Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр)

Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего профессионального образования Национальный исследовательскийуниверситет «Высшая школа экономики»На правах рукописиМахлин Игорь ЮрьевичКвазиклассические формулы для характеровпредставлений аффинных алгебр01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чиселДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительд. ф.-м.

н., проф.Фейгин Борис ЛьвовичМосква – 20162Оглавление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . .101.1.Формула Каца–Вейля и функции Холла–Литтлвуда . . . . . . . .101.2.Характеры алгебры gl и многогранники Гельфанда–Цетлина . .111.3.Комбинаторная формула для многочленов Холла–Литтлвуда . .131.4.Подпространства Фейгина–Стояновского и мономиальные базисы 141.5.Валюации и теорема Бриона . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .18. . . . . . . . . . .222.1.Взвешенная теорема Бриона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.2.Результаты для финитного случая . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.3.Комбинаторная формула для аффинных функций Холла–Литт­ВведениеГлава 1.Глава 2.Предварительные сведенияФормулировки основных результатовлвуда . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26Применение теоремы Бриона в аффинном случае . . . . . . . . .29. . . . . . . . . . . . . . . .343.1.Доказательство взвешенной теоремы Бриона . . . . . . . . . . . .343.2.Вырождения многогранников .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .363.3.Обобщенные многогранники Гельфанда–Цетлина . . . . . . . . .413.4.Доказательство леммы 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55. . . . . . . . . . .624.1.Доказательство для финитного случая .

. . . . . . . . . . . . . .624.2.Теорема типа Бриона для Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .664.3.Соответствие между гранями в Π и подграфами решетки . . . .744.4.Доказательство теоремы 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .972.4.Глава 3.Глава 4.Комбинаторные инструментыДоказательства основных результатовСписок литературыПриложение А.Иллюстрации к разделу 4.3. . . . . . . . . . . . . 1003ВведениеАктуальность и степень разработанности темы исследования.Непри­водимые характеры являются одним из центральных объектов изучения теориипредставлений алгебр Ли. Классической формулой для характера неприводимо­го представления полупростой алгебры Ли является формула Вейля. Есть мно­жество различных способов вывода этой формулы, в том числе традиционныеалгебраические способы. Мы, однако, обратимся сейчас к способу геометриче­скому.Пусть — комплексная полупростая алгебра Ли, = / — соответству­ющее ей многообразие флагов.

Для целочисленного доминантного веса на можно определить эквивариантное линейное расслоение ℒ . При этом ока­жется, что пространство глобальных сечений расслоения ℒ есть в точностисоответствующее неприводимое представление , а старшие когомологии у ℒнулевые (теорема Бореля–Вейля–Ботта). Это позволяет получить формулу дляхарактера char , выписав эквивариантную голоморфную формулу Лефшеца.Полученная таким образом формула совпадет с формулой Вейля для характераи будет иметь вид суммы по неподвижным точкам в .

При этом вклад каждойточки будет определяться локальными свойствами расслоения в этой точке ℒ .Такой подход, состоящий в разложении некоторой глобальной сущностив сумму ее локальных аппроксимаций в неподвижных точках, иногда называ­ют «квазиклассическим» — термин физического происхождения. Эта работаво многом посвящена тому наблюдению, что своего рода квазиклассическийподход можно применить и к другому не менее важному для нас классу фор­мул для характеров — комбинаторным формулам. Обсудим вкратце этот классформул.Комбинаторная формула представляет характер в виде суммы по некото­рому комбинаторному множеству — дискретному набору объектов с заданнымисвойствами.

Как правило, при этом в представлении указывается базис, элемен­4ты которого нумеруется тем же комбинаторным множеством, откуда сразу жевытекает формула для характера. Архетипичный пример здесь — это базисГельфанда–Цетлина в представлении алгебры gl (C), построенный в классиче­ской работе [1]. Этот базис нумеруется таблицами Гельфанда–Цетлина или эк­вивалентными им полустандартными таблицами Юнга и дает комбинаторнуюформулу для характера неприводимого конечномерного gl -модуля (многочле­на Шура).

