А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 13

В задачах 813 — 825 решить системы. не приведенные и нормальному виду. т = 2х — Зу, 813. у=т — 2у. т.=Зх4-4у, 814. у = — т — д. 808. ( 800. ( 880. ( 810. ( 812. ( х=2х+д, у = х+Зу — 3 х'=4х — у — 3, у =х+2д — з, з=х — у+2з ,у = х — 2у+ 2з, 5 = Зт — Зу+5з х=х у+з, д=з'+у —- з = 2з — д х = 2х+у, у = 2у+4з 808. ( ВОВ. ( 809. ( 811. ( х = 2т+2з — у, у = х+2з, з = у — 2х— т = 2х — у — з, у = Зт, — 2у — Зз1 5 = 2з — х+у х = Зх — 2д — ю, д = Зх — 4у — Зз, 5 = 2х — 4д у=4х+у, 5 =2х+у — з х = 2х — у — з, у = 2х — у — 2з1 'З14.

Линейные системы с постоянными ноэффициенпсами 83 816. ~ х = Зх — р — з, д= — т+Зд — 3 5 = — т — у+За. х = 2д 815. д = — 2х. х+х+д — 2д=О, 818. х — р+х=О. 2х — 5д = 4д — х, 817. Зх — 4д = 2х — д. х — 2д+ д+ х — Зд = О, 819. 4д — 2У вЂ” т. — 2х+ 5д = О. т — х+2д — 2д= О, 820. х — х+р+д=О. х — 2д+2х=О, 821. Зт+ д — 8д = О. 823. х+ 5х+ 2р+ у = О Зх+ 5х + д+ Зд = О.

х+ 4т — 2х — 2д — д = О, 824. х — 4х — д ч- 2д+ 2у = О. 2т+ 2х+ х+ Зд+ д+ д = О, 825. х+ 4х — х + Зд + 2д — д = О. т+Зр' — х= О, 822. х + Зд — 2д = О. В задачах 826 — 845 решить линейные неоднородные сис- темы. х, = у+2е', 826. ~~ ~ ~ ~ ? ?| ~ ~ ~ ~ ~ е е Р = и+1 . з: = Зх+ 2д+ 4е"', 828. д=х+2д. т,=4х+р — е', 830. д=у — 2х. х = 5х — Зу+ 2еас, 832.

д=хч-д+5е '. х = д — 5 соа4, 827. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ ~ 7 ~ ы д=2х+д. т = 2х — 4у+4е 829. д = 2х — 2д. х = 2д — х+1, 831. д = Зд — 2т. х, = 2:с + д + е', 833. д = — 2х+ 24. 84 З14. Липеапые системы с постопинъьии нооуефиииентами В задачах 846 — 850 данные системы решить методом вариации постоянных. ~~ ~~ У ~ 8 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~У ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ е х=у+$8 1 — 1, з х = 2у — х, 846.

847. зе 0 = — х+ 181. ~ у =4у — Зх+ 1= -',+ 2 х = — 4х — 2у+ ее 3 у=бх+Зу— е' — 1 е4е. ( 1 х = х — у+ 849. сов в у = 2х — у. х = Зт — 2у, 850. д = 2х — у+15 е' Л. Ревпить системы 851 — 866, записанные в векторной форме: х = Ах, где х — вектор, А — данная матрица. 851.

х = Ах, А = < ' /3 01 10 31' 852.о:=Ах, А= ~ /1 й 12 О)' х =х+2у, 834. д = х — 5 в1пг. :г = 2х, — у., 836. у = у — 2х+ 181. х = 2х+4у — 8, 838. у = Зх+ бу. х, = х — у + 2 в1пт, 840. д = 2х — у. х = 4:с — Зу+вш 842. у = 2х — у — 2 сов1. 844. х = х — у -~- 81, д = бз; — у. х = 2,г. — 4у, 835. и = х — Зу+Зе . х = х+2у+161е", взт. у = 2х — 2у. х, = 2х — Зу, 839. у = х — 2у+2 в1п т = 2х — у, 841. у = х+ 2е'.

2 2 с 843. д = х+ 2у — Зе~'. х = 2т — у, 845. у = 2у — х — 5 ес вш =( -'.) А= 1 4 — 2 А= — 2 — 1 2 Л= 3 — 2 2 А= — 1 0 1 А= А= 1 1 0 А= — 1 0 2 А= 1 0 — 1 853. х = Ах, 854. т. = Ах 855. х = Л:с 856.;.с = Ах, 857. х = Ах, 858. х = Лх 859. х = Лх 860.

х = Ах, 861. х = Лх 862. х = Лх, 863. х = А:с 864. х, = Ах, 865. х = Ал Е14. Линейные системы с постоянными коэф4ициентами 85 86 З14. Линейные системы с постоянными коэфуициент ми 2 0 — 1 866. х=Ах, А= 1 — 1 О 3 — 1 — 1 В задачах 867 — 873 найти показательную функцию е" данной матрицы А. 868. А = 870 А 2 0 0 1 0 872 А= 0 0 0 0 0 2 8ТЗ.А= 0 2 1 В задачах 874 и 8Т5 найти с1еФей, не вычисляя матрицу е~. 1 0 3 1 4 2 874.А= — 1 2 0 . 875.А= 3 1 — 1 0 1 — 1 2 1 — 3 876.

