А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 11

Это облегчает исследование асимптотического поведения решения при х -~ ж.) 3 13. Краевые задачи 749*. уи — 4хгу = О. 750'. хуа + у = О. 3 13, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 1. Для отыскания решения краеной задачи ао(х)ув+аг(х)у +аз(х)у = з(х), хо < т.

< хы (1) ау'(хо) -~-()гу(хо) = О, гу'(хг) -~-ду(хг) = О (2) надо подставить общее решение уравнения (1) в краевые условия (2) и из этих условий определить (если это возможно) значения произвольных постоянных, входящих в формулу общего решения. В отличие от задачи с начальными условинми (задачи Коши), краевая задача не всегда имеет решение.

2. Функцией Грина краевой задачи (1), (2) назынается функции С(х, в), определенная при хе ( х ( хы хе < в < хг и при кагкдом фиксированном в из отрезка (хо, хг] обладающая свойствами (как функция от х): 1) при х Р в она удовлетворяет уравнению ае(х)ув + аг(х)у' + аг(х)у = О; (3) 2) при х = хе и х = хг она удоваетворяет заданным краевым условинм (2); 3) при х = в она непрерывнв по х, а ее производная по х имеет скачок, равный 1/ао(в), т. е. С(в-~-О, в) =С(в — О, в), С', = С' ф .

(4) =з -о в= -о ае(в) Чтобы найти функцию Грина краевой задачи (1). (2), надо найти два решения уг(х) и уг(х) (отличных от у(т) = О) уравнения (3), удовлетворяющие соответственно первому и второму из краевых условий (2). Если уг(х) не удовлетворяет сразу обоим краевым условиям, то функции Грина существует н ее можно искать в виде ау,(х) (хо < х < в), С(т,, в) = Ьуг(х) (в < х ( хг). (о) Ьуг(в) = ауг(в), Ьуг(в) = ауг (в) -~- ае(в) Функции а и Ь зависит от в и определнются из требовании, чтобы функция (5) удовлетворяла условиям (4), т.

е. 72 3 13. Краевые задачи 3. Если функции Грина сз(х, з) существует, то решение краевой задачи (1), (2) выражается формулой 3 д(х) = / ~(х, )й ) « о 4. Собственным значением задачи ао(х)у' "; ао(х)у ч- аз(т)у = Лу, (6) оу'(хо) -> (ду(хо) = О. Ту'(хе) -~- ду(зз) = О (7) называется такое число Л, при котором уравнение (6) имеет рещение у(х) фО, удовлетворяющее краевым условиям (7). Это решение д(х) называется собстненпой функцией.

Найти решения уравнений 751 — 762, удовлетворнющие указанным краевым условинм. Т51. уи — у = 2хд у(0) = О, у(1) = — 1. 752. уа+ у' = 1: у'(О) = О, д(1) = 1. 753. уа — у' = О; у(0) = — 1, у'(1) — у(1) = 2. 754. да + д = 1: д(0) = О, У (лз) = О. 755. уа Ч- у = 1: д(0) = О, у(я) = О. 756. уи + у = 2х — я; д(0) = О, у(в.) = О.

757. уа — у' — 2д = 0: д'(0) = 2, у(+ос) = О. 758. уи — у = 1: у(0) = О, д(х) ограничено при х — 1 +Ос. 759. уа — 2(у = 0; у(0) = — 1, у(+оо) = О, Т60. хзуи — бу = 0: д(0) ограничено, д(1) = 2. 761. хвуа — 2ху'+ 2у = 0; у(х) = о(х) при:с — 1 О,. д(1) = 3. 762. хзуи+ 5ху'+ 3д = 0: у'(1) = 3, д(т) = О(х ) при х — 1 +ос. 763*.

При каких и краевая задача да + ау = 1, у(0) = О, у(1) = 0 не имеет решений? з13. Краевые задачи Для каждой из краевых задач Т64 — 779 построить функцию Грина. 764. ди = У(х); д(О) = О, д(1) = О. 766. да + у = ~(х): д'(0) = О, у(к) = О, 7ВВ. да + д' = Х(х); д(0) = О, д'(1) = О, 767. уи — д = У(Х); д'(0) = О, д'(2) + д(2) = О, 768*. да+ д = у(, ); д(О) = д(п), д (О) = „(и) Т69. хзуи+ 2ху' = Дх); у(1) = О, у'(3) = О. 770. ху' — 'д' = ~(х); д'(1) = О. д(2) = О, 771. х д — 2д = 1(х)' д(1) = 0 у(2) + 2у'(2) = О.

772. ди = У(х); у(0) = О. д(х) ограничено при х — ь +ос. 778. ди + у' = Ях); у'(0) = О., у(+ос) = О. 774. туи+ у' = з'(х); у(1) = О, д(х) ограничено при а: — «+ж. 776 да + 4у'+ Зд = зе(х); д(0) = О, у(х) = 0(е з*) при х -++ж. ТТВ. х у + ху — д = з'(х); у(1) = О, у(х) ограничено при х — > +ос, 777. хзуи+ 2хд' — 2у = 1(х); у(0) ограничено, д(1) = О. 778. ди — д = )'(х), у(х) ограничено при х -+ хос. 779. хзуи — 2д = 1"(х), у(х) ограничено при х — ь О и при х -Ф +ос.