Также в этом контексте стоит упомянуть обобщения базисов Гель­фанда–Цетлина на другие типы (см. [2]), струнные базисы ([3, 4]) и мономиаль­ные базисы Фейгина–Фурье–Литтелманна–Винберга для типов и ([5, 6]).Практически во всех этих примерах оказывается, что рассматриваемыекомбинаторные объекты являются массивами целых чисел, удовлетворяющихнабору линейных неравенств.

Это позволяет представить комбинаторное мно­жество в виде множества целых точек в некотором выпуклом многограннике,архетипичный пример, опять же — многогранники Гельфанда–Цетлина. Приэтом вклад каждой целой точки в формулу для характера оказывается опре­деленной экспонентой этой точки. Здесь и появляется упомянутый нами квази­классический подход — теорема Бриона из теории решеточных многогранников.Она представляет сумму экспонент целых точек многогранника в виде суммыпо его вершинам. При этом вклад каждой вершины определяется касательнымконусом к многограннику в этой вершине, то есть, опять же, локальной аппрок­симацией многогранника.Обсудим теперь, каким образом этот сюжет обобщается в двух направлени­ях.

Сперва перейдем от неприводимых характеров к многочленам Холла–Литт­лвуда, а затем от полупростых алгебр к аффинным.Многочлены Холла–Литтлвуда также нумеруются целочисленными до­минантными весами и являются однопараметрическими деформациями непри­водимых характеров. Они определяются при помощи несложного видоизмене­ния формулы Вейля для характера c введением дополнительной переменной .Классические многочлены Холла–Литтлвуда соответствуют типу и изначаль­5но появились в теории абелевых -групп. Они обладают целым списком свойств,относящихся к разным областям математики, многие из которых обсуждаютсяв книге [7].Для произвольного финитного типа эти многочлены можно получить втом же геометрическом квазиклассическом контексте, что и неприводимые ха­рактеры.

Для этого нужно рассмотреть на многообразии флагов подкручен­ный пучок дифференциальных форм Ω* ⊗ ℒ . Этот пучок в общем случае ужене будет ациклическим и поэтому применение эквивариантной голоморфнойформулы Лефшеца даст так называемую эквивариантную эйлерову характери­стику:∑︁(−1) char( (, Ω ⊗ ℒ )).,≥0Эта эйлерова характеристика и будет многочленом Холла–Литтлвуда. (Строгоговоря, в случае особого веса данная эйлерова характеристика будет равнамногочлену Холла–Литтлвуда с точностью до множителя — многочлена от .Для избавления от этого множителя можно вместо рассмотреть соответству­ющее параболическое многообразие флагов.)В типе для многочленов Холла–Литтлвуда известна комбинаторная фор­мула, восходящая к [7].

Как и формула Гельфанда–Цетлина, она следует изправила ветвления для этих многочленов и описывается следующим образом.Параметризующее множество опять же состоит из таблиц Гельфанда–Цетлина,а соответствующее таблице слагаемое есть произведение экспоненты из форму­лы Гельфанда–Цетлина и некоторого многочлена от переменной , так называе­мого -веса. Таким образом, многочлен Холла–Литтлвуда типа также можетбыть представлен в виде суммы экспонент целых точек в многограннике, но наэтот раз взвешенной.Перейдем к обсуждению аффинных алгебр Ли. Как и для любой симмет­ризуемой алгебры Каца–Муди, характер интегрируемого неприводимого пред­ставления такой алгебры можно записать при помощи формулы Каца–Вейля,6обобщающей формулу Вейля для финитного случая.̂︀ (C).

