле­мент ∈ группы Вейля. Обобщим определение корней (стр. 15), для про­извольного целого числа = ( − 1) + (с ∈ [1, − 1]) положив = + .Корню соответствует отражение ∈ .

Вспомним также элемент ∈ ,определенный на странице 16. Теперь для хорошей последовательности выбе­рем такое 0 , что для всех ℓ ≤ 0 ( − 1) выполнено ℓ = 1. Соответствующий элемент группы Вейля есть00 (−1)+1 − = . . . ℓℓ . . . 00(−1)+2.(−1)+2 0 (−1)+1 Предложение 4.25([12]). Элемент не зависит от выбора 0 . Отображение ↦→ задает биекцию между множеством хороших последовательностей и .Для хорошей последовательности будем для краткости обозначать = .88Предложение 4.26.Для любой хорошей последовательности имеем = .Доказательство.Сперва докажем утверждение для таких , что ℓ = 1 приℓ ≤ 0. Применим индукцию по номер последней 1 в , для базы индукции 0 сℓ0 = 0 ⇔ ℓ > 0 имеем 0 = 0 , 0 = и 0 = 1.Далее, рассмотрим с ℓ = 1 при ℓ ≤ 0, последняя единица в которой на­ходится на позиции > 0.

Пусть ′ получается заменой на 0. Нам достаточнопоказать, что = ′ . Однако = ′ − ( ) , причем ( ) = − (′ ).Требуемое равенство теперь проверяется напрямую, исходя из действия отра­жений на корнях.Теперь для < 0 рассмотрим последовательность с ℓ = 1 ⇔ ℓ ≤( − 1). Имеем = (−1) (см. стр. 26), соответственно, вершине со­ответствует базисный вектор − , определенный на странице 16, и = − .Таким образом, для последовательностей предложение тоже верно.Рассмотрим наконец произвольное . Для числа 0 < 0 имеем ℓ = 1 приℓ ≤ 0 ( − 1). Определим ^ по правилу ^ℓ = ℓ−0 (−1) . Согласно [12] длялюбого имеет место = −(−1) . Отсюда, с одной стороны,0000− = (−= − ^ ) ^,c другой,0−0 − 0 = − (^ − 0 ) = ^ − 0 ,и требуемое равенство следует из доказанного равенства для ^.Теперь для существенной вершины посмотрим на образующие конуса .

Из того, что для каждого ℓ вершина содержится ровно в одном из про­странств ℓ и ℓ , следует, что для каждого ℓ найдется ровно одно ребро конуса с ⊂ ∪ для всех ̸= ℓ. Обозначим соответствующую обра­зующую конуса ,ℓ . Первая ненулевая координата вектора ,ℓ находится напозиции ℓ и равна 1, если ℓ = 0, и −1, если ℓ = 0.89Для хорошей последовательности обозначимℎ =∏︁ (︁(︁,ℓ1− )︁)︁=∏︁(1 − ( , )).>0ℓ∈ZПредложение 4.27.(︃)︃∏︁ (︀ℎ = 1−)︀− .∈Φ+Доказательство.Обозначим 0 множество хороших последовательностей ,для которых ℓ = 1 при ℓ ≤ 0.

Введем отображения , : 0 , «вставляющие»соответственно 0 и 1 на позицию 1, то есть() = (. . . , −1 , 0 , 0, 1 , 2 , . . .),() = (. . . , −1 , 0 , 1, 1 , 2 , . . .).Отображение переводит 0 в себя, отображение же может переводить эле­менты из 0 вне 0 .Кроме того, введем оператор сдвига Σ, отображающий в +1 при 1 ≤ ≤ − 2, а также −1 в 1 и в , то есть переводящий в +1 .Для ∈ 0 обозначим =∏︁ (︁(︁1− ,ℓ)︁)︁.ℓ>0Определим 0 ∈ 0 также, как в доказательстве предложения 4.26.

