Диссертация (Квазиклассические формулы для характеров представлений аффинных алгебр), страница 4

. . , ) =∑︁⎜⎝∈⎞⎟⎠.(1 − / )∏︀(2.3)1≤<≤Напомним, что группа Вейля отождествляется с и действует на веса,переставляя их координаты в указанном базисе. Регулярным называется вес,на который группа Вейля действует с тривиальным стабилизатором, то естьвес с попарно различными координатами .Теорема 2.2.У множества вершин многогранника есть выделенное под­множество, параметризованное орбитой .

Для вершины из этого подмно­жества, соответствующей ∈ , имеем⎛ (( )) =∑︁=⎜⎝⎞∏︀1≤<≤⎟⎠,(1 − / )25а для всех остальных вершин (( )) = 0. При этом для регулярного веса выделенное подмножество вершин совпадает с множеством простых вершин.Мы видим, что сумма ненулевых вкладов вершин действительно дает пра­вую часть формулы (2.3).Перейдем к многочленам Холла–Литтлвуда и взвешенной теореме Бриона.Сделаем простое наблюдение.

Для таблицы ГЦ многочлен из разде­ла 1.3 определяется тем, какие из неравенств (1.3) обращаются в равенство вточке . С другой стороны, это в точности те неравенства, которыми задает­ся наш многогранник. Таким образом, определяется минимальной гранью,содержащей точку , и мы получаем отображение : ℱ → Z[].Теперь теорему 1.2 можно переписать в виде(2.4) (1 , . . . , ; ) = ( ( )).Правую часть можно выразить, применив взвешенную теорему Бриона.

То,каким образом в результате получится формула (1.6), описывается следующейтеоремой, из который уже непосредственно вытекает сама теорема 1.2.Теорема 2.3.У множества вершин многогранника есть выделенное под­множество, параметризованное орбитой .

Для вершины из этого подмноже­ства соответствующей ∈ имеем ( ( )) =1 ()(︃∑︁= ∏︁ 1 − /<1 − /)︃,а для всех остальных вершин ( ( )) = 0. При этом для регулярного веса выделенное подмножество вершин совпадает с множеством простых вершин.Мы видим, что теорема 2.2 получается из теоремы 2.3 при помощи специ­ализации = 0 и является ее частным случаем.262.3.

Комбинаторная формула для аффинных функцийХолла–ЛиттлвудаВ этом разделе мы сформулируем центральный результат этой работы —комбинаторную формулу для функций Холла–Литтлвуда типа ˜ . Мы будемпользоваться обозначениями раздела 1.4.Ключевой идеей является переход от бесконечных последовательностей,образующих Π , к своего рода бесконечным таблицам Гельфанда–Цетлина.Каждому ∈ Π мы сопоставляем набор чисел , (), где оба индекса и пробегают все целые числа. В общем случае, если числа в таком набореудовлетворяют неравенству (1.3) для любых и , мы будем говорить, что ониобразуют бесконечную таблицу ГЦ. Подобно обычным таблицам ГЦ, визуали­зируются они следующим образом..........−1,−1.........−1,00,−11,−2.........−1,1...0,01,−1......1,0......Далее, для любого ∈ Z определим ∈ Π по правилу = 0 при > и = ( mod ) при ≤ .

Тогда, по определению:(+), () =∑︁ℓ≤+(−1)(ℓ −ℓ+ )−∑︁ℓ+ .(2.5)ℓ=+(−1)+1Подчеркнем, что в первую сумму в правой части входит лишь конечное числоненулевых слагаемых, а вторая сумма является ненулевой только при > 0.Данное определение можно переформулировать так: обнулим все члены после­довательности с номером больше + ( − 1), вычтем из получившегосяпоследовательность + и возьмем сумму членов результата. Примеры беско­нечных таблиц ГЦ, отвечающих точкам множества Π , можно найти в прило­жении А.27Определение (2.5) будет также использоваться в более общем случае по­следовательностей , удовлетворяющих условиям i) и ii) из раздела 1.4, но,возможно, не удовлетворяющих условию iii).Предложение 2.4.Если ∈ Π , то массив (, ()) — бесконечная таблицаГЦ.Доказательство.Это следует из того, что, () − −1,+1 () = +(−1) ≥ 0и, () − −1, () = (−1)+(−1)+1 + .

