А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 12

Решаем систему (10), например, относительно а н 7": х = — Сге'+ Сзе ', р = (Сл + Сг1) е' — 2Сзе ', г = (Сг — Сг — Сгг) е + 2Сзеи. Таким образам, все неизвестные выражены через с и гь Положив с = Сл., с( = Сг, имеем а = — Сг, Ь = О, з = Сг — Сл, П = — Сг. Обп1ее решение системы (9) найдено. Подставив найденные значения а, Ь, ... в (8) н прибавив частное решение (7). умноженное на Сз, получим общее регпение системы (4): З14. Линейные сишпемы с постоянными коэффициентами 77 3.

Другой способ решении системы (1). Длн любой матрицы существует базис, в котором матрица имеет жорданову форму. Каждой клетке порядка р 3 1 жордановой формы соответствует серия Ьл, Ьг, ..., Ь, векторов базиса. удовлетворяющих уравнениям АЬз = ЛЬл, Ьд ф 0. АЬг = ЛЬг + Ьы (11) АЬ, = ЛЬ. -!- Ь„ АЬ„= ЛЬ„Ь Ь„ щ =е Ьз, лс з =е ( — Ьз+Ьг), г лс — (1! ,з лс /1 а =е ( — Ьл+ — Ьг+Ьз), 1,2! 1! (12) го- з г~ — г зо=е~~(,)зз+ ( ) Ьг+ ... + —,Ья з+Ь„). ( (р 1)! (р — 2)! " ' 1! Общее число всех таких решений равно сумме порндков всех клетон жордановой формы, т.

е. порядку матрицы. Они составляют фундаментальную систему решений системы й = Аи. Правило длн запоминания формул (12). Собственному вектору Ьз, соответствует решение з' = ел'Ьз. Если везде отбросить ел', то каждая строка правой части (12) получится интегрированием по 1 предыдущей строки, причем постоянную интегрирования надо взять равной следующему по порядку вектору серии. 4. В случае, когда имеются комплексные корни Л.

изложенные способы дают выражение решения через комплексные функции. Если при этом коэффициенты системы (1) вещественны, то можно выразить решение только через вещественные функции. Для этого надо воспользоваться тем, что вещественная и мнимая части комплексного решения, соответствующего корню Л = и + Д1 (Д ф 0), явлнются линейно независимыми решенинми.

Вектор Ьз называется собственным, а Ьг, Ьз, ..., Ь вЂ” присоеди- ненными. Каждой серии Ьы Ьг, ..., Ьр соответствует р линейно независимых решений з, х, ..., зо системы з = Аш (верхний индекс указывает номер решении): 78 514. Линейные системы с постоянныии ноэуфиииегстами П ример. Решить систему х = 4х — р, р = 5х+ 23. Составляем и решаем характеристическое уравнение = О, Л вЂ” ОЛ+ 13 = Ог Л = 3 х 2г. 1'-' 5 2 — Л Для корня Л = 3-~ 2г находим собственный вектор (о, Ь)г (1 — 2г)о — Ь = О, 5а — (1+ 2г)Ь = О. Можно взять о = 1, Ь = 1 — 2г.

Имеем частное решение х = е~зо~и', р = )1 — 23)еф""~'. Так как дамиан система с вещественными коэффициентами, то репгение., соответствующее корню Л = 3 — 2г, можно не искать, оно будет комплексно сопряженным с найденным решением. Чтобы получить цва вещественных решении. надо взять вещественную и мнимую части найденного комплексного решения. Так как е~зьыр = ем(сов 21+ гжп21), то з у хг = Вес '+ * = е' соз 21, Сзогйг зг рг = Ве(1 — 2г)е1зегй' = езз(сов 21+ 2 з)гг21).