Покажем,что выполняются соотношения0 =∏︁(1 − − ),(4.12)>0() = Σ( )(1 − () (−1 ) ) при , () ∈ 0(4.13)() = Σ( )(1 − () (−1 ) ) при ∈ 0 .(4.14)и90Так как при ℓ > 0 единственная ненулевая координата у 0,ℓ 0 ,ℓ— это ℓ= 1,равенство 4.12 очевидно. Кроме того, заметим, что при ℓ > 1:(),ℓ= (),ℓ= Σ(,ℓ−1)(первый член рассматривается при () ∈ 0 ).Для проверки соотношений (4.12)-(4.14) остается показать, что для любого(︁,1 ∈ 0 выполняется )︁= (−1 ) . Это проверяется индукцией по номерупоследней единицы в .Теперь рассмотрим произвольное . Для числа определим [] по прави­(︁[],ℓлу []ℓ = ℓ− . Тогда )︁(︁ (︁ ,ℓ− )︁)︁, кроме того, для достаточно= Σ больших имеем [] ∈ 0 . Отсюда видим, что выражение ℎ есть покоэффици­ентный пределℎ = lim Σ− ([] )→∞(4.15)(оператор Σ обратим).Ясно, что соотношения (4.12)-(4.15) однозначно определяют выраженияℎ . Однако в [12] показано, что выражения(︃)︃∏︁ (︀)︀1 − − ∈Φ+тоже удовлетворяют такому определению.Отсюда выводим ключевой для нас факт.Предложение 4.28.Для хорошей последовательности мультимножество{( , )} совпадает с мультимножеством {− , ∈ Φ+ }, где каждое учи­тывается раз.Доказательство.Благодаря предыдущему предложению, нам достаточно про­верить, что ни для какого подмультимножества ⊂ {− , ∈ Φ+ } не выпол­няется∏︀∈ = 1.

Такое равенство, однако, означало бы, что сумма некоторогонабора положительных корней нулевая, что невозможно.91По существу, остается проверить следующее.Предложение 4.29.Пусть регулярно и — существенная вершина. Тогдадля любой грани многогранника Π, содержащей , имеет место( ) = (1 − )dim .Доказательство.Мы можем считать, что Δ — подграф в Δ .Все связных компонент графа Δ бесконечные графы-пути, − 1 изкоторых бесконечны в одном направлении («вверх»), а один бесконечен в обоихнаправлениях.

С учетом предложения 4.18 получаем, что ( ) = (1 − ) , где — число вершин в графе Δ , не соединенных с вершинами из ряда выше.Однако предложение 4.19 показывает, что dim = .Теперь выберем такую хорошую последовательность , что для рассмат­риваемой вершины = , и рассмотрим конечномерную грань ℓ ⊂ . Пустьэта грань образована векторами , , ∈ ⊂ Z.

Из описания векторов , мывидим, что конус ℓ является симплициальным и унимодулярным. Применяяпредложение 3.4, из предложений 4.26 и 4.29 мы выводим(︂∏︀ (︁(︁,)︁)︁)︂ − 1 − (︂ ∈)︂( (ℓ )) =(︀ , )︀)︀∏︀ (︀1 − .∈Отсюда при помощи предложения 4.28 и предельного перехода 4.22 получаемчасть a) теоремы 2.10 для случая регулярного веса.Перейдем к случаю особого веса , то есть веса, для которого хотя бы одно = 0.

Этот случай будет сведен к регулярному случаю, поэтому мы введем1 — произвольный целочисленный доминантный регулярный вес. Объекты,отвечающие 1 , мы будем обозначать при помощи верхнего индекса 1 , например:Π1 , 1 , ℓ1 и т. п.Каждой хорошей последовательности можно опять же сопоставить вер­шину многогранника Π, положив ∈ ℓ при ℓ = 0 и ∈ ℓ при ℓ = 1. При92этом уже не будет верно, что различным соответствуют различные вершины.Тем не менее, имеют место следующие факты.Предложение 4.30.Вершины — это в точности существенные вершины вΠ.Доказательство.Последовательности соответствует вершина 1 многогран­ника Π1 . При этом если вершина 1 содержится в гиперплоскости ℓ1 или ℓ1 , товершина содержится в гиперплоскости ℓ или ℓ соответственно.

Поэтомуможно считать, что граф Δ1 является подграфом в Δ (с тем же множествомвершин).Однако если компонента графа Δ содержит больше вершин из ряда чем из ряда − 1, то тем же свойством будет обладать и одна из содержащихсяв компонент графа Δ1 . Это противоречило бы существенности вершины 1 .Обратно, покажем, что существенная вершина имеет вид для некото­рого .

