Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 11

Вершины в Θ() — это все вершины ℛ. Ребро вℛ, соединяющее (1 , 1 ) с (2 , 2 ), входит в Θ() если и только если 1 ,1 () =2 ,2 ().75Теперь для конечномерной грани многогранника Π выберем точку такую, что — минимальная грань, содержащая . Видно, что подграф Θ()не зависит от выбора и можно определить Θ = Θ(). Видно также, что при ⊂ граф Θ является подграфом в Θ .Равенство (2.6) на странице 27 показывает, что Θ инвариантен относитель­но переноса (, ) → ( − + 1, + ). Это означает, что компоненты связностив Θ разбиты на классы эквивалентности: две компоненты эквивалентны еслиих можно отождествить многократным применением этого переноса. Выберемнабор представителей и обозначим объединение этих компонент Δ ⊂ Θ .Видно, что для данных граней ⊂ выбор компонент графов Δ и Δможно сделать так, чтобы выполнялось включение Δ ⊂ Δ .

Мы не будемтребовать, чтобы это включение выполнялось одновременно для всех пар ⊂ ,но иногда при рассмотрении конкретной такой пары будем, не ограничиваяобщности, предполагать, что оно выполнено.Равенство (2.6) так же показывает, что вершины (, ) и ( − + 1, + )никогда не лежат в одной компоненте Θ . Это означает, что для каждого целогочисла ℓ существует ровно одна вершина (, ) ∈ Δ для которой + ( −1) = ℓ. Обозначим эту вершину ( (ℓ), (ℓ)). Кроме того, видно, что ребра Δнаходятся во взаимно однозначном соответствии с гиперплоскостями ℓ и ℓ ,содержащими .Рассмотрим теперь вершину многогранника Π.

В пространстве вве­дем замену координат, заданную графом Δ . Новые координаты нумеруютсяпарами (, ) такими, что (, ) входит в Δ . Соответствующая координата точ­ки есть просто , (). Определение (2.5) таблицы , () в совокупности сзамечаниями выше показывает, что это действительно невырожденная заменакоординат, переводящая целые точки в целые точки и наоборот.Предложение 4.9.Точка ∈ принадлежит тогда и только тогда, когдадля каждого ребра графа Δ , соединяющего вершины (1 , 1 ) и (2 , 2 ), коорди­76наты 1 ,1 () и 2 ,2 () удовлетворяют соответствующему неравенству.Доказательство.Это следует из того, что ∈ если и только если ℓ ≥ 0при ∈ ℓ и ℓ () ≤ при ∈ ℓ .Мы дадим обширный список свойств определенных нами объектов. Вве­денные понятия и некоторые из нижеприведенных предложений проиллюстри­рованы в приложении А.Предложение 4.10.Для любой вершины многогранника Π каждая вершинаграфа Δ соединена хотя бы с одним из двух соседей сверху.Доказательство.Это напрямую следует из предложения 4.4.Предложение 4.11.Если (, ) и (, +1) находятся в одной компоненте графаΔ , то ( − 1, + 1) и ( + 1, ) (то есть два общих соседа первых двух вершин)также лежат в той же самой компоненте.Доказательство.Это следует из того, что , () является бесконечной табли­цей Гельфанда–Цетлина.Далее представим себе граф-цикл с вершинами, занумерованными числа­ми 0, .

. . , − 1, а также его подграф, определяющийся по следующему правилу.Вершины и + 1 смежны в подграфе если и только если +1 = 0 (все индек­сы берутся по модулю ). Так как ̸= 0 этот подграф состоит из некоторогочисла () компонент — графов путей размеров ℓ1 , . . . , ℓ() . Числа () иℓ1 , . . . , ℓ() — важные характеристики веса . Сразу же заметим, что стабили­затор ≃ ℓ1 × . . . × ℓи его ряд Пуанкаре (см.

раздел 1.1) имеет вид () = [ℓ1 ] ! . . . [ℓ ] !.(4.6)77(В самом деле, по причине цикличности диаграммы Дынкина ряд Пуанкарестабилизатора не меняется от циклической перестановки координат , но если0 > 0, то стабилизатор совпадает со стабилизатором sl -веса (1 , . . . , ℓ−1 ),откуда и следует формула 4.6.)Предложение 4.12.Для любой вершины многогранника Π число связныхкомпонент в Δ равно (). Сверх того, их можно обозначить Γ1 , . . . , Γ()таким обазом, чтобы при ≪ 0 компонента Γ содержала ровно ℓ вершин изряда .Доказательство.Выберем ∈ [1, ()]. В силу определения чисел ℓ , найдетсяцелое число со следующими свойствами.1. Для ℓ < + 2 выполнено ℓ = ℓ mod .2.

= −1 = . . . = −ℓ +2 = 0.(ℓ − 1 подряд идущих членов.)3. +1 ̸= 0 и −ℓ +1 ̸= 0.Отсюда следуют такие утверждения об бесконечной таблице ГЦ (, ()).Элемент ( ), ( ) () и каждый из ℓ − 1 непосредственно справа от него (тоесть до ( ), ( )+ℓ −1 () включительно) равны своим соседям слева сверху.Это следует из свойства 1 выше.