Тело массы т, движется на плоскости х, у, притягиваясь к точке (О, 0) с силой а, тг, где г — расстояние до этой точки. Найти двиэкение тела при начальных условиях х(0) = д, у(0) = О, х(0) = О, у(0) = и и траекторию этого движения. 87Т. Один конец пружины закреплен неподвижно в точке О, а к другому прикреплен груз массы 3т., соединенный другой пружиной с грузом массы 2нь Оба груза двигаютсн без трения по одной прямой, проходнщей через точку О.

Каждая из пружин растягивается на величину х под действием силы озэпх. Найти возможные периодические движении системы. 878. На концах вала закреплены два шкива, моменты инерции которых 1~ и Уз. При повороте одного шкива относительно другого на любой угол р вследствие деформации вала 87 З 15. Устобчиеость возникают упругие силы с крутящим моментом Лиь Найти частоту крутильных колебаний вала при отсутствии внешних сил. 879.

К источнику тока с напрнжением Е = Р л(пыб последовательно присоединено сопротивление Л. Далее цепь разветвлнется на две ветви, в одной из которых включена самоиндукция Е, а в другой -" емкость С (рис. 4). Найти силу тока в цепи (установившийся режим), проходящего через сопротив- Е у ~п ление Л. При какой частоте ы сила тока наибольшан? Наименьшая? Рис. 4 У к а з а н и е. 0 составлении дифференциальных уравнений в задачах об злектричсских цепях см.

и. 5 5 11. Указание. Применив метод вариации постоянных в векторной форме, выразить общее решение через фундаментальную матрицу е"', функцию 7'(1) и начальные условия. Воспользоваться условием периодичности. ~ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ 1. Рассмотрим систему уравнений с1а, Ж вЂ” '* = У,(й а~, .... е„). 1 = 1, .... о, или, в векторной записи бв 41 — =1(ца), л=(аы ...,а„). (2) Пусть все 7', н — непрерывны при 1е ( 1 < оо. 81; дел Решение к = у(1) системы (2) называется устойчивым по Ляпунову, если длн любого с > О существует такое д > О, что для 880*. Какое условие достаточно наложить на собственные значения матрицы А, чтобы система уравнений (в векторной записи) лс = Аш+ 1(1) имела периодическое решение при всякой непрерывной нектор-функции ?(1) периода ы? 88 з15.

Устой швость всякого репгения х(1) той же системы, начальное значение которо- го удовлетворяет неравенству ~х(го) — р(го)~ < д, при всех 1 ) го выполняется неравенство /х(1) — чг(1)! < е. Если же для некоторого е ) О такого д не существует, то решение уг(г) называется неустойчивым. Решение р(1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчипо по Ляпунову и, кроме того, все решения с достаточно близкими начальными условиями неограниченно приближаются к ~р(1) при г -Ь +ос, т.е. если из неравенства (3) следует х(1) — р(1) ь О(1-ь фос).

Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора го. Вопрос об устойчивости данного решении х = р(1) системы (2) сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения у(4) = О другой системы, получаемой из (2) заменой искомой функции х— — р(г) = у. 2. Исследование на устойчивость по первому приближению. Пусть х,(1) = О (г = 1, ..., и) — решение системы (1).

Чтобы его исследовать на устойчивость, надо выделить из функций 1, линейную часть вблизи точки хь = ... — — х = О, например, по формуле Тейлора. Полученную систему часто можно исследовать с помощью следующей теоремы. Теорема Ляпунова. Рассмотрим систему йтг сй — ' = аих~ -~- ... ф а,„,х„-~- ф„(1, хм ..., х„), ь = 1, ..., и, (4) где а,ь — постоянные, а ф, — бесконечно малые выше первого по- рядки, точнее, при )х~ < ео )ф,! < 2(х))х), г = 1, .... и, у(х) ь О при )х! -+ О, (5) 'ь) 1=гггг" Р г.

Тогда если, осе собственные значения матрицы (сиь), ь, й = = 1, ..., и, имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (4) всимптотически устойчиво; если же хоть одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, гпо нулевое решение неустойчиво. 3 15. Устойчивость 89 Пример. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы < х = чг4+ 4У вЂ” 2 ее+", у = шпал ж!п(1 — 4у), а = соне!. Выделня линейную часть функций по формуле Тейлора, получаем < х = — 2х — у + фг(х, у), у = ах — 4у -~- фг(х; у) ~ где функции уч и фз равны 0(хг + ул) и значит удовлетворяют условию (5). Находим собственные значении матрицы коэффициентов = О, Л -~- 6Л -!-8-!- а = О, Лг, з = — 3 х ч'1 — а. При а > 1 корни комплексные, ВеЛг, з = — 3 < О, а при — 8 < о, < 1 корни вещественные отрицательные, значит, и этих случаях нулевое решение асимптотически устойчиво.