Для этого достаточно показать, что ни для какого ℓ вершина не можетсодержаться в ℓ и в ℓ+−1 , но не содержаться ни в ℓ , ни в ℓ+−1 . Но этобы означало, что вершина ( (ℓ), (ℓ)) графа Δ соединена c соседом справасверху, но не с соседом слева сверху, а вершина ( (ℓ + − 1), (ℓ + − 1))с соседом слева сверху, но не с соседом справа сверху. Однако сосед спра­ва сверху вершины ( (ℓ), (ℓ)) совпадает с соседом слева сверху вершины( (ℓ + − 1), (ℓ + − 1)) и мы видим, что соответствующая компонентаграфа содержит две вершины в ряду (ℓ) и одну вершину в ряду (ℓ) − 1, чтопротиворечит существенности .Предложение 4.31.Для любого выполняется равенство = .

Приэтом если 1 = 2 , то 1 = 2 .Доказательство.Для доказательства первого утверждения заметим, что, внезависимости от регулярности , точка линейно зависит от , а линей­но зависит от . Значит, линейно зависит от и утверждение следует изпредложения 4.26.93Теперь рассмотрим 1 , 2 с 1 = 2 . Рассмотрим также вершину 11многогранника Π1 . Мы опять же можем считать, что Δ1 ⊂ Δ1 . Это означает,1что конус 1 − 1 с вершиной в начале координат содержится в конусе 1 −111 .Поскольку 2 ∈ 1 , в конусе 1 лежит точка =1111(−1 ) = 1.+ 2 − 1 , причем(4.16)Однако − 11 представляется в виде неотрицательной целочисленной линей­ной комбинации образующих конуса 1 , и, в силу предложения 4.28, равен­1ство (4.16) означает, что соответствующая целочисленная неотрицательная ли­нейная комбинации положительных корней — нулевая.

Это возможно толькопри тождественно нулевых коэффициентах, то есть = 11 , откуда 1 = 2 .Таким образом, мы убедились в том, что существенные вершины в Π дей­ствительно нумеруются элементам орбиты .Для доказательства части a) теоремы 2.10 для особых теперь достаточнопоказать, что вклад вершины равен сумме перенесенных вкладов вершин 1с = , то есть имеет место равенство)︁∑︁ (︁1− 1 =1 .[ℓ1 ] ! . . . [ℓ ] !(4.17)| =Здесь мы пользуемся формулой (4.6) для ряда Пуанкаре стабилизатора и темфактом, что вклады 1 для регулярного веса нами уже были посчитаны.Неформально равенство (4.17) можно объяснить тем, что многогранник Πявляется «вырождением» многогранника Π1 .

Для строгого его обоснования мыпредставим каждый конус ℓ в виде вырождения некоторого многогранникаℓ1 с вершинами в точках 1 , а затем воспользуемся предельным переходом.Мы можем считать, что для всех c = граф Δ1 вложен в Δ и имеет1то же множество вершин. Для такого и целого числа ℓ ≥ 1 обозначим ,ℓсоответствующую конечномерную грань конуса 1 . Выберем ℓ, превосходящее и все 1 с = . В силу леммы 4.22, тождество (4.17) при переходе ℓ → ∞94последует из равенства(︀(︀ ℓ)︀)︀)︁)︁)︁ (︁(︁∑︁ (︁1− 11 = 1 ,ℓ .[ℓ1 ] ! . . . [ℓ() ] ! =(4.18)Для любых , с = = выполняется равенство 1, (1 ) = 1, (1 ) длялюбой вершины (, ) ∈ Δ с ≤ −ℓ.

Обозначим 1 , . . . , ℓ последовательностьтех чисел 1−ℓ, (1 ), для которых (−ℓ, ) ∈ Γ (компонента связности графа Δ ).Кроме того, заметим, что для любого 1 с = все координаты 1, (1 ) с(, ) ∈ Δ и ≥ ℓ равны между собой. Пусть ℓ1 ⊂ 1 — многогранник,состоящий из таких точек 1 , что1. Для любого ≤ −ℓ те координаты 1, (1 ), для которых (, ) ∈ Γ , обра­зуют последовательность 1 , . . . , ℓ при чтении слева направо.2. Все координаты 1, (1 ) в рядах ≥ ℓ равны между собой.3. Координаты 1, (1 ) удовлетворяют всем неравенствам, соответствующимребрам графа Δ .Из определения ℓ1 видно, что это конечномерный многогранник, задан­ный условиями вида 1 ∈ 1 , 1 ∈ 1 , 1 ≥ 0 и (1 ) ≤ 1 для различных .Отсюда следует, что ℱℓ1 естественным образом вкладывается в ℱΠ1 — каждаягрань ∈ ℱℓ1 содержит в себе грань ′ ∈ ℱΠ1 той же размерности.