. . + +(−1) +++− (+−1)+1− . . . − (+)= (−1)+(−1)+1 + . . . + +(−1) − ≤ 0.Таким образом, для чисел , () выполняются неравенства (1.3).Из доказательства следует, что , () = −1,+1 () тогда и только то­гда, когда +(−1) = 0, а , () = −1, () тогда и только тогда, когда+(−1)(−1) + . . . + +(−1) = . Эти равносильности будут постоянно ис­пользоваться при работе с бесконечными таблицами (, ()).Для того, чтобы сформулировать основной результат, осталось каждойпоследовательности , удовлетворяющей i) и ii), сопоставить вес () вида∏︀ℓ=1 (1−) . Числа ℓ определяются соответствующим массивом (, ()). Какℓ ℓи в финитном случае, для того чтобы определить ℓ рассмотрим множество пар(, ) таких, что число встречается ℓ − 1 раз в ряду − 1 массива (, ()) иℓ раз в ряду . Это множество, как правило, бесконечно, и ℓ определяется какразмер фактора этого множества по некоторому отношению эквивалентности.Определим это отношение.Одним из ключевых свойств любого массива (, ) = (, ()) являетсялегко проверяемое равенство−+1,+ = , − ,(2.6)28имеющее место для любых , .

Пусть теперь ℓ — множество всех пар (, )таких, что−1, ̸= −1,+1 = . . . = −1,+ℓ−1 ̸= −1,+ℓи,−1 ̸= , = . . . = ,+ℓ−1 ̸= ,+ℓ .ℓ , очевидно, находится в биекции с множеством пар из предыдущего абзаца.В силу равенства (2.6) из (, ) ∈ ℓ следует ( − ( − 1), + ) ∈ ℓ , где — любое целое число. Отношение эквивалентности определяется формулой(, ) ∼ ( − + 1, + ).Предложение 2.5.Доказательство.Множество ℓ / ∼ конечно.Во-первых, заметим, что каждый класс эквивалентности вℓ содержит ровно одного представителя (, ) с 1 ≤ ≤ − 1. Следователь­но, достаточно доказать конечность множества (, ) ∈ ℓ с лежащим в этихпределах. Следующие факты следуют напрямую из (2.5) и того, что удовле­творяет i) и ii).1) Для всех 1 ≤ ≤ − 1 при ≫ 0 выполняется ,+1 = , − .2) Для всех 1 ≤ ≤ − 1 при ≪ 0 верно, что ,+1 = , если и толькоесли mod = 0. Последнее же верно только если верно и −1,+1 = −1, .Из утверждения 1) следует, что при (, ) ∈ ℓ и ∈ [1, − 1] индекс не можетбыть сколь угодно большим, в то время как 2) показывает, что − не можетбыть сколь угодно большим.Мы теперь полагаем ℓ = |ℓ / ∼ | и формулируем наш основной результат.Теорема 2.6.̂︀ -веса выпол­Для целочисленного доминантного ненулевого slнено тождество =∑︁() ,∈Πгде — функция Холла–Литтлвуда (1.2).(2.7)29Замечание.В случае = 0 множество Π , очевидно, состоит из един­ственной нулевой последовательности.

Соответствующая бесконечная таблицаГЦ тоже тождественно нулевая, за счет чего наше определение веса () теряетсмысл. В каком-то смысле, исключительность случая = 0 можно объяснитьтем, что для аффинной системы корней стабилизатор нуля бесконечен, в отли­чие от любого другого веса. Как следствие, определение (1.2) не дает 0 = 1,что верно для любой системы корней финитного типа.2.4. Применение теоремы Бриона в аффинном случаеВ этом разделе мы объясним, как при помощи теоремы Бриона и взвешен­ной теорема Бриона можно доказать формулы (1.10) и (2.7) соответственно. Тоесть, в некотором смысле, мы приведем аффинные аналоги теорем 2.2 и 2.3.Эти теоремы мы также считаем необходимым отнести к основным результатамработы.