В этом случае мож­Остановим свое внимание на типе ˜ и алгебрах slно определить соответствующее (бесконечномерное) многообразие флагов изаданное целочисленным доминантным весом линейное расслоение ℒ . Будетиметь место аналог теоремы Бореля–Вейля–Ботта: это расслоение вновь будетациклическим и нулевые когомологии будут представлять из себя интегрируе­мое неприводимое представление . Далее, выписав соответствующую версиюэквивариантной голоморфной формулы Лефшеца, мы получим формулу длянеприводимого характера в виде суммы по неподвижным точкам, которая сов­падет с формулой Каца–Вейля.

Этот сценарий обсуждается в [8].̂︀ (C)Более того, для интегрируемого неприводимого характера алгебры slбыла также получена комбинаторная формула. Это сделано в цикле работ раз­личных авторов, к которому можно отнести статьи [8–12].

Эта формула тожезадается комбинаторным базисом, элементы которого параметризуются целы­ми точками в некотором многограннике, правда, уже бесконечномерном. Вкладточки при этом тоже равен определенной ее экспоненте.Наконец, для целочисленного доминантного веса симметризуемой алгеб­ры Каца–Муди можно определить функцию Холла–Литтлвуда, аналогичнымобразом продеформировав формулу Каца–Вейля. (Слово «функция» использу­ется вместо слова «многочлен» по причине бесконечности этих выражений.)Обратимся опять же к типу ˜. В этом случае функции Холла–Литтлвуда иг­рают роль в теории представлений двойной аффинной алгебры Гекке ([13]), атакже в геометрии упомянутых аффинных многообразий флагов.

В последнемконтексте они появляются вполне аналогично финитному случаю: как эквива­риантные эйлеровы характеристики подкрученных пучков дифференциальныхформ на аффинных многообразиях флагов. Это обсуждается, в частности, вработе [14].Цели и задачи диссертационной работы:Метод получения формулдля характеров при помощи теоремы Бриона в литературе освещен слабо. Из7известных автору работ к нему можно отнести разве что статью [15], где рас­сматриваются некоторые финитизации упомянутых бесконечномерных много­гранников, появляющихся в комбинаторной формуле для аффинного неприво­димого характера. Там проверяется некоторая версия теоремы Бриона для этихмногогранников и упоминаются близкие к самой теореме Бриона идеи Пухли­кова и Хованского.Одна из основных целей этой работы — это восполнить этот пробел.

Пер­вый шаг должен заключаться в том, чтобы применить теорему Бриона к мно­гогранникам Гельфанда–Цетлина и установить, какая формула для характе­ра получается таким образом. В отношении финитного случая стоит такжецель найти обобщение (взвешенную версию) теоремы Бриона, которую можнобыло бы применить к комбинаторной формуле для классических многочленовХолла–Литтлвуда, и исследовать результат этого применения.Кроме того, планируется сформулировать аналог теоремы Бриона длябесконечномерного многогранника, параметризующего базис в неприводимом̂︀ (C)-модуле, и, опять же, получить таким образом формулу для характера.slВторая основная цель и центральное нововведение этой работы: получениекомбинаторной формулы для аффинных функций Холла–Литтлвуда типа ˜.При этом желательно, чтобы новая формула тоже имела вид суммы по целымточкам того или иного многогранника и доказывалась при помощи формулытипа Бриона для этого многогранника.Научная новизна.Результаты диссертации являются новыми, основныерезультаты заключаются в следующем.∙ Установлено, что при применении теоремы Бриона к многограннику Гель­фанда–Цетлина и надлежащей специализации вклады большей части вер­шин зануляются, а вклады оставшихся вершин дают слагаемые в формулеВейля для характера.∙ Найдено обобщение теоремы Бриона, в котором экспоненты точек сумми­8руются с весами, зависящими от минимальной грани, содержащей точку.∙ Обобщение теоремы Бриона применено к комбинаторной формуле длямногочленов Холла–Литтлвуда и показано, что снова вклады большей ча­сти вершин зануляются, а вклады оставшихся дают слагаемые в стандарт­ной формуле для многочлена Холла–Литтлвуда.∙ Доказана формула типа Бриона для многогранника из комбинаторнойформулы для неприводимого аффинного характера.