< хг = 1гпеС + ' ' = е зси21, <зегцг зг уг = 1гп(1 — 2г)е~ ~ О = е (з)п21 — 2 сов 21). Общее решение выражается через два найденных линейно незави- симых решении: х = Сгхг ж Сгхг = Сг е сов 21-'г Сг е зпг 21, зг, зг р = Сгуг ~-Сгуг = С~ е (соз2112жп21)-~-Сгеж1зггг21 — 2соз21). 5. Чтобы решить систему агох1 1-'гаггх1 О+ ... +агтх+ +Ьгоу~"~+Ьггдщ «+ ... + Ьг у = О, агох -~-аггх -~ ... фогрх-> (рг, ж — гг + Ьгау~ы + Ьггу~» ~ + ... + Ьг„р = О, не привеценную к нормальному виду, надо составить характерис- тическое уравнение агоЛ"'-~-аггЛ'" ' ч- ... -~-агт ЬгоЛ™ -(-ЬггЛ" '+ .. -~-Ьго огоЛ -~-амЛ '+ ...

+игр ЬгоЛ + ЬмЛг '-'г ... + Ьгг 314. Линейные сишнемы с постоянными коэффициентами 79 и найти его корни. После этого решение отыскивается тем же способом, как в и. 2. Аналогично решаются системы трех н более уравнений. 6. Частное решение линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами х,=аыхг+ ... +ишх„+1„(1), 1=1, ...,н (13) х; = 1;)' о„(1) е", 1 = 1, .... но (14) где СР о,(1) — многочлены степени т Л- е с неизвестными коэффициентами, пс = псах гни е = О, если Ч " не корень характеристического уравнения (2), а если Ч вЂ” — парень, то е можно взять равным кратности этого корни (или, точнее, е на 1 больше наибольшей из степеней многочленов, на которые умножается ст в общем решении однородной системы). Неизвестные коэффициенты много- членов определнются путем подстановки выражений (14) в данную систему (13) и сравнения коэффициентов подобных членов.

Аналогично определяются степени многочленов н в случае, когда ~;(1) содержат е"' сов Я н екн вшф. а число у = се + (э1 явлнется корнем характеристического уравнения. П р и м е р. Решить систему х = 4т — у Л- е (1+ шп1), у = х Л- 2у Л-бе сов 1. (15) Сначала для однородной системы х = 4х — у, у = х + 2у находим корни Л~ = Лэ = 3 и как в и. 2 отыскиваем общее решение хо = (С~14-Сэ) е~~, уе = (Сэвц- Сэ — Се) ом. В системе (1о) длн функций 1ез', ез' в(п1, 1оз'сов1 числа о Л- ф( соответственно равны 3, 3+ П 3+ 1. Поэтому надо отдельно найти частные решения систем х = Лх — у+ге, у = х+ 2ЬЧ (16) х = 4х — у -~- е вш С, у = х + 2у + С е сов К (17) можно искать методом неопределенных коэффициентов в том случае, когда функции ~,(1) состоят из сумм и произведений функций Ье + ЬН + ...

+ Ькд"', с ~, соз()1, в)п)эй Это делается по тем же правилам, что длн одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, см. п. 2 В 11, со следующим изменением. Если 1,(1) = Р,(1)е', где Р,(1) — многочлен степени т„то частное решение системы (13) ищетсн не в виде 1'Я (1) с", а в виде 80 314. Линейные системы с постояииькми коэффициентами Для системы (16) ск+ Дг = 3 = Лк = Лг, л = 2, т = 1. Согласно (14), частное решение можно искать в виде хк = (аг -~- Ьй + сг+ П) е, ук = (71 + 8г + 61 + 1) е Для системы (17) о+ Дк = 3 + к ф Лг,г, л = О, пк = 1.

Частное решение имеет вид иг = (Ь1 ф 1) е г и(п1-~- (т1 ф и) езк соа й уг = (рг+О) е 'екпс-Ь (гт -Ь л)е 'соай Отыскав значения коэффициентов а, Ь, ..., общее решение систе- мы (15) напишем в виде и = не+ ик+хг, У = Уа+Ук+Уг. 7. Решение неоднородной системы х, = а, (г)а -'г ... -г ог„(1)а„-> Ь(1). г = 1, ..., и. можно найти методом вариапии постоянных, если известно общее решение однородной системы с теми же коэффициентами окэ(1). Для этого в формуле общего решения однородной системы надо заменить произвольные постоянные С, на неизвестные функции ск(г).