Идейно ситуация окажется довольно похожей на финитный случай, нозаметно более сложной технически, в частности по причине бесконечномерно­сти.Мы продолжаем использовать обозначения предыдущего раздела.Рассмотрим вещественное счетномерное пространство Ω бесконечных в обестороны последовательностей , в которых = 0 при ≫ 0 и = − при ≪ 0 (члены последовательности ∈ Ω мы будем обозначать , ∈ Z). В∞Ω выделена решетка целых точек Z⊂ Ω. В Ω также содержится аффинноеподпространство последовательностей, в которых = mod при ≪ 0.Введенные ранее функции () и , () определены в точности при ∈ .Введем функционалы на Ω, в точке принимающие значение −+1 +∞.

. . + . Тогда Π есть в точности Π ∩ Z , где Π ⊂ — «многогранник», задан­ный неравенствами ≥ 0 и () ≤ для всех . (Абсолютно корректным былобы обозначение Π , но мы будем опускать индекс, поскольку рассматриваемыйвес будет всегда ясен из контекста.)30Зачастую нам будет удобнее иметь дело с перенесенным многогранникомΠ = Π − 0.Геометрические и комбинаторные свойства его точно такие же, преимуществосостоит в том, что Π лежит в подпространстве ⊂ Ω последовательностейс конечным числом ненулевых членов. Для краткости мы будет использоватьчерту для обозначения сдвига на − 0 в следующих двух смыслах.

Если —точка или подмножество в , то = − 0 . Если же Φ — отображение,опредленное на точках или подмножествах , то Φ() = Φ().Для каждой точки ∈ определена ее формальная экспонента —конечный моном от бесконечного набора переменных { , ∈ Z}. Кроме того,для любого ∈ Π вес − есть целочисленная линейная комбинация корней1 , .

. . , −1 , − . Исходя из этого, − мы будем рассматривать как моном отпеременных 1 , . . . , −1 , . Формулы (1.8) и (1.9) показывают, что − можетбыть получен из при помощи специализации⌈︁ −→ mod (−1) −1⌉︁,(2.8)где остаток берется из [1, − 1]. В общем случае, мы будем обозначать такоепреобразование символом , применяя его к (некоторым) выражениям от пере­менных .Мы теперь опишем наш подход к написанию тождеств типа Бриона длямногогранника Π.Наши тождества будут рассматриваться в кольце S рядов Лорана от с коэффициентами в поле Z(, 1 , .

. . , −1 ), причем таких, которые содержатлишь конечное число членов с отрицательной степенью . У этого кольца естьследующее удобное для нас свойство. Рассмотрим последовательность мономов1 , 2 , . . . от 1 , . . . , −1 , . Если лишь конечное число из содержат в непо­ложительной степени и ни один из них не равен 1, то произведение(1 − 1 )(1 − 2 ) . . .(2.9)31является обратимым элементом кольца S.Начнем с формулы для char и невзвешенной теоремы Бриона. Обозна­чим∑︁(Π) = .∈Π∩Z∞Вершины и грани многогранников Π и Π определяются естественным об­разом (что будет сделано в главе 4).

Каждой вершине многогранника Π будетсопоставлен ряд ∈ S. В определенном смысле, этот ряд есть результат при­менения специализации к «целоточечной свертке» касательного конуса .Первое, «невзвешенное» тождество имеет следующий вид.Теорема 2.7.В S имеем∑︁((Π)) = . вершина ΠДалее, формулу (1.10) можно переписать в виде(2.10)char = ((Π)).В силу этого, формула (1.10) следует из формулы Каца–Вейля для характе­ра (1.1) и следующего утверждения, аналогичного теореме 2.3.Теорема 2.8.В множестве вершин многогранника Π выделяется подмноже­ство, занумерованное орбитой группы Вейля, со следующими свойствами.a) Если вершина принадлежит выделенному подмножеству и соответству­ет ∈ , то =−∑︁(︂=∏︀(1 − − ))︂ .∈Φ+b) Для всех остальных вершин имеет место = 0.Выражение в правой части в пункте a) — элемент кольца S потому, чтокаждый из знаменателей имеет вид (2.9).32Перейдем к функциям Холла–Литтлвуда и взвешенному случаю.

Будетпоказано, что () определяется минимальной гранью многогранника Π, содер­жащей (при ∈ Π). Мы получаем отображение : ℱΠ → Z[]такое, что () = ( ), где — минимальная грань, содержащая . Обозначимтеперь (Π) =∑︁() .∈Π∩Z∞Вершине многогранника Π будет также сопоставлен ряд ∈ S, из кото­рого получается специализацией = 0.