780. При каких и существует функции Грина краевой задачи дв + аУ = Дх) ч У(0) = О, У(1) = 07 781*. Оценить сверху и снизу решение задачи теди + + 2ху' — 2у = Дх), у(х) ограничено при х -> 0 и х -ч +ос, и его парную производную. если известно, что 0 < Дх) < оь Указание. Записать решение с помощью функции Грина. 74 З14. Линейные системы с постоянными коэффициентами В задачах 782 — 785 найти собственные значения и собственные функции.

8 14. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Путем исключения неизвестных систему, вообще говоря, монсно свести к уравнению более высокого порндка с одной неизвестной функцией (см. [1), гл. ЛГИ, З 1, и. 2 или ~4), гл. 3, З 2). Этот способ удобен для решения лишь несложных систем. Пример. Решить систему х = у+ 1, у = 2е' — х.

Исключаем у. Из первого уравнения имеем р = х — 1. Подставлня во второе уравнение, получаем х = 2е' — х. Решив зто уравяение второго порядка (методами З 11), найдем х = Сг соз1+ Сг вш1+ е'. Значит, у = х — 1 = — Сг зш1+ Сгсовс+ е — 1. 2. Для решении системы (где х означает ф) < х' — аыхг + + аг х х„= а„гхг + ...

+ а„„х„, или. в векторной записи,х = Ах, где х -- вектор, А -"-матрица: надо найти корни характеристического уравнения аы — Л аш агг агг Л аш аг (2) а„„вЂ” Л а„г а г 782. ун = Лу; 783. ун = Лу; 784. уо = Лу; 785. хгуо = Лу; у(о) =О, у'(о) = о., р(о) = о, у(Ц= о, уИ) =О. у'()) = о. у'И) = О. у(а) = 0 (а > 1). 214. Линейные системы с постоянпыни лоэуфициеитами 75 (3) Чтобы найти коэффициенты а, 6, ..., е, ладо подставить решение (3) в систему (1). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой чвстнх уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно а, Ь, ..., л.

Недо найти общее решение этой системы. Коэффициенты а, Ь, ..., л должны зависеть от Й произвольных постонкных, где Й вЂ” кратность корин Л. Найди длн каждого Л решении указанного вида и сложив их, получим общее решение системы (1). П р и м е р. Решить систему Й = 2з+ у+ з, у = — 2ш — з, з = 2з+ у+ 2з. (4) Еостаяляем и решаем характеристическое уравнение 2 — Л 1 — 2 — Л 2 1 (б) — 1 =О, 2 — Л Л вЂ” 4Л +ЬЛ вЂ” 2=0, Л1=2, Лз=Лз=1.

Для простого корня Лг=2 находим собственный вектор (а, О, 7), решая систему < 11+7 = О, — 2сг — 2)3 — у = О, 2сг+ Лз = О (О) В случае й < 3 число й — т нельзл уменьшить, а н случае й > 4 иногда можно, если известна жорданова форма матрицы А. Каждому простому корню Л, хервктеристического урввненин соответствует решение С,е'е ', где С; — произаольннн постоянл,г пая, и' - собственный вектор матрицы А, соответствующий этому Л;. Если для кратного корни Л имеется столько линейно независимых собственных векторов и, ..., и, какона его кратностгч то 1 ь ему соответствует решение Сго~е~~+ ... -р Сьоьелг.

Если для корня Л кратности й имеется только т линейно независимых собственных векторов, и т. ( Й, то решение, соответствующее этому Л, можно исквть в виде произведения многочлена степени Й вЂ” т, на е, т. с, в виде 76 814. Лннебные системы с ностолннььни коэффициентами (коэффициенты втой системы равны элементам детерминанта (5) при Л = 2). Из (6) находим 2а = — П = 7.

Значит, вектор (1, — 2, 2) собственный, и и = ег', й = — 2ег', г = 2ег' (7) частное решение системы (4). )(ля кратного корня Л = 1 сначала определим число линейно независимых собственных векторов. При Л = 1 из (5) получаем матрицу — 2 — 1 — 1 Ее порядок и. = 3, ранг г = 2. Числа линейно независимых собственных векторов равно т. = и — г = 1. Корень Л = 1 имеет нратность Ь = 2. Так как Ь > т, то решение надо искать в виде произведении многочлена степени Й вЂ” т = 1 на е, т. е.

в виде м х = (а+ Ь1)е'. й = (с-~-41)е', г = (7-~84)е'. (8) Чтобы найти коэффициенты а, Ь, ..., подставляем (8) в систему (4) и приравниваем коэффициенты при подобных членах. Получаем систему Ь+с(+8=0, Ь= а+с+У, — йь — г( — н= О, с( = — 2а — с — 7, 2Ь -> П -Ь 8 = О, Д = 2а + с -Ь 1. (г)) Найдем общее решение этой системы. Из двух левых уравнений имеем Ь = О, л = — 8. Подставлян это в остальные уравнения, получаем 0 = а + с +,7, г( = — 2а — с — 7 (10) (остальные уравнении будут следствинми написанных).