полученные выражения для аи надо подставить в данную неоднородную систему, и из этой системы найти С,(1). 8. Показательной функцией е матрицы А называется сумма ряда А 4г 4г е =Е-~- — + — -~- — + ..., 1) 2! 3) (18) где Е . —. единичная матрица. Ряд сходится для любой матрицы А. Свойства е а) если А = СМС ', то ел = Сеэг С б) если АВ = ВА, то елт~ = е ев = ев ел; в) матрица Х(1) = екл удовлетворнет уравнению Я = АХ; Л'(О) = Е.

Методы отыскании е 1) Путем решении системы дифференциальных уравнений. В силу свойства в) к-й столбец матрицы екл есть решение системы уравнений (в векторной записи) ф = Аа с начальными условиими эи(0) = 1, ак(0) = 0 при Ь ф г (та — г-я координата вектора а), 814. Линейные системы с постпоянными ноэфтэиниентами 81 2) Путем приведения матрипы к жордановой форме. Пусть известна такая матрица С, что матрица С '»1С = М имеет жорданову форму, т. е. состоит из клеток Л;. Каждая жорданова клетка имеет вил К = ЛЕ+ 14 у матрицы Е все элементы нули, кроме 1-го косого ряда над диагональю. Поэтому Е = О, где т — порядок матрицы Р, н е» легко найти с помощью рида [18).

Так как еще е~'=е Е,то е =е + =о е =е Е е =е е к хе»Г Ае г х» л г Составив из клеток ся* матрицу е'и, найдем е~ с помощью свойства а). Доказательства и пример см. в [5), гл. 1, Я 12 14. В задачах 786 — 812 решить данные системы уравнений [х означает ф, н т. дд длн облегчения работы в некоторых задачах указаны корни характеристического уравнения). 787 796. ( х=х+з — д, у=х+у — з, з = 2х — у [л, = , Лз — — 2, Лз= — 1) [Л»=О, Лз=2, Лз=-1). »9». ( х = 2х — у+», у = х+2у — з, з=х — у+2з х= Зт, — у+э, у=х+д+з~ 2 = 4х — у+4з [Л1 — — 1, Лз — — 2.

Лз — — 3). [Лг — — 1, Лз = 2, Лз = э). 786. т= 2х+д, у = Зх+4у. х+х — 8у = О, 788. у †х †. 790. х = х — Зу, д=Зх+д. 792. х = 2х+у, у=4у — х. х = 2д — Зх, 794. у = у — 2х. < х=х — у, у= у — 4х. < х=х+д, у = Зу — 2х. < х+х+5у=О, д †х †. < т, = Зх, — у, у =4х — у. < т,— 5х — Зд=О, дч-Зх-~-у = О. < х= х — 2д — з, у = д — х -~- 3, 82 З14. Линейные системы с постоянными ноэффиционтами т = 4д — 2з — Зх. у=з+х1 801.

5 = 6с — 6у+5з 800. ( (Лз — — 1, Лз = 2, Лз = — 1). (Лз = 11 Лз з = 1 х 28). 802. ( з = 2у+ Зз — х (Лз = 2. Лз з =-Зхз) (Лз = 1, Лз,з =- м2). (Лз = 2. Лз = Лз = 3) (Лз — 01 Л'1 = Лз = 1) ° х = д — 2т — 2з, (Лз = Лз = 2, Лз = -5). (л,=з,л,=л,=-ц х = у — 2з — х, (Лз = Лз = 1, Лз = 2) (Аз =1,Лз=Лз=-1). +у = 1). (Лз — — Лз =О, Лз =3) (Лз = Лз = Лз х =4х — д, д = Зх+ У вЂ” з, (Лз — Лз — — Лз = 2).