Кроме того, ( ), ( ) () и ℓ − 2 элементанепосредственно справа от него равны своим соседям справа сверху. Это сле­дует из свойства 2. Однако ( ), ( )−1 () не равен своему соседу слева свер­ху ( )−1, ( ) (), а ( ), ( )+ℓ −1 () не равен своему соседу справа сверху ( )−1, ( )+ℓ (). Об этом свидетельствует свойство 3.Мы установили, что вершина ( ( ), ( )) лежит в одной компонентес ℓ − 1 вершиной справа от нее, а также со своим соседом сверху слева и сℓ − 1 вершиной справа от этого соседа. Коме этого, мы установили, что другихвершин из рядов ( ) и ( ) − 1 в этой компоненте нет.78Видно, что действительно найдутся такие компоненты Γ1 , .

. . , Γ() , чтопри ≤ min( ( ))компонента Γ содержит ровно ℓ вершин из ряда . Однако из определения чи­сел следует, что при ℓ ≤ min ( ) вершина ( (ℓ), (ℓ)) содержится в однойиз этих () компонент. Таким образом, других компонент в графе нет, ибо, со­гласно предложению 4.10, любая компонента в Δ обязана содержать вершиныв сколь угодно высоких рядах.Предложение 4.13.Для точки ∈ при (, ) ∈ Δ и ≪ 0 имеет место, () = , ().Доказательство.Очевидно, существует такое целое число , что ℓ = ℓ приℓ < и, следовательно, (ℓ), (ℓ) () = (ℓ), (ℓ) ()при ℓ < . Однако, согласно предложению 4.12, при ≪ 0 и в ряду содержит­ся лишь конечное число вершин графа Δ и поэтому для вершины ( (ℓ), (ℓ))в достаточно высоком ряду имеет место неравенство ℓ < .Другое предложение описывает устройство Δ в рядах ≫ 0.Предложение 4.14.Лишь одна из () компонент графа Δ содержит вер­шины (, ) с неограниченно большими .

При ≫ 0 эта компонента содержитровно одну вершину в ряду .Доказательство.При ℓ ≫ 0 выполняется ℓ = 0, откуда (ℓ), (ℓ) () = (ℓ)−1, (ℓ)+1 ().Следовательно, для любого ℓ > 0 имеет место( (ℓ), (ℓ)) = ( (ℓ − 1) + 1, (ℓ − 1) − 1)и соответствующее ребро лежит в Δ . Отсюда следует предложение.79Предложение 4.15.Для точки ∈ все ее координаты , () с (, ) ∈ Δи ≫ 0 равны между собой.Доказательство.При ℓ ≫ 0 выполнено ℓ = 0, что означает, что (ℓ), (ℓ) () = (ℓ−1), (ℓ−1) (). Теперь воспользуемся предложением 4.14.Как для точки ∈ выразить моном ( ) через координаты , ()?Ответ мы даем в терминах чисел, (, ) = , () − , ().Предложение 4.16.Для любой целой точки ∈ степень, в которой входит в (− ) равна⎛⎞∑︁∑︁⎝≡ mod (−1)Доказательство.∑︁, (, ) −(,)∈Δ∑︁−1, (, )⎠ .(−1,)∈ΔФормула (1.8) показывает, что (− ) содержит в степени(ℓ − ℓ ) =ℓ≡ mod (−1)∑︁( (ℓ), (ℓ) (, ) − (ℓ−1), (ℓ−1) (, )).ℓ≡ mod (−1)Остается применитьℓ = (ℓ) + ( − 1) (ℓ) ≡ (ℓ) mod ( − 1).Предложения 4.13 и 4.15 показывают, что во всех рассматриваемых суммахчисло ненулевых слагаемых конечно.Предложение 4.17.Для целой точки ∈ имеет место равенствоdeg (− ) =∑︁∑︁(−, (, ) + , (, )),≡0 mod (−1) (,)∈Δгде , (, ) = 0 при +(−1) < 0 и , (, ) =0.∑︀ℓ (ℓ −ℓ )при +(−1) ≥80Из (1.9) выводимДоказательство.deg (− ) = −∑︁ ∑︁<0 ℓ≤(−1)∑︁ (︀⎞⎛∞∑︁ ∑︁⎝(ℓ − ℓ ) −(ℓ −ℓ )+≥0ℓ=−∞∑︁(ℓ − ℓ )⎠ =ℓ≤(−1))︀ ((−1)), ((−1)) (, ) − ((−1)), ((−1)) (, ) .∈ZТеперь воспользуемся тем, что (( − 1)) ≡ 0 mod ( − 1).

Опять же, во всехрассматриваемых суммах конечное число ненулевых слагаемых.Отметим, что рассмотренное в последнем предложении число∑︀ℓ (ℓ− ℓ )есть предел limℓ→∞ (ℓ), (ℓ) (, ).Далее, -вес ( ) легко интерпретировать в терминах графа Δ .Предложение 4.18.Для конечномерной грани и целого числа ℓ > 0 пустьℓ — число пар (Γ, ), где Γ — связная компонента Δ , а — целое число, такие,что Γ содержит ℓ вершин из ряда и ℓ − 1 вершин из ряда − 1. Тогда ( ) =∏︀(1 − ℓ )ℓ .Доказательство.Это напрямую следует из определений.Предложение 4.19.Для конечномерной грани выполняется равенствоdim = |{компоненты графа Δ }| − ().Доказательство.Если вершина, это следует из предложения 4.12.